Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapss2 38392
 Description: Subset inheritance for set exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mapss2.a (𝜑𝐴𝑉)
mapss2.b (𝜑𝐵𝑊)
mapss2.c (𝜑𝐶𝑍)
mapss2.n (𝜑𝐶 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
mapss2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)))

Proof of Theorem mapss2
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapss2.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑊)
21adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝑊)
3 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
4 mapss 7786 . . . 4 ((𝐵𝑊𝐴𝐵) → (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
52, 3, 4syl2anc 691 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
65ex 449 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)))
7 mapss2.n . . . . . 6 (𝜑𝐶 ≠ ∅)
8 n0 3890 . . . . . 6 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐶)
97, 8sylib 207 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐶)
109adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) → ∃𝑥 𝑥𝐶)
11 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑤𝐶𝑦) = (𝑤𝐶𝑦))
12 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑦)
13 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
14 vex 3176 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑦 ∈ V)
1611, 12, 13, 15fvmptd 6197 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝑤𝐶𝑦)‘𝑥) = 𝑦)
1716eqcomd 2616 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑦 = ((𝑤𝐶𝑦)‘𝑥))
1817ad4ant13 1284 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 = ((𝑤𝐶𝑦)‘𝑥))
19 simplr 788 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
20 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑦𝐴)
21 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐶𝑦) = (𝑤𝐶𝑦)
2220, 21fmptd 6292 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑤𝐶𝑦):𝐶𝐴)
23 mapss2.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴𝑉)
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴𝑉)
25 mapss2.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐶𝑍)
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐶𝑍)
2724, 26elmapd 7758 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑤𝐶𝑦) ∈ (𝐴𝑚 𝐶) ↔ (𝑤𝐶𝑦):𝐶𝐴))
2822, 27mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑤𝐶𝑦) ∈ (𝐴𝑚 𝐶))
2928adantlr 747 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑤𝐶𝑦) ∈ (𝐴𝑚 𝐶))
3019, 29sseldd 3569 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑤𝐶𝑦) ∈ (𝐵𝑚 𝐶))
31 elmapi 7765 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝐶𝑦) ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → (𝑤𝐶𝑦):𝐶𝐵)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑤𝐶𝑦):𝐶𝐵)
3332adantlr 747 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑤𝐶𝑦):𝐶𝐵)
34 simplr 788 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥𝐶)
3533, 34ffvelrnd 6268 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑤𝐶𝑦)‘𝑥) ∈ 𝐵)
3618, 35eqeltrd 2688 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐵)
3736ralrimiva 2949 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝐵)
38 dfss3 3558 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦𝐵)
3937, 38sylibr 223 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐴𝐵)
4039ex 449 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) → (𝑥𝐶𝐴𝐵))
4140exlimdv 1848 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) → (∃𝑥 𝑥𝐶𝐴𝐵))
4210, 41mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) → 𝐴𝐵)
4342ex 449 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶) → 𝐴𝐵))
446, 43impbid 201 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-map 7746 This theorem is referenced by:  ovnovollem1  39546  ovnovollem2  39547
 Copyright terms: Public domain W3C validator