MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimmul Structured version   Unicode version

Theorem mat1dimmul 19145
Description: The ring multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
mat1dim.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mat1dim.o  |-  O  = 
<. E ,  E >.
Assertion
Ref Expression
mat1dimmul  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  X >. }  ( .r
`  A ) {
<. O ,  Y >. } )  =  { <. O ,  ( X ( .r `  R ) Y ) >. } )

Proof of Theorem mat1dimmul
Dummy variables  x  y  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snfi 7589 . . . . . 6  |-  { E }  e.  Fin
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  { E }  e.  Fin )
3 simpl 455 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  R  e.  Ring )
4 mat1dim.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
5 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( R maMul  <. { E } ,  { E } ,  { E } >. )  =  ( R maMul  <. { E } ,  { E } ,  { E } >. )
64, 5matmulr 19107 . . . . . 6  |-  ( ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( R maMul  <. { E } ,  { E } ,  { E } >. )  =  ( .r `  A ) )
76eqcomd 2462 . . . . 5  |-  ( ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( .r `  A )  =  ( R maMul  <. { E } ,  { E } ,  { E } >. )
)
82, 3, 7syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( .r `  A )  =  ( R maMul  <. { E } ,  { E } ,  { E } >. ) )
98adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( .r `  A
)  =  ( R maMul  <. { E } ,  { E } ,  { E } >. ) )
109oveqd 6287 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  X >. }  ( .r
`  A ) {
<. O ,  Y >. } )  =  ( {
<. O ,  X >. }  ( R maMul  <. { E } ,  { E } ,  { E } >. ) { <. O ,  Y >. } ) )
11 mat1dim.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
12 eqid 2454 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
133adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  R  e.  Ring )
141a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { E }  e.  Fin )
15 opex 4701 . . . . . . . . 9  |-  <. E ,  E >.  e.  _V
1615a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  <. E ,  E >.  e.  _V )
17 simpl 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
18 f1osng 5836 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. E ,  E >.  e. 
_V  /\  X  e.  B )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : { <. E ,  E >. } -1-1-onto-> { X } )
1916, 17, 18syl2an 475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : { <. E ,  E >. } -1-1-onto-> { X } )
20 f1of 5798 . . . . . . 7  |-  ( {
<. <. E ,  E >. ,  X >. } : { <. E ,  E >. } -1-1-onto-> { X }  ->  {
<. <. E ,  E >. ,  X >. } : { <. E ,  E >. } --> { X }
)
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : { <. E ,  E >. } --> { X }
)
22 mat1dim.o . . . . . . . . . 10  |-  O  = 
<. E ,  E >.
2322a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  O  =  <. E ,  E >. )
2423opeq1d 4209 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  <. O ,  X >.  = 
<. <. E ,  E >. ,  X >. )
2524sneqd 4028 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  X >. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } )
26 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  E  e.  V )
27 xpsng 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
2826, 26, 27syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
2928adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
3025, 29feq12d 5702 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  X >. } : ( { E }  X.  { E } ) --> { X }  <->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : { <. E ,  E >. } --> { X } ) )
3121, 30mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  X >. } : ( { E }  X.  { E } ) --> { X } )
32 snssi 4160 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  { X }  C_  B )
3332adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  { X }  C_  B )
3433adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { X }  C_  B
)
3531, 34fssd 5722 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  X >. } : ( { E }  X.  { E } ) --> B )
36 fvex 5858 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
3711, 36eqeltri 2538 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
3837a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  B  e.  _V )
39 snex 4678 . . . . . . 7  |-  { E }  e.  _V
4039, 39xpex 6577 . . . . . 6  |-  ( { E }  X.  { E } )  e.  _V
4140a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { E }  X.  { E } )  e.  _V )
4238, 41elmapd 7426 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  X >. }  e.  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E } ) )  <->  { <. O ,  X >. } : ( { E }  X.  { E } ) --> B ) )
4335, 42mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  X >. }  e.  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E }
) ) )
44 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
45 f1osng 5836 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. E ,  E >.  e. 
