Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgtgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgtgp 21712
 Description: The opposite of a topological group is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppgtmd.1 𝑂 = (oppg𝐺)
Assertion
Ref Expression
oppgtgp (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem oppgtgp
StepHypRef Expression
1 tgpgrp 21692 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2 oppgtmd.1 . . . 4 𝑂 = (oppg𝐺)
32oppggrp 17610 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
41, 3syl 17 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ Grp)
5 tgptmd 21693 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
62oppgtmd 21711 . . 3 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopMnd)
75, 6syl 17 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ TopMnd)
8 eqid 2610 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
92, 8oppginv 17612 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (invg𝐺) = (invg𝑂))
101, 9syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → (invg𝐺) = (invg𝑂))
11 eqid 2610 . . . 4 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
1211, 8tgpinv 21699 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → (invg𝐺) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
1310, 12eqeltrrd 2689 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp → (invg𝑂) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
142, 11oppgtopn 17606 . . 3 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝑂)
15 eqid 2610 . . 3 (invg𝑂) = (invg𝑂)
1614, 15istgp 21691 . 2 (𝑂 ∈ TopGrp ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑂 ∈ TopMnd ∧ (invg𝑂) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺))))
174, 7, 13, 16syl3anbrc 1239 1 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ TopGrp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  TopOpenctopn 15905  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  oppgcoppg 17598   Cn ccn 20838  TopMndctmd 21684  TopGrpctgp 21685 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-tset 15787  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-topgen 15927  df-plusf 17064  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-oppg 17599  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-tx 21175  df-tmd 21686  df-tgp 21687 This theorem is referenced by:  tgpconcomp  21726  qustgpopn  21733
 Copyright terms: Public domain W3C validator