Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppggrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppggrp 17610
 Description: The opposite of a group is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppgbas.1 𝑂 = (oppg𝑅)
Assertion
Ref Expression
oppggrp (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)

Proof of Theorem oppggrp
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppgbas.1 . . . 4 𝑂 = (oppg𝑅)
2 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2oppgbas 17604 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
43a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Grp → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
5 eqidd 2611 . 2 (𝑅 ∈ Grp → (+g𝑂) = (+g𝑂))
6 eqid 2610 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
71, 6oppgid 17609 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑂)
87a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Grp → (0g𝑅) = (0g𝑂))
9 grpmnd 17252 . . 3 (𝑅 ∈ Grp → 𝑅 ∈ Mnd)
101oppgmnd 17607 . . 3 (𝑅 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
119, 10syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Mnd)
12 eqid 2610 . . 3 (invg𝑅) = (invg𝑅)
132, 12grpinvcl 17290 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
14 eqid 2610 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
15 eqid 2610 . . . 4 (+g𝑂) = (+g𝑂)
1614, 1, 15oppgplus 17602 . . 3 (((invg𝑅)‘𝑥)(+g𝑂)𝑥) = (𝑥(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑥))
172, 14, 6, 12grprinv 17292 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑥)) = (0g𝑅))
1816, 17syl5eq 2656 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invg𝑅)‘𝑥)(+g𝑂)𝑥) = (0g𝑅))
194, 5, 8, 11, 13, 18isgrpd2 17265 1 (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  Mndcmnd 17117  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  oppgcoppg 17598 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-oppg 17599 This theorem is referenced by:  oppggrpb  17611  oppginv  17612  invoppggim  17613  oppgtgp  21712
 Copyright terms: Public domain W3C validator