MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimmul Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mat1dimmul 19512
Description: The ring multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
mat1dim.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mat1dim.o  |-  O  = 
<. E ,  E >.
Assertion
Ref Expression
mat1dimmul  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  X >. }  ( .r
`  A ) {
<. O ,  Y >. } )  =  { <. O ,  ( X ( .r `  R ) Y ) >. } )

Proof of Theorem mat1dimmul
Dummy variables  x  y  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snfi 7637 . . . . . 6  |-  { E }  e.  Fin
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  { E }  e.  Fin )
3 simpl 463 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  R  e.  Ring )
4 mat1dim.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
5 eqid 2452 . . . . . . 7  |-  ( R maMul  <. { E } ,  { E } ,  { E } >. )  =  ( R maMul  <. { E } ,  { E } ,  { E } >. )
64, 5matmulr 19474 . . . . . 6  |-  ( ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( R maMul  <. { E } ,  { E } ,  { E } >. )  =  ( .r `  A ) )
76eqcomd 2458 . . . . 5  |-  ( ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( .r `  A )  =  ( R maMul  <. { E } ,  { E } ,  { E } >. )
)
82, 3, 7syl2anc 671 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( .r `  A )  =  ( R maMul  <. { E } ,  { E } ,  { E } >. ) )
98adantr 471 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( .r `  A
)  =  ( R maMul  <. { E } ,  { E } ,  { E } >. ) )
109oveqd 6293 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  X >. }  ( .r
`  A ) {
<. O ,  Y >. } )  =  ( {
<. O ,  X >. }  ( R maMul  <. { E } ,  { E } ,  { E } >. ) { <. O ,  Y >. } ) )
11 mat1dim.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
12 eqid 2452 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
133adantr 471 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  R  e.  Ring )
141a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { E }  e.  Fin )
15 opex 4637 . . . . . . . . 9  |-  <. E ,  E >.  e.  _V
1615a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  <. E ,  E >.  e.  _V )
17 simpl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
18 f1osng 5836 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. E ,  E >.  e. 
_V  /\  X  e.  B )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : { <. E ,  E >. } -1-1-onto-> { X } )
1916, 17, 18syl2an 484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : { <. E ,  E >. } -1-1-onto-> { X } )
20 f1of 5797 . . . . . . 7  |-  ( {
<. <. E ,  E >. ,  X >. } : { <. E ,  E >. } -1-1-onto-> { X }  ->  {
<. <. E ,  E >. ,  X >. } : { <. E ,  E >. } --> { X }
)
2119, 20syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : { <. E ,  E >. } --> { X }
)
22 mat1dim.o . . . . . . . . . 10  |-  O  = 
<. E ,  E >.
2322a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  O  =  <. E ,  E >. )
2423opeq1d 4142 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  <. O ,  X >.  = 
<. <. E ,  E >. ,  X >. )
2524sneqd 3948 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  X >. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } )
26 simpr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  E  e.  V )
27 xpsng 6050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
2826, 26, 27syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
2928adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
3025, 29feq12d 5699 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  X >. } : ( { E }  X.  { E } ) --> { X }  <->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : { <. E ,  E >. } --> { X } ) )
3121, 30mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  X >. } : ( { E }  X.  { E } ) --> { X } )
32 snssi 4085 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  { X }  C_  B )
3332adantr 471 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  { X }  C_  B )
3433adantl 472 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { X }  C_  B
)
3531, 34fssd 5721 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  X >. } : ( { E }  X.  { E } ) --> B )
36 fvex 5858 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
3711, 36eqeltri 2526 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
3837a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  B  e.  _V )
39 snex 4614 . . . . . . 7  |-  { E }  e.  _V
4039, 39xpex 6583 . . . . . 6  |-  ( { E }  X.  { E } )  e.  _V
4140a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { E }  X.  { E } )  e.  _V )
4238, 41elmapd 7473 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  X >. }  e.  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E } ) )  <->  { <. O ,  X >. } : ( { E }  X.  { E } ) --> B ) )
4335, 42mpbird 240 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  X >. }  e.  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E }
) ) )
44 simpr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
45 f1osng 5836 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. E ,  E >.  e. 
