Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decpmataa0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decpmataa0 20392
 Description: The matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of a polynomial matrix for the same power is 0 for almost all powers. (Contributed by AV, 3-Nov-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
decpmate.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
decpmate.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
decpmate.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
decpmatcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
decpmatfsupp.0 0 = (0g𝐴)
Assertion
Ref Expression
decpmataa0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑠,𝑥   𝑀,𝑠,𝑥   𝑁,𝑠,𝑥   𝑅,𝑠,𝑥   0 ,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑠)   𝐶(𝑥,𝑠)   𝑃(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem decpmataa0
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 decpmate.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
2 decpmate.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐶)
31, 2matrcl 20037 . . . . 5 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ V))
43simpld 474 . . . 4 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
54adantl 481 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
6 simpl 472 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
7 simpr 476 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
8 decpmate.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
9 eqid 2610 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
108, 1, 2, 9pmatcoe1fsupp 20325 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅)))
115, 6, 7, 10syl3anc 1318 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅)))
12 decpmatcl.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
13 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
148, 1, 2, 12, 13decpmatcl 20391 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝑥) ∈ (Base‘𝐴))
15143expa 1257 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝑥) ∈ (Base‘𝐴))
165, 6jca 553 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
1712matring 20068 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
18 decpmatfsupp.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐴)
1913, 18ring0cl 18392 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝐴))
2016, 17, 193syl 18 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 0 ∈ (Base‘𝐴))
2120adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 0 ∈ (Base‘𝐴))
2212, 13eqmat 20049 . . . . . . 7 (((𝑀 decompPMat 𝑥) ∈ (Base‘𝐴) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = (𝑖 0 𝑗)))
2315, 21, 22syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = (𝑖 0 𝑗)))
24 df-3an 1033 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑥 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0))
258, 1, 2decpmate 20390 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥))
2624, 25sylanbr 489 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥))
2716adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
2827adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
2912, 9mat0op 20044 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (0g𝑅)))
3018, 29syl5eq 2656 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (0g𝑅)))
3128, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 0 = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (0g𝑅)))
32 eqidd 2611 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ (𝑎 = 𝑖𝑏 = 𝑗)) → (0g𝑅) = (0g𝑅))
33 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
3433adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
35 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
3635adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
37 fvex 6113 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) ∈ V
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (0g𝑅) ∈ V)
3931, 32, 34, 36, 38ovmpt2d 6686 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖 0 𝑗) = (0g𝑅))
4026, 39eqeq12d 2625 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = (𝑖 0 𝑗) ↔ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅)))
41402ralbidva 2971 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = (𝑖 0 𝑗) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅)))
4223, 41bitrd 267 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅)))
4342imbi2d 329 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅))))
4443ralbidva 2968 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅))))
4544rexbidv 3034 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅))))
4611, 45mpbird 246 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  Fincfn 7841   < clt 9953  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  0gc0g 15923  Ringcrg 18370  Poly1cpl1 19368  coe1cco1 19369   Mat cmat 20032   decompPMat cdecpmat 20386 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-psr 19177  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-ply1 19373  df-coe1 19374  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mamu 20009  df-mat 20033  df-decpmat 20387 This theorem is referenced by:  decpmatfsupp  20393  pmatcollpwfi  20406
 Copyright terms: Public domain W3C validator