MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpmat1dlem Structured version   Unicode version

Theorem chpmat1dlem 19209
Description: Lemma for chpmat1d 19210. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chpmat1d.c  |-  C  =  ( N CharPlyMat  R )
chpmat1d.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
chpmat1d.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
chpmat1d.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
chpmat1d.x  |-  X  =  (var1 `  R )
chpmat1d.z  |-  .-  =  ( -g `  P )
chpmat1d.s  |-  S  =  (algSc `  P )
chpmat1dlem.g  |-  G  =  ( N Mat  P )
chpmat1dlem.x  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
Assertion
Ref Expression
chpmat1dlem  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  (
I ( ( X ( .s `  G
) ( 1r `  G ) ) (
-g `  G )
( T `  M
) ) I )  =  ( X  .-  ( S `  ( I M I ) ) ) )

Proof of Theorem chpmat1dlem
StepHypRef Expression
1 chpmat1d.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
21ply1ring 18163 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
323ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  P  e.  Ring )
4 snfi 7598 . . . . . . . . . . 11  |-  { I }  e.  Fin
5 eleq1 2515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =  { I }  ->  ( N  e.  Fin  <->  {
I }  e.  Fin ) )
64, 5mpbiri 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  { I }  ->  N  e.  Fin )
76adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  ->  N  e.  Fin )
82, 7anim12i 566 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
) )  ->  ( P  e.  Ring  /\  N  e.  Fin ) )
983adant3 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  ( P  e.  Ring  /\  N  e.  Fin ) )
109ancomd 451 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring ) )
11 chpmat1dlem.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( N Mat  P )
1211matlmod 18804 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring )  ->  G  e.  LMod )
1310, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  G  e.  LMod )
14 chpmat1d.x . . . . . . . 8  |-  X  =  (var1 `  R )
15 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  (Poly1 `  R
)  =  (Poly1 `  R
)
16 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  =  ( Base `  (Poly1 `  R ) )
1714, 15, 16vr1cl 18132 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )
18173ad2ant1 1018 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  X  e.  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )
1973ad2ant2 1019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  N  e.  Fin )
20 fvex 5866 . . . . . . . . 9  |-  (Poly1 `  R
)  e.  _V
211oveq2i 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N Mat 
P )  =  ( N Mat  (Poly1 `  R ) )
2211, 21eqtri 2472 . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( N Mat  (Poly1 `  R
) )
2322matsca2 18795 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  (Poly1 `  R )  e.  _V )  ->  (Poly1 `  R )  =  (Scalar `  G )
)
2419, 20, 23sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  (Poly1 `  R )  =  (Scalar `  G ) )
2524eqcomd 2451 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  (Scalar `  G )  =  (Poly1 `  R ) )
2625fveq2d 5860 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  ( Base `  (Scalar `  G
) )  =  (
Base `  (Poly1 `  R
) ) )
2718, 26eleqtrrd 2534 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  X  e.  ( Base `  (Scalar `  G ) ) )
2811matring 18818 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring )  ->  G  e.  Ring )
2910, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  G  e.  Ring )
30 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
31 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  G )  =  ( 1r `  G
)
3230, 31ringidcl 17093 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Ring  ->  ( 1r
`  G )  e.  ( Base `  G
) )
3329, 32syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  ( 1r `  G )  e.  ( Base `  G
) )
3413, 27, 333jca 1177 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  ( G  e.  LMod  /\  X  e.  ( Base `  (Scalar `  G ) )  /\  ( 1r `  G )  e.  ( Base `  G
) ) )
35 eqid 2443 . . . . 5  |-  (Scalar `  G )  =  (Scalar `  G )
36 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( .s
`  G )  =  ( .s `  G
)
37 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  G )
)  =  ( Base `  (Scalar `  G )
)
3830, 35, 36, 37lmodvscl 17403 . . . 4  |-  ( ( G  e.  LMod  /\  X  e.  ( Base `  (Scalar `  G ) )  /\  ( 1r `  G )  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( X ( .s `  G ) ( 1r
`  G ) )  e.  ( Base `  G
) )
3934, 38syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  ( X ( .s `  G ) ( 1r
`  G ) )  e.  ( Base `  G
) )
40 simp1 997 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
41 simp3 999 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  M  e.  B )
4219, 40, 413jca 1177 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B ) )
43 chpmat1dlem.x . . . . 5  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
44 chpmat1d.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
45 chpmat1d.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
4643, 44, 45, 1, 11mat2pmatbas 19100 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  G
) )
4742, 46syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  G
) )
48 snidg 4040 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  { I } )