_V  /\  Y  e.  B )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  Y >. } : { <. E ,  E >. } -1-1-onto-> { Y } )
4616, 44, 45syl2an 484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  Y >. } : { <. E ,  E >. } -1-1-onto-> { Y } )
47 f1of 5797 . . . . . . 7  |-  ( {
<. <. E ,  E >. ,  Y >. } : { <. E ,  E >. } -1-1-onto-> { Y }  ->  {
<. <. E ,  E >. ,  Y >. } : { <. E ,  E >. } --> { Y }
)
4846, 47syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  Y >. } : { <. E ,  E >. } --> { Y }
)
4923opeq1d 4142 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  <. O ,  Y >.  = 
<. <. E ,  E >. ,  Y >. )
5049sneqd 3948 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  Y >. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  Y >. } )
5150, 29feq12d 5699 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  Y >. } : ( { E }  X.  { E } ) --> { Y }  <->  { <. <. E ,  E >. ,  Y >. } : { <. E ,  E >. } --> { Y } ) )
5248, 51mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  Y >. } : ( { E }  X.  { E } ) --> { Y } )
53 snssi 4085 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  B  ->  { Y }  C_  B )
5453adantl 472 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  { Y }  C_  B )
5554adantl 472 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { Y }  C_  B
)
5652, 55fssd 5721 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  Y >. } : ( { E }  X.  { E } ) --> B )
5738, 41elmapd 7473 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  Y >. }  e.  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E } ) )  <->  { <. O ,  Y >. } : ( { E }  X.  { E } ) --> B ) )
5856, 57mpbird 240 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  Y >. }  e.  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E }
) ) )
595, 11, 12, 13, 14, 14, 14, 43, 58mamuval 19422 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  X >. }  ( R maMul  <. { E } ,  { E } ,  { E } >. ) { <. O ,  Y >. } )  =  ( x  e. 
{ E } , 
y  e.  { E }  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( x { <. O ,  X >. } k ) ( .r
`  R ) ( k { <. O ,  Y >. } y ) ) ) ) ) )
6026adantr 471 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  E  e.  V )
61 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
62 ringcmn 17822 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
6362adantr 471 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  R  e. CMnd )
6463adantr 471 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  R  e. CMnd )
65 df-ov 6279 . . . . . . . . . 10  |-  ( E { <. O ,  X >. } E )  =  ( { <. O ,  X >. } `  <. E ,  E >. )
6622opeq1i 4139 . . . . . . . . . . . 12  |-  <. O ,  X >.  =  <. <. E ,  E >. ,  X >.
6766sneqi 3947 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. O ,  X >. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  X >. }
6867fveq1i 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. O ,  X >. } `
 <. E ,  E >. )  =  ( {
<. <. E ,  E >. ,  X >. } `  <. E ,  E >. )
6965, 68eqtri 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( E { <. O ,  X >. } E )  =  ( { <. <. E ,  E >. ,  X >. } `
 <. E ,  E >. )
7015a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  B  ->  <. E ,  E >.  e.  _V )
7170anim2i 577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  e.  B  /\  <. E ,  E >.  e.  _V ) )
7271ancomd 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( <. E ,  E >.  e.  _V  /\  X  e.  B ) )
73 fvsng 6083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. E ,  E >.  e. 
_V  /\  X  e.  B )  ->  ( { <. <. E ,  E >. ,  X >. } `  <. E ,  E >. )  =  X )
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { <. <. E ,  E >. ,  X >. } `
 <. E ,  E >. )  =  X )
7574adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. <. E ,  E >. ,  X >. } `
 <. E ,  E >. )  =  X )
7669, 75syl5eq 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( E { <. O ,  X >. } E
)  =  X )
7717adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  X  e.  B )
7876, 77eqeltrd 2530 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( E { <. O ,  X >. } E
)  e.  B )
79 df-ov 6279 . . . . . . . . . 10  |-  ( E { <. O ,  Y >. } E )  =  ( { <. O ,  Y >. } `  <. E ,  E >. )
8022opeq1i 4139 . . . . . . . . . . . 12  |-  <. O ,  Y >.  =  <. <. E ,  E >. ,  Y >.
