MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndvrid Structured version   Unicode version

Theorem mndvrid 19078
Description: Tuple-wise right identity in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndvcl.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
mndvcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
mndvlid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  M )
Assertion
Ref Expression
mndvrid  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I ) )  -> 
( X  oF  .+  ( I  X.  {  .0.  } ) )  =  X )

Proof of Theorem mndvrid
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapex 7395 . . . 4  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  ( B  e.  _V  /\  I  e.  _V ) )
21simprd 461 . . 3  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  I  e.  _V )
32adantl 464 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  I  e.  _V )
4 elmapi 7396 . . 3  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  X : I --> B )
54adantl 464 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  X : I --> B )
6 mndvcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  M
)
7 mndvlid.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  M )
86, 7mndidcl 16152 . . 3  |-  ( M  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )
98adantr 463 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  .0.  e.  B )
10 mndvcl.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  M )
116, 10, 7mndrid 16156 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  x  e.  B )  ->  ( x  .+  .0.  )  =  x )
1211adantlr 713 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I ) )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  .+  .0.  )  =  x )
133, 5, 9, 12caofid0r 6505 1  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I ) )  -> 
( X  oF  .+  ( I  X.  {  .0.  } ) )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840   _Vcvv 3056   {csn 3969    X. cxp 4938   -->wf 5519   ` cfv 5523  (class class class)co 6232    oFcof 6473    ^m cmap 7375   Basecbs 14731   +g cplusg 14799   0gc0g 14944   Mndcmnd 16133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4735  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-map 7377  df-0g 14946  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator