Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgmnd 17607
 Description: The opposite of a monoid is a monoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppgbas.1 𝑂 = (oppg𝑅)
Assertion
Ref Expression
oppgmnd (𝑅 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)

Proof of Theorem oppgmnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppgbas.1 . . . 4 𝑂 = (oppg𝑅)
2 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2oppgbas 17604 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
43a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Mnd → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
5 eqidd 2611 . 2 (𝑅 ∈ Mnd → (+g𝑂) = (+g𝑂))
6 eqid 2610 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
7 eqid 2610 . . . 4 (+g𝑂) = (+g𝑂)
86, 1, 7oppgplus 17602 . . 3 (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑅)𝑥)
92, 6mndcl 17124 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(+g𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
1093com23 1263 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(+g𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
118, 10syl5eqel 2692 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g𝑂)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
12 simpl 472 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Mnd)
13 simpr3 1062 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
14 simpr2 1061 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
15 simpr1 1060 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
162, 6mndass 17125 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(+g𝑅)𝑦)(+g𝑅)𝑥) = (𝑧(+g𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑥)))
1712, 13, 14, 15, 16syl13anc 1320 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(+g𝑅)𝑦)(+g𝑅)𝑥) = (𝑧(+g𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑥)))
1817eqcomd 2616 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(+g𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑥)) = ((𝑧(+g𝑅)𝑦)(+g𝑅)𝑥))
198oveq1i 6559 . . . 4 ((𝑥(+g𝑂)𝑦)(+g𝑂)𝑧) = ((𝑦(+g𝑅)𝑥)(+g𝑂)𝑧)
206, 1, 7oppgplus 17602 . . . 4 ((𝑦(+g𝑅)𝑥)(+g𝑂)𝑧) = (𝑧(+g𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑥))
2119, 20eqtri 2632 . . 3 ((𝑥(+g𝑂)𝑦)(+g𝑂)𝑧) = (𝑧(+g𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑥))
226, 1, 7oppgplus 17602 . . . . 5 (𝑦(+g𝑂)𝑧) = (𝑧(+g𝑅)𝑦)
2322oveq2i 6560 . . . 4 (𝑥(+g𝑂)(𝑦(+g𝑂)𝑧)) = (𝑥(+g𝑂)(𝑧(+g𝑅)𝑦))
246, 1, 7oppgplus 17602 . . . 4 (𝑥(+g𝑂)(𝑧(+g𝑅)𝑦)) = ((𝑧(+g𝑅)𝑦)(+g𝑅)𝑥)
2523, 24eqtri 2632 . . 3 (𝑥(+g𝑂)(𝑦(+g𝑂)𝑧)) = ((𝑧(+g𝑅)𝑦)(+g𝑅)𝑥)
2618, 21, 253eqtr4g 2669 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(+g𝑂)𝑦)(+g𝑂)𝑧) = (𝑥(+g𝑂)(𝑦(+g𝑂)𝑧)))
27 eqid 2610 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
282, 27mndidcl 17131 . 2 (𝑅 ∈ Mnd → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
296, 1, 7oppgplus 17602 . . 3 ((0g𝑅)(+g𝑂)𝑥) = (𝑥(+g𝑅)(0g𝑅))
302, 6, 27mndrid 17135 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g𝑅)(0g𝑅)) = 𝑥)
3129, 30syl5eq 2656 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(+g𝑂)𝑥) = 𝑥)
326, 1, 7oppgplus 17602 . . 3 (𝑥(+g𝑂)(0g𝑅)) = ((0g𝑅)(+g𝑅)𝑥)
332, 6, 27mndlid 17134 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(+g𝑅)𝑥) = 𝑥)
3432, 33syl5eq 2656 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g𝑂)(0g𝑅)) = 𝑥)
354, 5, 11, 26, 28, 31, 34ismndd 17136 1 (𝑅 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  Mndcmnd 17117  oppgcoppg 17598 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-oppg 17599 This theorem is referenced by:  oppgmndb  17608  oppggrp  17610  gsumwrev  17619  gsumzoppg  18167  gsumzinv  18168  oppgtmd  21711
 Copyright terms: Public domain W3C validator