Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasmnd 17151
 Description: The image structure of a monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasmnd.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasmnd.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasmnd.p + = (+g𝑅)
imasmnd.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasmnd.e ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
imasmnd.r (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
imasmnd.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
imasmnd (𝜑 → (𝑈 ∈ Mnd ∧ (𝐹0 ) = (0g𝑈)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝, +   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝜑   𝑈,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   0 ,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝐹,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   + (𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   0 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem imasmnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasmnd.u . 2 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasmnd.v . 2 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasmnd.p . 2 + = (+g𝑅)
4 imasmnd.f . 2 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
5 imasmnd.e . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
6 imasmnd.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
763ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑅 ∈ Mnd)
8 simp2 1055 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑥𝑉)
923ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
108, 9eleqtrd 2690 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
11 simp3 1056 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑦𝑉)
1211, 9eleqtrd 2690 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
13 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1413, 3mndcl 17124 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
157, 10, 12, 14syl3anc 1318 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
1615, 9eleqtrrd 2691 . 2 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
176adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑅 ∈ Mnd)
18103adant3r3 1268 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
19123adant3r3 1268 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
20 simpr3 1062 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑧𝑉)
212adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
2220, 21eleqtrd 2690 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
2313, 3mndass 17125 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
2417, 18, 19, 22, 23syl13anc 1320 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
2524fveq2d 6107 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐹‘((𝑥 + 𝑦) + 𝑧)) = (𝐹‘(𝑥 + (𝑦 + 𝑧))))
26 imasmnd.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
2713, 26mndidcl 17131 . . . 4 (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑅))
286, 27syl 17 . . 3 (𝜑0 ∈ (Base‘𝑅))
2928, 2eleqtrrd 2691 . 2 (𝜑0𝑉)
306adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅 ∈ Mnd)
312eleq2d 2673 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
3231biimpa 500 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
3313, 3, 26mndlid 17134 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
3430, 32, 33syl2anc 691 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
3534fveq2d 6107 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐹‘( 0 + 𝑥)) = (𝐹𝑥))
3613, 3, 26mndrid 17135 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
3730, 32, 36syl2anc 691 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
3837fveq2d 6107 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐹‘(𝑥 + 0 )) = (𝐹𝑥))
391, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 25, 29, 35, 38imasmnd2 17150 1 (𝜑 → (𝑈 ∈ Mnd ∧ (𝐹0 ) = (0g𝑈)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  –onto→wfo 5802  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923   “s cimas 15987  Mndcmnd 17117 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-0g 15925  df-imas 15991  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118 This theorem is referenced by:  imasmndf1  17152
 Copyright terms: Public domain W3C validator