_V  /\  Y  e.  B )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  Y >. } : { <. E ,  E >. } -1-1-onto-> { Y } )
4616, 44, 45syl2an 475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  Y >. } : { <. E ,  E >. } -1-1-onto-> { Y } )
47 f1of 5798 . . . . . . 7  |-  ( {
<. <. E ,  E >. ,  Y >. } : { <. E ,  E >. } -1-1-onto-> { Y }  ->  {
<. <. E ,  E >. ,  Y >. } : { <. E ,  E >. } --> { Y }
)
4846, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  Y >. } : { <. E ,  E >. } --> { Y }
)
4923opeq1d 4209 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  <. O ,  Y >.  = 
<. <. E ,  E >. ,  Y >. )
5049sneqd 4028 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  Y >. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  Y >. } )
5150, 29feq12d 5702 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  Y >. } : ( { E }  X.  { E } ) --> { Y }  <->  { <. <. E ,  E >. ,  Y >. } : { <. E ,  E >. } --> { Y } ) )
5248, 51mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  Y >. } : ( { E }  X.  { E } ) --> { Y } )
53 snssi 4160 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  B  ->  { Y }  C_  B )
5453adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  { Y }  C_  B )
5554adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { Y }  C_  B
)
5652, 55fssd 5722 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  Y >. } : ( { E }  X.  { E } ) --> B )
5738, 41elmapd 7426 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  Y >. }  e.  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E } ) )  <->  { <. O ,  Y >. } : ( { E }  X.  { E } ) --> B ) )
5856, 57mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  Y >. }  e.  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E }
) ) )
595, 11, 12, 13, 14, 14, 14, 43, 58mamuval 19055 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  X >. }  ( R maMul  <. { E } ,  { E } ,  { E } >. ) { <. O ,  Y >. } )  =  ( x  e. 
{ E } , 
y  e.  { E }  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( x { <. O ,  X >. } k ) ( .r
`  R ) ( k { <. O ,  Y >. } y ) ) ) ) ) )
6026adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  E  e.  V )
61 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
62 ringcmn 17424 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
6362adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  R  e. CMnd )
6463adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  R  e. CMnd )
65 df-ov 6273 . . . . . . . . . 10  |-  ( E { <. O ,  X >. } E )  =  ( { <. O ,  X >. } `  <. E ,  E >. )
6622opeq1i 4206 . . . . . . . . . . . 12  |-  <. O ,  X >.  =  <. <. E ,  E >. ,  X >.
6766sneqi 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. O ,  X >. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  X >. }
6867fveq1i 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. O ,  X >. } `
 <. E ,  E >. )  =  ( {
<. <. E ,  E >. ,  X >. } `  <. E ,  E >. )
6965, 68eqtri 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( E { <. O ,  X >. } E )  =  ( { <. <. E ,  E >. ,  X >. } `
 <. E ,  E >. )
7015a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  B  ->  <. E ,  E >.  e.  _V )
7170anim2i 567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  e.  B  /\  <. E ,  E >.  e.  _V ) )
7271ancomd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( <. E ,  E >.  e.  _V  /\  X  e.  B ) )
73 fvsng 6081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. E ,  E >.  e. 
_V  /\  X  e.  B )  ->  ( { <. <. E ,  E >. ,  X >. } `  <. E ,  E >. )  =  X )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { <. <. E ,  E >. ,  X >. } `
 <. E ,  E >. )  =  X )
7574adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. <. E ,  E >. ,  X >. } `
 <. E ,  E >. )  =  X )
7669, 75syl5eq 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( E { <. O ,  X >. } E
)  =  X )
7717adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  X  e.  B )
7876, 77eqeltrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( E { <. O ,  X >. } E
)  e.  B )
79 df-ov 6273 . . . . . . . . . 10  |-  ( E { <. O ,  Y >. } E )  =  ( { <. O ,  Y >. } `  <. E ,  E >. )
8022opeq1i 4206 . . . . . . . . . . . 12  |-  <. O ,  Y >.  =  <. <. E ,  E >. ,  Y >.
8180sneqi 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. O ,  Y >. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  Y >. }
8281fveq1i 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. O ,  Y >. } `
 <. E ,  E >. )  =  ( {
<. <. E ,  E >. ,  Y >. } `  <. E ,  E >. )
8379, 82eqtri 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( E { <. O ,  Y >. } E )  =  ( { <. <. E ,  E >. ,  Y >. } `
 <. E ,  E >. )
8415a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  B  ->  <. E ,  E >.  e.  _V )
85 fvsng 6081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. E ,  E >.  e. 
