Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matplusg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matplusg2 20052
 Description: Addition in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matplusg2.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusg2.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matplusg2.p = (+g𝐴)
matplusg2.q + = (+g𝑅)
Assertion
Ref Expression
matplusg2 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋𝑓 + 𝑌))

Proof of Theorem matplusg2
StepHypRef Expression
1 matplusg2.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 matplusg2.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
31, 2matrcl 20037 . . . . 5 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
43adantr 480 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
61, 5matplusg 20039 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (+g𝐴))
7 matplusg2.p . . . . 5 = (+g𝐴)
86, 7syl6eqr 2662 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = )
94, 8syl 17 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = )
109oveqd 6566 . 2 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (𝑋 𝑌))
11 eqid 2610 . . 3 (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
124simprd 478 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ V)
134simpld 474 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
14 xpfi 8116 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
1513, 13, 14syl2anc 691 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
16 simpl 472 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
171, 5matbas 20038 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
184, 17syl 17 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
1918, 2syl6eqr 2662 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = 𝐵)
2016, 19eleqtrrd 2691 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
21 simpr 476 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
2221, 19eleqtrrd 2691 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
23 matplusg2.q . . 3 + = (+g𝑅)
24 eqid 2610 . . 3 (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
255, 11, 12, 15, 20, 22, 23, 24frlmplusgval 19926 . 2 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (𝑋𝑓 + 𝑌))
2610, 25eqtr3d 2646 1 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋𝑓 + 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   × cxp 5036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  Fincfn 7841  Basecbs 15695  +gcplusg 15768   freeLMod cfrlm 19909   Mat cmat 20032 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-prds 15931  df-pws 15933  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mat 20033 This theorem is referenced by:  matplusgcell  20058  matring  20068  mat2pmatghm  20354  pm2mpghm  20440
 Copyright terms: Public domain W3C validator