8180sneqi 3947 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. O ,  Y >. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  Y >. }
8281fveq1i 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. O ,  Y >. } `
 <. E ,  E >. )  =  ( {
<. <. E ,  E >. ,  Y >. } `  <. E ,  E >. )
8379, 82eqtri 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( E { <. O ,  Y >. } E )  =  ( { <. <. E ,  E >. ,  Y >. } `
 <. E ,  E >. )
8415a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  B  ->  <. E ,  E >.  e.  _V )
85 fvsng 6083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. E ,  E >.  e. 
_V  /\  Y  e.  B )  ->  ( { <. <. E ,  E >. ,  Y >. } `  <. E ,  E >. )  =  Y )
8684, 85sylan 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { <. <. E ,  E >. ,  Y >. } `
 <. E ,  E >. )  =  Y )
8786adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. <. E ,  E >. ,  Y >. } `
 <. E ,  E >. )  =  Y )
8883, 87syl5eq 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( E { <. O ,  Y >. } E
)  =  Y )
8944adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  Y  e.  B )
9088, 89eqeltrd 2530 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( E { <. O ,  Y >. } E
)  e.  B )
9111, 12ringcl 17805 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( E { <. O ,  X >. } E )  e.  B  /\  ( E { <. O ,  Y >. } E )  e.  B )  ->  (
( E { <. O ,  X >. } E
) ( .r `  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E ) )  e.  B )
9213, 78, 90, 91syl3anc 1271 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( E { <. O ,  X >. } E ) ( .r
`  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E ) )  e.  B )
93 oveq2 6284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  E  ->  ( E { <. O ,  X >. } k )  =  ( E { <. O ,  X >. } E
) )
94 oveq1 6283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  E  ->  (
k { <. O ,  Y >. } E )  =  ( E { <. O ,  Y >. } E ) )
9593, 94oveq12d 6294 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  E  ->  (
( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R ) ( k { <. O ,  Y >. } E ) )  =  ( ( E { <. O ,  X >. } E ) ( .r `  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E
) ) )
9611eqcomi 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  =  B
9796a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  E  ->  ( Base `  R )  =  B )
9895, 97eleq12d 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  E  ->  (
( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r
`  R ) ( k { <. O ,  Y >. } E ) )  e.  ( Base `  R )  <->  ( ( E { <. O ,  X >. } E ) ( .r `  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E
) )  e.  B
) )
9998ralsng 3974 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  V  ->  ( A. k  e.  { E }  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R ) ( k { <. O ,  Y >. } E
) )  e.  (
Base `  R )  <->  ( ( E { <. O ,  X >. } E
) ( .r `  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E ) )  e.  B ) )
10099adantl 472 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( A. k  e.  { E }  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R ) ( k { <. O ,  Y >. } E
) )  e.  (
Base `  R )  <->  ( ( E { <. O ,  X >. } E
) ( .r `  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E ) )  e.  B ) )
101100adantr 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( A. k  e. 
{ E }  (
( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R ) ( k { <. O ,  Y >. } E ) )  e.  ( Base `  R
)  <->  ( ( E { <. O ,  X >. } E ) ( .r `  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E
) )  e.  B
) )
10292, 101mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  A. k  e.  { E }  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R ) ( k { <. O ,  Y >. } E
) )  e.  (
Base `  R )
)
10361, 64, 14, 102gsummptcl 17610 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R
) ( k {
<. O ,  Y >. } E ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
104 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( x  e.  { E } ,  y  e.  { E }  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( x { <. O ,  X >. } k ) ( .r
`  R ) ( k { <. O ,  Y >. } y ) ) ) ) )  =  ( x  e. 
