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Theorem cramerimplem2 19313
Description: Lemma 2 for cramerimp 19315: The matrix of a system of linear equations multiplied with the identity matrix with the ith column replaced by the solution vector of the system of linear equations equals the matrix of the system of linear equations with the ith column replaced by the right-hand side vector of the system of linear equations. (Contributed by AV, 19-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cramerimp.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
cramerimp.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
cramerimp.v  |-  V  =  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
cramerimp.e  |-  E  =  ( ( ( 1r
`  A ) ( N matRepV  R ) Z ) `
 I )
cramerimp.h  |-  H  =  ( ( X ( N matRepV  R ) Y ) `
 I )
cramerimp.x  |-  .x.  =  ( R maVecMul  <. N ,  N >. )
cramerimp.m  |-  .X.  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
Assertion
Ref Expression
cramerimplem2  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  ->  ( X  .X.  E )  =  H )

Proof of Theorem cramerimplem2
Dummy variables  l 
i  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cramerimp.m . . 3  |-  .X.  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
2 eqid 2457 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2457 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  ->  R  e.  CRing )
543ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  ->  R  e.  CRing )
6 cramerimp.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( N Mat  R )
7 cramerimp.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  A
)
86, 7matrcl 19041 . . . . . 6  |-  ( X  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
98simpld 459 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  N  e.  Fin )
109adantr 465 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  N  e.  Fin )
11103ad2ant2 1018 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  ->  N  e.  Fin )
129anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin ) )
1312ancomd 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )
146, 2matbas2 19050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  =  (
Base `  A )
)
1615, 7syl6reqr 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  B  =  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) ) )
1716eleq2d 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  B  <->  X  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )
1817biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )
1918ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( X  e.  B  ->  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) ) )
2019adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  ->  ( X  e.  B  ->  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) ) ) )
2120com12 31 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  (
( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  ->  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) ) )
2221pm2.43a 49 . . . . . 6  |-  ( X  e.  B  ->  (
( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  ->  X  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )
2322adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( R  e. 
CRing  /\  I  e.  N
)  ->  X  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )
2423impcom 430 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V ) )  ->  X  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) )
25243adant3 1016 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  ->  X  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
26 crngring 17336 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
2726adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
2827, 10anim12i 566 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V ) )  -> 
( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )
)
29283adant3 1016 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  ->  ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin ) )
30 ne0i 3799 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  N  ->  N  =/=  (/) )
3130adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  ->  N  =/=  (/) )
32313ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  ->  N  =/=  (/) )
3311, 11, 323jca 1176 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  ->  ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/) ) )
34 cramerimp.v . . . . . . . . . . 11  |-  V  =  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
3534eleq2i 2535 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  V  <->  Y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
)
3635biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  V  ->  Y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
)
3736adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  ( (
Base `  R )  ^m  N ) )
384, 37anim12i 566 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V ) )  -> 
( R  e.  CRing  /\  Y  e.  ( (
Base `  R )  ^m  N ) ) )
39383adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  ->  ( R  e.  CRing  /\  Y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
) )
40 simp3 998 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  ->  ( X  .x.  Z )  =  Y )
41 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  =  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )
42 cramerimp.x . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( R maVecMul  <. N ,  N >. )
43 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  R )  ^m  N )  =  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
442, 41, 34, 42, 43mavmulsolcl 19180 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  CRing  /\  Y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
) )  ->  (
( X  .x.  Z
)  =  Y  ->  Z  e.  V )
)
4544imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  CRing  /\  Y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
) )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  ->  Z  e.  V )
4633, 39, 40, 45syl21anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  ->  Z  e.  V )
47 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  ->  I  e.  N )
48473ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  ->  I  e.  N )
49 cramerimp.e . . . . . 6  |-  E  =  ( ( ( 1r
`  A ) ( N matRepV  R ) Z ) `
 I )
50 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  A
)
516, 7, 34, 50ma1repvcl 19199 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( Z  e.  V  /\  I  e.  N
) )  ->  (
( ( 1r `  A ) ( N matRepV  R ) Z ) `
 I )  e.  B )
5249, 51syl5eqel 2549 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( Z  e.  V  /\  I  e.  N
) )  ->  E  e.  B )
5329, 46, 48, 52syl12anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  ->  E  e.  B )
5416eqcomd 2465 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  =  B )
5554ad2ant2r 746 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V ) )  -> 
( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  =  B )
56553adant3 1016 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  ->  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  =  B )
5753, 56eleqtrrd 2548 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  ->  E  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
581, 2, 3, 5, 11, 11, 11, 25, 57mamuval 19015 . 2  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  ->  ( X  .X.  E )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l E j ) ) ) ) ) )
59273ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  ->  R  e.  Ring )
60593ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  I  e.  N
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
61 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  X  e.  B )
62613ad2ant2 1018 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  ->  X  e.  B )
6362, 46, 483jca 1176 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  ->  ( X  e.  B  /\  Z  e.  V  /\  I  e.  N )
)
64633ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  I  e.  N
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( X  e.  B  /\  Z  e.  V  /\  I  e.  N )
)
65 simp2 997 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  I  e.  N
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
66 simp3 998 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  I  e.  N
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
67403ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  I  e.  N
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( X  .x.  Z )  =  Y )
68 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
696, 7, 34, 50, 68, 49, 42mulmarep1gsum2 19203 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  V  /\  I  e.  N )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  ( X  .x.  Z
)  =  Y ) )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l E j ) ) ) )  =  if ( j  =  I ,  ( Y `  i ) ,  ( i X j ) ) )
7060, 64, 65, 66, 67, 69syl113anc 1240 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  I  e.  N
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l E j ) ) ) )  =  if ( j  =  I ,  ( Y `
 i ) ,  ( i X j ) ) )
7170mpt2eq3dva 6360 . 2  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l E j ) ) ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( j  =  I ,  ( Y `  i ) ,  ( i X j ) ) ) )
72 cramerimp.h . . 3  |-  H  =  ( ( X ( N matRepV  R ) Y ) `
 I )
73 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  V )
74733ad2ant2 1018 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  ->  Y  e.  V )
75 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( N matRepV  R )  =  ( N matRepV  R )
766, 7, 75, 34marepvval 19196 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  V  /\  I  e.  N )  ->  ( ( X ( N matRepV  R ) Y ) `
 I )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( j  =  I ,  ( Y `
 i ) ,  ( i X j ) ) ) )
7762, 74, 48, 76syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  ->  (
( X ( N matRepV  R ) Y ) `
 I )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( j  =  I ,  ( Y `
 i ) ,  ( i X j ) ) ) )
7872, 77syl5req 2511 . 2  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( j  =  I ,  ( Y `  i ) ,  ( i X j ) ) )  =  H )
7958, 71, 783eqtrd 2502 1  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( X  .x.  Z )  =  Y )  ->  ( X  .X.  E )  =  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   _Vcvv 3109   (/)c0 3793   ifcif 3944   <.cop 4038   <.cotp 4040    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   Basecbs 14644   .rcmulr 14713   0gc0g 14857    gsumg cgsu 14858   1rcur 17280   Ringcrg 17325   CRingccrg 17326   maMul cmmul 19012   Mat cmat 19036   maVecMul cmvmul 19169   matRepV cmatrepV 19186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-hom 14736  df-cco 14737  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-prds 14865  df-pws 14867  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-dsmm 18890  df-frlm 18905  df-mamu 19013  df-mat 19037  df-mvmul 19170  df-marepv 19188
This theorem is referenced by:  cramerimplem3  19314
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