Theorem submacs 17188

Description: Submonoids are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
submacs	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem submacs

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submacs.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	1, 2, 3	issubm 17170	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
5		selpw 4115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐵)
6	5	anbi1i 727	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
7		3anass 1035	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
8	6, 7	bitr4i 266	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))
9	4, 8	syl6bbr 277	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))))
10	9	abbi2dv 2729	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))})
11		df-rab 2905	. . 3 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)} = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))}
12	10, 11	syl6eqr 2662	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)})
13		inrab 3858	. . 3 ⊢ ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)}
14		fvex 6113	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
15	1, 14	eqeltri 2684	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
16		mreacs 16142	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
17	15, 16	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
18	1, 2	mndidcl 17131	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
19		acsfn0 16144	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐵) → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
20	15, 18, 19	sylancr 694	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
21	1, 3	mndcl 17124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
22	21	3expb 1258	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
23	22	ralrimivva 2954	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
24		acsfn2 16147	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
25	15, 23, 24	sylancr 694	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
26		mreincl 16082	. . . 4 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵)) → ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) ∈ (ACS‘𝐵))
27	17, 20, 25, 26	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) ∈ (ACS‘𝐵))
28	13, 27	syl5eqelr 2693	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)} ∈ (ACS‘𝐵))
29	12, 28	eqeltrd 2688	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  0_gc0g 15923  Moorecmre 16065  ACScacs 16068  Mndcmnd 17117  SubMndcsubmnd 17157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845  df-0g 15925  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159

This theorem is referenced by:  mrcmndind  17189  gsumwspan  17206  subgacs  17452  symggen  17713  cntzspan  18070  gsumzsplit  18150  gsumzoppg  18167  gsumpt  18184  subrgacs  36789