{ E } , 
y  e.  { E }  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( x { <. O ,  X >. } k ) ( .r
`  R ) ( k { <. O ,  Y >. } y ) ) ) ) )
105 oveq1 6283 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  E  ->  (
x { <. O ,  X >. } k )  =  ( E { <. O ,  X >. } k ) )
106105oveq1d 6291 . . . . . . 7  |-  ( x  =  E  ->  (
( x { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R ) ( k { <. O ,  Y >. } y ) )  =  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R ) ( k { <. O ,  Y >. } y ) ) )
107106mpteq2dv 4462 . . . . . 6  |-  ( x  =  E  ->  (
k  e.  { E }  |->  ( ( x { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R ) ( k { <. O ,  Y >. } y ) ) )  =  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R
) ( k {
<. O ,  Y >. } y ) ) ) )
108107oveq2d 6292 . . . . 5  |-  ( x  =  E  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( x { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R
) ( k {
<. O ,  Y >. } y ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R
) ( k {
<. O ,  Y >. } y ) ) ) ) )
109 oveq2 6284 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  E  ->  (
k { <. O ,  Y >. } y )  =  ( k {
<. O ,  Y >. } E ) )
110109oveq2d 6292 . . . . . . 7  |-  ( y  =  E  ->  (
( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R ) ( k { <. O ,  Y >. } y ) )  =  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R ) ( k { <. O ,  Y >. } E
) ) )
111110mpteq2dv 4462 . . . . . 6  |-  ( y  =  E  ->  (
k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R ) ( k { <. O ,  Y >. } y ) ) )  =  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R
) ( k {
<. O ,  Y >. } E ) ) ) )
112111oveq2d 6292 . . . . 5  |-  ( y  =  E  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R
) ( k {
<. O ,  Y >. } y ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R
) ( k {
<. O ,  Y >. } E ) ) ) ) )
113104, 108, 112mpt2sn 6875 . . . 4  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V  /\  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R
) ( k {
<. O ,  Y >. } E ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( x  e.  { E } ,  y  e. 
{ E }  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( x { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R
) ( k {
<. O ,  Y >. } y ) ) ) ) )  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r
`  R ) ( k { <. O ,  Y >. } E ) ) ) ) >. } )
11460, 60, 103, 113syl3anc 1271 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( x  e.  { E } ,  y  e. 
{ E }  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( x { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R
) ( k {
<. O ,  Y >. } y ) ) ) ) )  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r
`  R ) ( k { <. O ,  Y >. } E ) ) ) ) >. } )
11522eqcomi 2461 . . . . . 6  |-  <. E ,  E >.  =  O
116115a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  <. E ,  E >.  =  O )
117 ringmnd 17800 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
118117adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  R  e.  Mnd )
119118adantr 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  R  e.  Mnd )
12011, 95gsumsn 17598 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  E  e.  V  /\  ( ( E { <. O ,  X >. } E ) ( .r
`  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E ) )  e.  B )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r
`  R ) ( k { <. O ,  Y >. } E ) ) ) )  =  ( ( E { <. O ,  X >. } E ) ( .r
`  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E ) ) )
121119, 60, 92, 120syl3anc 1271 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R
) ( k {
<. O ,  Y >. } E ) ) ) )  =  ( ( E { <. O ,  X >. } E ) ( .r `  R
) ( E { <. O ,  Y >. } E ) ) )
122116, 121opeq12d 4144 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  <. <. E ,  E >. ,  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r
`  R ) ( k { <. O ,  Y >. } E ) ) ) ) >.  =  <. O ,  ( ( E { <. O ,  X >. } E
) ( .r `  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E ) )
>. )
123122sneqd 3948 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( E { <. O ,  X >. } k ) ( .r
`  R ) ( k { <. O ,  Y >. } E ) ) ) ) >. }  =  { <. O , 
( ( E { <. O ,  X >. } E ) ( .r
`  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E ) ) >. } )
12476, 88oveq12d 6294 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( E { <. O ,  X >. } E ) ( .r
`  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E ) )  =  ( X ( .r `  R
) Y ) )
125124opeq2d 4143 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  <. O ,  ( ( E { <. O ,  X >. } E ) ( .r `  R
) ( E { <. O ,  Y >. } E ) ) >.  =  <. O ,  ( X ( .r `  R ) Y )
>. )
126125sneqd 3948 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  ( ( E { <. O ,  X >. } E
) ( .r `  R ) ( E { <. O ,  Y >. } E ) )
>. }  =  { <. O ,  ( X ( .r `  R ) Y ) >. } )
127114, 123, 1263eqtrd 2490 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( x  e.  { E } ,  y  e. 
