Theorem mapss2 38392

Description: Subset inheritance for set exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapss2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
mapss2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
mapss2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑍)
mapss2.n	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
mapss2	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)))

Proof of Theorem mapss2

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapss2.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		simpr 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4		mapss 7786	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
5	2, 3, 4	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
6	5	ex 449	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)))
7		mapss2.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ ∅)
8		n0 3890	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶)
9	7, 8	sylib 207	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶)
11		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦) = (𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦))
12		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑤 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑦)
13		simpr 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
14		vex 3176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑦 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ V)
16	11, 12, 13, 15	fvmptd 6197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦)‘𝑥) = 𝑦)
17	16	eqcomd 2616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑦 = ((𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦)‘𝑥))
18	17	ad4ant13 1284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 = ((𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦)‘𝑥))
19		simplr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
20		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐴)
21		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦) = (𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦)
22	20, 21	fmptd 6292	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦):𝐶⟶𝐴)
23		mapss2.a	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑉)
25		mapss2.c	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑍)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑍)
27	24, 26	elmapd 7758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦) ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ↔ (𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦):𝐶⟶𝐴))
28	22, 27	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦) ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶))
29	28	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦) ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶))
30	19, 29	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
31		elmapi 7765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → (𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦):𝐶⟶𝐵)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦):𝐶⟶𝐵)
33	32	adantlr 747	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦):𝐶⟶𝐵)
34		simplr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐶)
35	33, 34	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦)‘𝑥) ∈ 𝐵)
36	18, 35	eqeltrd 2688	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵)
37	36	ralrimiva 2949	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵)
38		dfss3 3558	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵)
39	37, 38	sylibr 223	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
40	39	ex 449	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) → (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
41	40	exlimdv 1848	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
42	10, 41	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
43	42	ex 449	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐵))
44	6, 43	impbid 201	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-map 7746

This theorem is referenced by:  ovnovollem1  39546  ovnovollem2  39547