MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decpmatmullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decpmatmullem 20395
Description: Lemma for decpmatmul 20396. (Contributed by AV, 20-Oct-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
decpmatmul.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
decpmatmul.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
decpmatmul.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
decpmatmullem (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼((𝑈(.r𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = (𝑅 Σg (𝑡𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝐼,𝑙,𝑡   𝐽,𝑙,𝑡   𝐾,𝑙,𝑡   𝑡,𝑁   𝑡,𝑃   𝑅,𝑙,𝑡   𝑈,𝑙,𝑡   𝑊,𝑙,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   𝐶(𝑡,𝑙)   𝑃(𝑙)   𝑁(𝑙)

Proof of Theorem decpmatmullem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
213ad2ant1 1075 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ Ring)
3 decpmatmul.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 decpmatmul.c . . . . . . 7 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
53, 4pmatring 20317 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
65adantr 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵)) → 𝐶 ∈ Ring)
7 simpl 472 . . . . . 6 ((𝑈𝐵𝑊𝐵) → 𝑈𝐵)
87adantl 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵)) → 𝑈𝐵)
9 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑈𝐵𝑊𝐵) → 𝑊𝐵)
109adantl 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵)) → 𝑊𝐵)
11 decpmatmul.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐶)
12 eqid 2610 . . . . . 6 (.r𝐶) = (.r𝐶)
1311, 12ringcl 18384 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐵𝑊𝐵) → (𝑈(.r𝐶)𝑊) ∈ 𝐵)
146, 8, 10, 13syl3anc 1318 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵)) → (𝑈(.r𝐶)𝑊) ∈ 𝐵)
15143adant3 1074 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑈(.r𝐶)𝑊) ∈ 𝐵)
16 simp33 1092 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
17 3simpa 1051 . . . 4 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼𝑁𝐽𝑁))
18173ad2ant3 1077 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼𝑁𝐽𝑁))
193, 4, 11decpmate 20390 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑈(.r𝐶)𝑊) ∈ 𝐵𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼((𝑈(.r𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = ((coe1‘(𝐼(𝑈(.r𝐶)𝑊)𝐽))‘𝐾))
202, 15, 16, 18, 19syl31anc 1321 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼((𝑈(.r𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = ((coe1‘(𝐼(𝑈(.r𝐶)𝑊)𝐽))‘𝐾))
213ply1ring 19439 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
22 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
234, 22matmulr 20063 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐶))
2423eqcomd 2616 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → (.r𝐶) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
2521, 24sylan2 490 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r𝐶) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
26253ad2ant1 1075 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (.r𝐶) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
2726oveqd 6566 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑈(.r𝐶)𝑊) = (𝑈(𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑊))
2827oveqd 6566 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼(𝑈(.r𝐶)𝑊)𝐽) = (𝐼(𝑈(𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑊)𝐽))
29 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
30 eqid 2610 . . . . . 6 (.r𝑃) = (.r𝑃)
3121adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
32313ad2ant1 1075 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑃 ∈ Ring)
33 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
34333ad2ant1 1075 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ Fin)
354, 29matbas2 20046 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐶))
3635, 11syl6reqr 2663 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐵 = ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
3721, 36sylan2 490 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐵 = ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
3837eleq2d 2673 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑈𝐵𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))))
3938biimpcd 238 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐵 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))))
4039adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑈𝐵𝑊𝐵) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))))
4140impcom 445 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵)) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
42413adant3 1074 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
4321, 35sylan2 490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐶))
4443, 11syl6reqr 2663 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐵 = ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
4544eleq2d 2673 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑊𝐵𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))))
4645biimpcd 238 . . . . . . . . 9 (𝑊𝐵 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))))
4746adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑈𝐵𝑊𝐵) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))))
4847impcom 445 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵)) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
49483adant3 1074 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
50 simp31 1090 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐼𝑁)
51 simp32 1091 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐽𝑁)
5222, 29, 30, 32, 34, 34, 34, 42, 49, 50, 51mamufv 20012 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼(𝑈(𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑊)𝐽) = (𝑃 Σg (𝑡𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))
5328, 52eqtrd 2644 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼(𝑈(.r𝐶)𝑊)𝐽) = (𝑃 Σg (𝑡𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))
5453fveq2d 6107 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (coe1‘(𝐼(𝑈(.r𝐶)𝑊)𝐽)) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑡𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽))))))
5554fveq1d 6105 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝐼(𝑈(.r𝐶)𝑊)𝐽))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑡𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))‘𝐾))
5632adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
5750adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → 𝐼𝑁)
58 simpr 476 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → 𝑡𝑁)
59 simpl2l 1107 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → 𝑈𝐵)
604, 29, 11, 57, 58, 59matecld 20051 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → (𝐼𝑈𝑡) ∈ (Base‘𝑃))
6151adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → 𝐽𝑁)
62 simpl2r 1108 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → 𝑊𝐵)
634, 29, 11, 58, 61, 62matecld 20051 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → (𝑡𝑊𝐽) ∈ (Base‘𝑃))
6429, 30ringcl 18384 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑈𝑡) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑡𝑊𝐽) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
6556, 60, 63, 64syl3anc 1318 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
6665ralrimiva 2949 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → ∀𝑡𝑁 ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
673, 29, 2, 16, 66, 34coe1fzgsumd 19493 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑡𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑡𝑁 ↦ ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾))))
68 simpl1r 1106 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
69 eqid 2610 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
703, 30, 69, 29coe1mul 19461 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑈𝑡) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑡𝑊𝐽) ∈ (Base‘𝑃)) → (coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘𝑙)))))))
7168, 60, 63, 70syl3anc 1318 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → (coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘𝑙)))))))
72 oveq2 6557 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐾 → (0...𝑘) = (0...𝐾))
73 oveq1 6556 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐾 → (𝑘𝑙) = (𝐾𝑙))
7473fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐾 → ((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘𝑙)) = ((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙)))
7574oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐾 → (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘𝑙))) = (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))
7672, 75mpteq12dv 4663 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐾 → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙)))))
7776oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))))
7877adantl 481 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))))
7916adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
80 ovex 6577 . . . . . . 7 (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))) ∈ V
8180a1i 11 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))) ∈ V)
8271, 78, 79, 81fvmptd 6197 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))))
8382mpteq2dva 4672 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑡𝑁 ↦ ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾)) = (𝑡𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙)))))))
8483oveq2d 6565 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑅 Σg (𝑡𝑁 ↦ ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑡𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))))))
8567, 84eqtrd 2644 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑡𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑡𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))))))
8620, 55, 853eqtrd 2648 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼((𝑈(.r𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = (𝑅 Σg (𝑡𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  cotp 4133  cmpt 4643   × cxp 5036  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  0cc0 9815  cmin 10145  0cn0 11169  ...cfz 12197  Basecbs 15695  .rcmulr 15769   Σg cgsu 15924  Ringcrg 18370  Poly1cpl1 19368  coe1cco1 19369   maMul cmmul 20008   Mat cmat 20032   decompPMat cdecpmat 20386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-psr 19177  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-ply1 19373  df-coe1 19374  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mamu 20009  df-mat 20033  df-decpmat 20387
This theorem is referenced by:  decpmatmul  20396
  Copyright terms: Public domain W3C validator