Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrass23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrass23 19231
 Description: Associative identities for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrass.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t × = (.r𝑆)
psrass.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x (𝜑𝑋𝐵)
psrass.y (𝜑𝑌𝐵)
psrcom.c (𝜑𝑅 ∈ CRing)
psrass.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrass.n · = ( ·𝑠𝑆)
psrass.a (𝜑𝐴𝐾)
Assertion
Ref Expression
psrass23 (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)) ∧ (𝑋 × (𝐴 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   × (𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrass23
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 𝑤 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrring.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
3 psrring.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 psrass.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5 psrass.t . . 3 × = (.r𝑆)
6 psrass.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
7 psrass.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
8 psrass.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
9 psrass.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
10 psrass.n . . 3 · = ( ·𝑠𝑆)
11 psrass.a . . 3 (𝜑𝐴𝐾)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11psrass23l 19229 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))
13 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1511adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝐴𝐾)
1615, 9syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
1716adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
188ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑌𝐵)
19 ssrab2 3650 . . . . . . . . . . 11 {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ⊆ 𝐷
202ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝐼𝑉)
21 simplr 788 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑘𝐷)
22 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
23 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} = {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}
244, 23psrbagconcl 19194 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑘𝐷𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
2520, 21, 22, 24syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
2619, 25sseldi 3566 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷)
271, 10, 13, 6, 14, 4, 17, 18, 26psrvscaval 19213 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝐴 · 𝑌)‘(𝑘𝑓𝑥)) = (𝐴(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))
2827oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝐴 · 𝑌)‘(𝑘𝑓𝑥))) = ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))
297ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑋𝐵)
301, 13, 4, 6, 29psrelbas 19200 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
3119, 22sseldi 3566 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥𝐷)
3230, 31ffvelrnd 6268 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
331, 13, 4, 6, 18psrelbas 19200 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
3433, 26ffvelrnd 6268 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
35 psrcom.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
3635ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑅 ∈ CRing)
3713, 14crngcom 18385 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑢(.r𝑅)𝑣) = (𝑣(.r𝑅)𝑢))
38373expb 1258 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑢(.r𝑅)𝑣) = (𝑣(.r𝑅)𝑢))
3936, 38sylan 487 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑢(.r𝑅)𝑣) = (𝑣(.r𝑅)𝑢))
403ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
4113, 14ringass 18387 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑢(.r𝑅)𝑣)(.r𝑅)𝑤) = (𝑢(.r𝑅)(𝑣(.r𝑅)𝑤)))
4240, 41sylan 487 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑢(.r𝑅)𝑣)(.r𝑅)𝑤) = (𝑢(.r𝑅)(𝑣(.r𝑅)𝑤)))
4332, 17, 34, 39, 42caov12d 6753 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))
4428, 43eqtrd 2644 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝐴 · 𝑌)‘(𝑘𝑓𝑥))) = (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))
4544mpteq2dva 4672 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝐴 · 𝑌)‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))))
4645oveq2d 6565 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝐴 · 𝑌)‘(𝑘𝑓𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
47 eqid 2610 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
48 eqid 2610 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
493adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
504psrbaglefi 19193 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin)
512, 50sylan 487 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin)
5213, 14ringcl 18384 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
5340, 32, 34, 52syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
54 ovex 6577 . . . . . . . . . . 11 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
554, 54rabex2 4742 . . . . . . . . . 10 𝐷 ∈ V
5655mptrabex 6392 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∈ V
57 funmpt 5840 . . . . . . . . 9 Fun (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))
58 fvex 6113 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) ∈ V
5956, 57, 583pm3.2i 1232 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V)
6059a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V))
61 suppssdm 7195 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) supp (0g𝑅)) ⊆ dom (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))
62 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))
6362dmmptss 5548 . . . . . . . . 9 dom (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ⊆ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}
6461, 63sstri 3577 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}
6564a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
66 suppssfifsupp 8173 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) finSupp (0g𝑅))
6760, 51, 65, 66syl12anc 1316 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) finSupp (0g𝑅))
6813, 47, 48, 14, 49, 51, 16, 53, 67gsummulc2 18430 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))) = (𝐴(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
6946, 68eqtrd 2644 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝐴 · 𝑌)‘(𝑘𝑓𝑥))))) = (𝐴(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
7069mpteq2dva 4672 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝐴 · 𝑌)‘(𝑘𝑓𝑥)))))) = (𝑘𝐷 ↦ (𝐴(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))))))
711, 10, 9, 6, 3, 11, 8psrvscacl 19214 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝐵)
721, 6, 14, 5, 4, 7, 71psrmulfval 19206 . . 3 (𝜑 → (𝑋 × (𝐴 · 𝑌)) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝐴 · 𝑌)‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
731, 6, 5, 3, 7, 8psrmulcl 19209 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
741, 10, 9, 6, 14, 4, 11, 73psrvsca 19212 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝐷 × {𝐴}) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
7555a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ V)
76 ovex 6577 . . . . . 6 (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))) ∈ V
7776a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))) ∈ V)
78 fconstmpt 5085 . . . . . 6 (𝐷 × {𝐴}) = (𝑘𝐷𝐴)
7978a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 × {𝐴}) = (𝑘𝐷𝐴))
801, 6, 14, 5, 4, 7, 8psrmulfval 19206 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
8175, 15, 77, 79, 80offval2 6812 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷 × {𝐴}) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑋 × 𝑌)) = (𝑘𝐷 ↦ (𝐴(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))))))
8274, 81eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)) = (𝑘𝐷 ↦ (𝐴(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))))))
8370, 72, 823eqtr4d 2654 . 2 (𝜑 → (𝑋 × (𝐴 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))
8412, 83jca 553 1 (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)) ∧ (𝑋 × (𝐴 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793   ∘𝑟 cofr 6794   supp csupp 7182   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371   mPwSer cmps 19172 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-psr 19177 This theorem is referenced by:  psrassa  19235
 Copyright terms: Public domain W3C validator