4948adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  ->  I  e.  { I } )
50 eleq2 2516 . . . . . . 7  |-  ( N  =  { I }  ->  ( I  e.  N  <->  I  e.  { I }
) )
5150adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  ->  ( I  e.  N  <->  I  e.  { I } ) )
5249, 51mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  ->  I  e.  N )
53 id 22 . . . . 5  |-  ( I  e.  N  ->  I  e.  N )
5452, 53jccir 539 . . . 4  |-  ( ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  ->  ( I  e.  N  /\  I  e.  N ) )
55543ad2ant2 1019 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  (
I  e.  N  /\  I  e.  N )
)
56 eqid 2443 . . . 4  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
57 chpmat1d.z . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  P )
5811, 30, 56, 57matsubgcell 18809 . . 3  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  (
( X ( .s
`  G ) ( 1r `  G ) )  e.  ( Base `  G )  /\  ( T `  M )  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
I  e.  N  /\  I  e.  N )
)  ->  ( I
( ( X ( .s `  G ) ( 1r `  G
) ) ( -g `  G ) ( T `
 M ) ) I )  =  ( ( I ( X ( .s `  G
) ( 1r `  G ) ) I )  .-  ( I ( T `  M
) I ) ) )
593, 39, 47, 55, 58syl121anc 1234 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  (
I ( ( X ( .s `  G
) ( 1r `  G ) ) (
-g `  G )
( T `  M
) ) I )  =  ( ( I ( X ( .s
`  G ) ( 1r `  G ) ) I )  .-  ( I ( T `
 M ) I ) ) )
60 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
6114, 1, 60vr1cl 18132 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
62613ad2ant1 1018 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
63 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
6411, 30, 60, 36, 63matvscacell 18811 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  ( X  e.  ( Base `  P )  /\  ( 1r `  G )  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
I  e.  N  /\  I  e.  N )
)  ->  ( I
( X ( .s
`  G ) ( 1r `  G ) ) I )  =  ( X ( .r
`  P ) ( I ( 1r `  G ) I ) ) )
653, 62, 33, 55, 64syl121anc 1234 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  (
I ( X ( .s `  G ) ( 1r `  G
) ) I )  =  ( X ( .r `  P ) ( I ( 1r
`  G ) I ) ) )
66 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 1r `  P
)
67 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
68523ad2ant2 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  I  e.  N )
6911, 66, 67, 19, 3, 68, 68, 31mat1ov 18823 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  (
I ( 1r `  G ) I )  =  if ( I  =  I ,  ( 1r `  P ) ,  ( 0g `  P ) ) )
70 eqidd 2444 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  I  =  I )
7170iftrued 3934 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  if ( I  =  I ,  ( 1r `  P ) ,  ( 0g `  P ) )  =  ( 1r
`  P ) )
7269, 71eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  (
I ( 1r `  G ) I )  =  ( 1r `  P ) )
7372oveq2d 6297 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  ( X ( .r `  P ) ( I ( 1r `  G
) I ) )  =  ( X ( .r `  P ) ( 1r `  P
) ) )
7460, 63, 66ringridm 17097 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  X  e.  ( Base `  P
) )  ->  ( X ( .r `  P ) ( 1r
`  P ) )  =  X )
753, 62, 74syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  ( X ( .r `  P ) ( 1r
`  P ) )  =  X )
7665, 73, 753eqtrd 2488 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  (
I ( X ( .s `  G ) ( 1r `  G
) ) I )  =  X )
77 chpmat1d.s . . . . 5  |-  S  =  (algSc `  P )
7843, 44, 45, 1, 77mat2pmatvalel 19099 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
I  e.  N  /\  I  e.  N )
)  ->  ( I
( T `  M
) I )  =  ( S `  (
I M I ) ) )
7942, 55, 78syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  (
I ( T `  M ) I )  =  ( S `  ( I M I ) ) )
8076, 79oveq12d 6299 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  (
( I ( X ( .s `  G
) ( 1r `  G ) ) I )  .-  ( I ( T `  M
) I ) )  =  ( X  .-  ( S `  ( I M I ) ) ) )
8159, 80eqtrd 2484 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  =  { I }  /\  I  e.  V
)  /\  M  e.  B )  ->  (
I ( ( X ( .s `  G
) ( 1r `  G ) ) (
-g `  G )
( T `  M
) ) I )  =  ( X  .-  ( S `  ( I M I ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095   ifcif 3926   {csn 4014   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   Basecbs 14509   .rcmulr 14575  Scalarcsca 14577   .scvsca 14578   0gc0g 14714   -gcsg 15929   1rcur 17027   Ringcrg 17072   LModclmod 17386  algSccascl 17834  var1cv1 18089  Poly1cpl1 18090   Mat cmat 18782   matToPolyMat cmat2pmat 19078   CharPlyMat cchpmat 19200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-ot 4023  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-hash 12385  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-hom 14598  df-cco 14599  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-prds 14722  df-pws 14724  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15840  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-mulg 15934  df-subg 16072  df-ghm 16139  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-subrg 17301  df-lmod 17388  df-lss 17453  df-sra 17692  df-rgmod 17693  df-ascl 17837  df-psr 17879  df-mvr 17880  df-mpl 17881  df-opsr 17883  df-psr1 18093  df-vr1 18094  df-ply1 18095  df-dsmm 18636  df-frlm 18651  df-mamu 18759  df-mat 18783  df-mat2pmat 19081
This theorem is referenced by:  chpmat1d  19210
  Copyright terms: Public domain W3C validator