{ E }  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  { E }  |->  ( ( x { <. O ,  X >. } k ) ( .r `  R
) ( k {
<. O ,  Y >. } y ) ) ) ) )  =  { <. O ,  ( X ( .r `  R
) Y ) >. } )
12810, 59, 1273eqtrd 2490 1  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  X >. }  ( .r
`  A ) {
<. O ,  Y >. } )  =  { <. O ,  ( X ( .r `  R ) Y ) >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1448    e. wcel 1891   A.wral 2737   _Vcvv 3013    C_ wss 3372   {csn 3936   <.cop 3942   <.cotp 3944    |-> cmpt 4433    X. cxp 4810   -->wf 5557   -1-1-onto->wf1o 5560   ` cfv 5561  (class class class)co 6276    |-> cmpt2 6278    ^m cmap 7459   Fincfn 7556   Basecbs 15132   .rcmulr 15202    gsumg cgsu 15350   Mndcmnd 16546  CMndccmn 17441   Ringcrg 17791   maMul cmmul 19419   Mat cmat 19443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-8 1893  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pow 4554  ax-pr 4612  ax-un 6571  ax-inf2 8133  ax-cnex 9582  ax-resscn 9583  ax-1cn 9584  ax-icn 9585  ax-addcl 9586  ax-addrcl 9587  ax-mulcl 9588  ax-mulrcl 9589  ax-mulcom 9590  ax-addass 9591  ax-mulass 9592  ax-distr 9593  ax-i2m1 9594  ax-1ne0 9595  ax-1rid 9596  ax-rnegex 9597  ax-rrecex 9598  ax-cnre 9599  ax-pre-lttri 9600  ax-pre-lttrn 9601  ax-pre-ltadd 9602  ax-pre-mulgt0 9603
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1451  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3015  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-ot 3945  df-uni 4169  df-int 4205  df-iun 4250  df-br 4375  df-opab 4434  df-mpt 4435  df-tr 4470  df-eprel 4723  df-id 4727  df-po 4733  df-so 4734  df-fr 4771  df-se 4772  df-we 4773  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-pred 5359  df-ord 5405  df-on 5406  df-lim 5407  df-suc 5408  df-iota 5525  df-fun 5563  df-fn 5564  df-f 5565  df-f1 5566  df-fo 5567  df-f1o 5568  df-fv 5569  df-isom 5570  df-riota 6238  df-ov 6279  df-oprab 6280  df-mpt2 6281  df-om 6681  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6903  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7871  df-oi 8012  df-card 8360  df-pnf 9664  df-mnf 9665  df-xr 9666  df-ltxr 9667  df-le 9668  df-sub 9849  df-neg 9850  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-n0 10860  df-z 10928  df-uz 11150  df-fz 11776  df-fzo 11909  df-seq 12208  df-hash 12510  df-ndx 15135  df-slot 15136  df-base 15137  df-sets 15138  df-plusg 15214  df-mulr 15215  df-0g 15351  df-gsum 15352  df-mgm 16499  df-sgrp 16538  df-mnd 16548  df-grp 16684  df-minusg 16685  df-mulg 16687  df-cntz 16982  df-cmn 17443  df-abl 17444  df-mgp 17735  df-ur 17747  df-ring 17793  df-mamu 19420  df-mat 19444
This theorem is referenced by:  mat1dimcrng  19513
  Copyright terms: Public domain W3C validator