_V  /\  Y  e.  B )  ->  ( { <. <. E ,  E >. ,  Y >. } `  <. E ,  E >. )  =  Y )
8684, 85sylan 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { <. <. E ,  E >. ,  Y >. } `
 <. E ,  E >. )  =  Y )
8786adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. <. E ,  E >. ,  Y >. } `
 <. E ,  E >. )  =  Y )
8883, 87syl5eq 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( E { <. O ,  Y >. } E
)  =  Y )
8944adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  Y  e.  B )
9088, 89eqeltrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( E { <. O ,  Y >. } E
)  e.  B )
9111, 12ringcl 17407 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( E { <. O ,  X >. } E )  e.  B  /\  ( E { <. O ,  Y >. } E )  e.  B )  ->  (
( E { <. O ,  X >. } E
) ( .r `  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E ) )  e.  B )
9213, 78, 90, 91syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( E { <. O ,  X >. } E ) ( .r
`  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E ) )  e.  B )
93 oveq2 6278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  E  ->  ( E { <. O ,  X >. } k )  =  ( E { <. O ,  X >. } E
) )
94 oveq1 6277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  E  ->  (
k { <. O ,  Y >. } E )  =  ( E { <. O ,  Y >. } E ) )
9593, 94oveq12d 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  E  ->  (
( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R ) ( k { <. O ,  Y >. } E ) )  =  ( ( E { <. O ,  X >. } E ) ( .r `  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E
) ) )
9611eqcomi 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  =  B
9796a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  E  ->  ( Base `  R )  =  B )
9895, 97eleq12d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  E  ->  (
( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r
`  R ) ( k { <. O ,  Y >. } E ) )  e.  ( Base `  R )  <->  ( ( E { <. O ,  X >. } E ) ( .r `  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E
) )  e.  B
) )
9998ralsng 4051 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  V  ->  ( A. k  e.  { E }  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R ) ( k { <. O ,  Y >. } E
) )  e.  (
Base `  R )  <->  ( ( E { <. O ,  X >. } E
) ( .r `  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E ) )  e.  B ) )
10099adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( A. k  e.  { E }  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R ) ( k { <. O ,  Y >. } E
) )  e.  (
Base `  R )  <->  ( ( E { <. O ,  X >. } E
) ( .r `  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E ) )  e.  B ) )
101100adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( A. k  e. 
{ E }  (
( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R ) ( k { <. O ,  Y >. } E ) )  e.  ( Base `  R
)  <->  ( ( E { <. O ,  X >. } E ) ( .r `  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E
) )  e.  B
) )
10292, 101mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  A. k  e.  { E }  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R ) ( k { <. O ,  Y >. } E
) )  e.  (
Base `  R )
)
10361, 64, 14, 102gsummptcl 17190 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R
) ( k {
<. O ,  Y >. } E ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
104 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( x  e.  { E } ,  y  e.  { E }  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( x { <. O ,  X >. } k ) ( .r
`  R ) ( k { <. O ,  Y >. } y ) ) ) ) )  =  ( x  e. 
{ E } , 
y  e.  { E }  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( x { <. O ,  X >. } k ) ( .r
`  R ) ( k { <. O ,  Y >. } y ) ) ) ) )
105 oveq1 6277 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  E  ->  (
x { <. O ,  X >. } k )  =  ( E { <. O ,  X >. } k ) )
106105oveq1d 6285 . . . . . . 7  |-  ( x  =  E  ->  (
( x { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R ) ( k { <. O ,  Y >. } y ) )  =  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R ) ( k { <. O ,  Y >. } y ) ) )
107106mpteq2dv 4526 . . . . . 6  |-  ( x  =  E  ->  (
k  e.  { E }  |->  ( ( x { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R ) ( k { <. O ,  Y >. } y ) ) )  =  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R
) ( k {
<. O ,  Y >. } y ) ) ) )
108107oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( x  =  E  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( x { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R
) ( k {
<. O ,  Y >. } y ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R
) ( k {
<. O ,  Y >. } y ) ) ) ) )
109 oveq2 6278 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  E  ->  (
k { <. O ,  Y >. } y )  =  ( k {
<. O ,  Y >. } E ) )
110109oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( y  =  E  ->  (
( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R ) ( k { <. O ,  Y >. } y ) )  =  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R ) ( k { <. O ,  Y >. } E
) ) )
111110mpteq2dv 4526 . . . . . 6  |-  ( y  =  E  ->  (
k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R ) ( k { <. O ,  Y >. } y ) ) )  =  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R
) ( k {
<. O ,  Y >. } E ) ) ) )
112111oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( y  =  E  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R
) ( k {
<. O ,  Y >. } y ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R
) ( k {
<. O ,  Y >. } E ) ) ) ) )
113104, 108, 112mpt2sn 6864 . . . 4  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V  /\  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R
) ( k {
<. O ,  Y >. } E ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( x  e.  { E } ,  y  e. 
