Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpdmatlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpdmatlem3 20464
 Description: Lemma 3 for chpdmat 20465. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chpdmat.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpdmat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chpdmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpdmat.s 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpdmat.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpdmat.x 𝑋 = (var1𝑅)
chpdmat.0 0 = (0g𝑅)
chpdmat.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chpdmat.m = (-g𝑃)
chpdmatlem.q 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpdmatlem.1 1 = (1r𝑄)
chpdmatlem.m · = ( ·𝑠𝑄)
chpdmatlem.z 𝑍 = (-g𝑄)
chpdmatlem.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
chpdmatlem3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇𝑀))𝐾) = (𝑋 (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾))))

Proof of Theorem chpdmatlem3
StepHypRef Expression
1 chpdmat.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1ring 19439 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
323ad2ant2 1076 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
43adantr 480 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
5 chpdmat.c . . . . . . 7 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
6 chpdmat.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7 chpdmat.s . . . . . . 7 𝑆 = (algSc‘𝑃)
8 chpdmat.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
9 chpdmat.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1𝑅)
10 chpdmat.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
11 chpdmat.g . . . . . . 7 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
12 chpdmat.m . . . . . . 7 = (-g𝑃)
13 chpdmatlem.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
14 chpdmatlem.1 . . . . . . 7 1 = (1r𝑄)
15 chpdmatlem.m . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑄)
165, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15chpdmatlem0 20461 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
17163adant3 1074 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
18 chpdmatlem.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
1918, 6, 8, 1, 13mat2pmatbas 20350 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
2017, 19jca 553 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑄)))
2120adantr 480 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑄)))
22 simpr 476 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
23 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
24 chpdmatlem.z . . . 4 𝑍 = (-g𝑄)
2513, 23, 24, 12matsubgcell 20059 . . 3 ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝐾𝑁𝐾𝑁)) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇𝑀))𝐾) = ((𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) (𝐾(𝑇𝑀)𝐾)))
264, 21, 22, 22, 25syl112anc 1322 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇𝑀))𝐾) = ((𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) (𝐾(𝑇𝑀)𝐾)))
27 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
289, 1, 27vr1cl 19408 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
2928adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
301, 13pmatring 20317 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
3123, 14ringidcl 18391 . . . . . . . . 9 (𝑄 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑄))
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝑄))
3329, 32jca 553 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
34333adant3 1074 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
3534adantr 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
36 eqid 2610 . . . . . 6 (.r𝑃) = (.r𝑃)
3713, 23, 27, 15, 36matvscacell 20061 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝐾𝑁𝐾𝑁)) → (𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) = (𝑋(.r𝑃)(𝐾 1 𝐾)))
384, 35, 22, 22, 37syl112anc 1322 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) = (𝑋(.r𝑃)(𝐾 1 𝐾)))
39 eqid 2610 . . . . . . 7 (1r𝑃) = (1r𝑃)
40 eqid 2610 . . . . . . 7 (0g𝑃) = (0g𝑃)
41 simpl1 1057 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
4213, 39, 40, 41, 4, 22, 22, 14mat1ov 20073 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 1 𝐾) = if(𝐾 = 𝐾, (1r𝑃), (0g𝑃)))
43 eqid 2610 . . . . . . 7 𝐾 = 𝐾
4443iftruei 4043 . . . . . 6 if(𝐾 = 𝐾, (1r𝑃), (0g𝑃)) = (1r𝑃)
4542, 44syl6eq 2660 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 1 𝐾) = (1r𝑃))
4645oveq2d 6565 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝑋(.r𝑃)(𝐾 1 𝐾)) = (𝑋(.r𝑃)(1r𝑃)))
472, 28jca 553 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
48473ad2ant2 1076 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
4927, 36, 39ringridm 18395 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(.r𝑃)(1r𝑃)) = 𝑋)
5048, 49syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋(.r𝑃)(1r𝑃)) = 𝑋)
5150adantr 480 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝑋(.r𝑃)(1r𝑃)) = 𝑋)
5238, 46, 513eqtrd 2648 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) = 𝑋)
5318, 6, 8, 1, 7mat2pmatvalel 20349 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐾𝑁𝐾𝑁)) → (𝐾(𝑇𝑀)𝐾) = (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾)))
5453anabsan2 859 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾(𝑇𝑀)𝐾) = (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾)))
5552, 54oveq12d 6567 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → ((𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) (𝐾(𝑇𝑀)𝐾)) = (𝑋 (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾))))
5626, 55eqtrd 2644 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇𝑀))𝐾) = (𝑋 (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ifcif 4036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  Basecbs 15695  .rcmulr 15769   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  -gcsg 17247  mulGrpcmgp 18312  1rcur 18324  Ringcrg 18370  algSccascl 19132  var1cv1 19367  Poly1cpl1 19368   Mat cmat 20032   matToPolyMat cmat2pmat 20328   CharPlyMat cchpmat 20450 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-ascl 19135  df-psr 19177  df-mvr 19178  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-vr1 19372  df-ply1 19373  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mamu 20009  df-mat 20033  df-mat2pmat 20331 This theorem is referenced by:  chpdmat  20465
 Copyright terms: Public domain W3C validator