Theorem matrcl 20037

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 3879	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 20033	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpt2ndm0 6773	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	syl5eq 2656	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 15740	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2669	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 141	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874  ⟨cop 4131  ⟨cotp 4133   × cxp 5036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ndxcnx 15692   sSet csts 15693  Basecbs 15695  ._rcmulr 15769   freeLMod cfrlm 19909   maMul cmmul 20008   Mat cmat 20032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-slot 15699  df-base 15700  df-mat 20033

This theorem is referenced by:  matbas2i  20047  matecl  20050  matplusg2  20052  matvsca2  20053  matplusgcell  20058  matsubgcell  20059  matinvgcell  20060  matvscacell  20061  matmulcell  20070  mattposcl  20078  mattposvs  20080  mattposm  20084  matgsumcl  20085  madetsumid  20086  madetsmelbas  20089  madetsmelbas2  20090  marrepval0  20186  marrepval  20187  marrepcl  20189  marepvval0  20191  marepvval  20192  marepvcl  20194  ma1repveval  20196  mulmarep1gsum1  20198  mulmarep1gsum2  20199  submabas  20203  submaval0  20205  submaval  20206  mdetleib2  20213  mdetf  20220  mdetrlin  20227  mdetrsca  20228  mdetralt  20233  mdetmul  20248  maduval  20263  maducoeval2  20265  maduf  20266  madutpos  20267  madugsum  20268  madurid  20269  madulid  20270  minmar1val0  20272  minmar1val  20273  marep01ma  20285  smadiadetlem0  20286  smadiadetlem1a  20288  smadiadetlem3  20293  smadiadetlem4  20294  smadiadet  20295  smadiadetglem2  20297  matinv  20302  matunit  20303  slesolvec  20304  slesolinv  20305  slesolinvbi  20306  slesolex  20307  cramerimplem2  20309  cramerimplem3  20310  cramerimp  20311  decpmatcl  20391  decpmataa0  20392  decpmatmul  20396  smatcl  29196  matunitlindflem2  32576  matunitlindf  32577