{ E }  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( x { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R
) ( k {
<. O ,  Y >. } y ) ) ) ) )  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r
`  R ) ( k { <. O ,  Y >. } E ) ) ) ) >. } )
11460, 60, 103, 113syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( x  e.  { E } ,  y  e. 
{ E }  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( x { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R
) ( k {
<. O ,  Y >. } y ) ) ) ) )  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r
`  R ) ( k { <. O ,  Y >. } E ) ) ) ) >. } )
11522eqcomi 2467 . . . . . 6  |-  <. E ,  E >.  =  O
116115a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  <. E ,  E >.  =  O )
117 ringmnd 17402 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
118117adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  R  e.  Mnd )
119118adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  R  e.  Mnd )
12011, 95gsumsn 17177 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  E  e.  V  /\  ( ( E { <. O ,  X >. } E ) ( .r
`  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E ) )  e.  B )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r
`  R ) ( k { <. O ,  Y >. } E ) ) ) )  =  ( ( E { <. O ,  X >. } E ) ( .r
`  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E ) ) )
121119, 60, 92, 120syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R
) ( k {
<. O ,  Y >. } E ) ) ) )  =  ( ( E { <. O ,  X >. } E ) ( .r `  R
) ( E { <. O ,  Y >. } E ) ) )
122116, 121opeq12d 4211 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  <. <. E ,  E >. ,  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r
`  R ) ( k { <. O ,  Y >. } E ) ) ) ) >.  =  <. O ,  ( ( E { <. O ,  X >. } E
) ( .r `  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E ) )
>. )
123122sneqd 4028 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r
`  R ) ( k { <. O ,  Y >. } E ) ) ) ) >. }  =  { <. O , 
( ( E { <. O ,  X >. } E ) ( .r
`  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E ) ) >. } )
12476, 88oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( E { <. O ,  X >. } E ) ( .r
`  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E ) )  =  ( X ( .r `  R
) Y ) )
125124opeq2d 4210 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  <. O ,  ( ( E { <. O ,  X >. } E ) ( .r `  R
) ( E { <. O ,  Y >. } E ) ) >.  =  <. O ,  ( X ( .r `  R ) Y )
>. )
126125sneqd 4028 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  ( ( E { <. O ,  X >. } E
) ( .r `  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E ) )
>. }  =  { <. O ,  ( X ( .r `  R ) Y ) >. } )
127114, 123, 1263eqtrd 2499 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( x  e.  { E } ,  y  e. 
{ E }  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( x { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R
) ( k {
<. O ,  Y >. } y ) ) ) ) )  =  { <. O ,  ( X ( .r `  R
) Y ) >. } )
12810, 59, 1273eqtrd 2499 1  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  X >. }  ( .r
`  A ) {
<. O ,  Y >. } )  =  { <. O ,  ( X ( .r `  R ) Y ) >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   {csn 4016   <.cop 4022   <.cotp 4024    |-> cmpt 4497    X. cxp 4986   -->wf 5566   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272    ^m cmap 7412   Fincfn 7509   Basecbs 14716   .rcmulr 14785    gsumg cgsu 14930   Mndcmnd 16118  CMndccmn 16997   Ringcrg 17393   maMul cmmul 19052   Mat cmat 19076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-mamu 19053  df-mat 19077
This theorem is referenced by:  mat1dimcrng  19146
  Copyright terms: Public domain W3C validator