Theorem inmap 38396

Description: Intersection of two sets exponentiations. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
inmap.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
inmap.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
inmap.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
inmap	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) = ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶))

Proof of Theorem inmap

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel1 3761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶))
2		elmapi 7765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) → 𝑓:𝐶⟶𝐴)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓:𝐶⟶𝐴)
4		elinel2 3762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
5		elmapi 7765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → 𝑓:𝐶⟶𝐵)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓:𝐶⟶𝐵)
7	3, 6	jca 553	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) → (𝑓:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝑓:𝐶⟶𝐵))
8		fin 5998	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐶⟶(𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑓:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝑓:𝐶⟶𝐵))
9	7, 8	sylibr 223	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓:𝐶⟶(𝐴 ∩ 𝐵))
10	9	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))) → 𝑓:𝐶⟶(𝐴 ∩ 𝐵))
11		inmap.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
12		inss1 3795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴)
14	11, 13	ssexd 4733	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V)
15		inmap.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑍)
16	14, 15	elmapd 7758	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶⟶(𝐴 ∩ 𝐵)))
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))) → (𝑓 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶⟶(𝐴 ∩ 𝐵)))
18	10, 17	mpbird 246	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))) → 𝑓 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶))
19	18	ralrimiva 2949	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))𝑓 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶))
20		dfss3 3558	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))𝑓 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶))
21	19, 20	sylibr 223	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶))
22		mapss 7786	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐴 ↑𝑚 𝐶))
23	11, 13, 22	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐴 ↑𝑚 𝐶))
24		inmap.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
25		inss2 3796	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵)
27		mapss 7786	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
28	24, 26, 27	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
29	23, 28	ssind 3799	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)))
30	21, 29	eqssd 3585	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) = ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-map 7746

This theorem is referenced by:  vonvolmbllem  39550  vonvolmbl  39551