Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cramerimplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cramerimplem2 20309
 Description: Lemma 2 for cramerimp 20311: The matrix of a system of linear equations multiplied with the identity matrix with the ith column replaced by the solution vector of the system of linear equations equals the matrix of the system of linear equations with the ith column replaced by the right-hand side vector of the system of linear equations. (Contributed by AV, 19-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cramerimp.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramerimp.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cramerimp.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
cramerimp.e 𝐸 = (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
cramerimp.h 𝐻 = ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼)
cramerimp.x · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
cramerimp.m × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
Assertion
Ref Expression
cramerimplem2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 × 𝐸) = 𝐻)

Proof of Theorem cramerimplem2
Dummy variables 𝑙 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cramerimp.m . . 3 × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
2 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2610 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 simpl 472 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
543ad2ant1 1075 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑅 ∈ CRing)
6 cramerimp.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7 cramerimp.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
86, 7matrcl 20037 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
98simpld 474 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑁 ∈ Fin)
109adantr 480 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
11103ad2ant2 1076 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑁 ∈ Fin)
129anim2i 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin))
1312ancomd 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
146, 2matbas2 20046 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
1615, 7syl6reqr 2663 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
1716eleq2d 2673 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))))
1817biimpd 218 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))))
1918ex 449 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → (𝑋𝐵 → (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))))
2019adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → (𝑋𝐵 → (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))))
2120com12 32 . . . . . . 7 (𝑋𝐵 → ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))))
2221pm2.43a 52 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))))
2322adantr 480 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))))
2423impcom 445 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
25243adant3 1074 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
26 crngring 18381 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2726adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
2827, 10anim12i 588 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
29283adant3 1074 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
30 ne0i 3880 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑁𝑁 ≠ ∅)
3130adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝑁 ≠ ∅)
32313ad2ant1 1075 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑁 ≠ ∅)
3311, 11, 323jca 1235 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))
34 cramerimp.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
3534eleq2i 2680 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑉𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁))
3635biimpi 205 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑉𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁))
3736adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁))
384, 37anim12i 588 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)))
39383adant3 1074 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)))
40 simp3 1056 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
41 eqid 2610 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))
42 cramerimp.x . . . . . . . 8 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
43 eqid 2610 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
442, 41, 34, 42, 43mavmulsolcl 20176 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁))) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌𝑍𝑉))
4544imp 444 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁))) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑍𝑉)
4633, 39, 40, 45syl21anc 1317 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑍𝑉)
47 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝐼𝑁)
48473ad2ant1 1075 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝐼𝑁)
49 cramerimp.e . . . . . 6 𝐸 = (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
50 eqid 2610 . . . . . . 7 (1r𝐴) = (1r𝐴)
516, 7, 34, 50ma1repvcl 20195 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑍𝑉𝐼𝑁)) → (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ 𝐵)
5249, 51syl5eqel 2692 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑍𝑉𝐼𝑁)) → 𝐸𝐵)
5329, 46, 48, 52syl12anc 1316 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝐸𝐵)
5416eqcomd 2616 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = 𝐵)
5554ad2ant2r 779 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = 𝐵)
56553adant3 1074 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = 𝐵)
5753, 56eleqtrrd 2691 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝐸 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
581, 2, 3, 5, 11, 11, 11, 25, 57mamuval 20011 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 × 𝐸) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝑗))))))
59273ad2ant1 1075 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑅 ∈ Ring)
60593ad2ant1 1075 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
61 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑋𝐵)
62613ad2ant2 1076 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑋𝐵)
6362, 46, 483jca 1235 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋𝐵𝑍𝑉𝐼𝑁))
64633ad2ant1 1075 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑋𝐵𝑍𝑉𝐼𝑁))
65 simp2 1055 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
66 simp3 1056 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
67403ad2ant1 1075 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
68 eqid 2610 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
696, 7, 34, 50, 68, 49, 42mulmarep1gsum2 20199 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑍𝑉𝐼𝑁) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝑗)))) = if(𝑗 = 𝐼, (𝑌𝑖), (𝑖𝑋𝑗)))
7060, 64, 65, 66, 67, 69syl113anc 1330 . . 3 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝑗)))) = if(𝑗 = 𝐼, (𝑌𝑖), (𝑖𝑋𝑗)))
7170mpt2eq3dva 6617 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝑗))))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐼, (𝑌𝑖), (𝑖𝑋𝑗))))
72 cramerimp.h . . 3 𝐻 = ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼)
73 simpr 476 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑌𝑉)
74733ad2ant2 1076 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑌𝑉)
75 eqid 2610 . . . . 5 (𝑁 matRepV 𝑅) = (𝑁 matRepV 𝑅)
766, 7, 75, 34marepvval 20192 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝑉𝐼𝑁) → ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐼, (𝑌𝑖), (𝑖𝑋𝑗))))
7762, 74, 48, 76syl3anc 1318 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐼, (𝑌𝑖), (𝑖𝑋𝑗))))
7872, 77syl5req 2657 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐼, (𝑌𝑖), (𝑖𝑋𝑗))) = 𝐻)
7958, 71, 783eqtrd 2648 1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 × 𝐸) = 𝐻)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  ∅c0 3874  ifcif 4036  ⟨cop 4131  ⟨cotp 4133   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  1rcur 18324  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371   maMul cmmul 20008   Mat cmat 20032   maVecMul cmvmul 20165   matRepV cmatrepV 20182 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mamu 20009  df-mat 20033  df-mvmul 20166  df-marepv 20184 This theorem is referenced by:  cramerimplem3  20310
 Copyright terms: Public domain W3C validator