MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppggrp Structured version   Unicode version

Theorem oppggrp 15986
Description: The opposite of a group is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppgbas.1  |-  O  =  (oppg
`  R )
Assertion
Ref Expression
oppggrp  |-  ( R  e.  Grp  ->  O  e.  Grp )

Proof of Theorem oppggrp
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppgbas.1 . . . 4  |-  O  =  (oppg
`  R )
2 eqid 2452 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
31, 2oppgbas 15980 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  O )
43a1i 11 . 2  |-  ( R  e.  Grp  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  O
) )
5 eqidd 2453 . 2  |-  ( R  e.  Grp  ->  ( +g  `  O )  =  ( +g  `  O
) )
6 eqid 2452 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
71, 6oppgid 15985 . . 3  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  O
)
87a1i 11 . 2  |-  ( R  e.  Grp  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  O
) )
9 grpmnd 15664 . . 3  |-  ( R  e.  Grp  ->  R  e.  Mnd )
101oppgmnd 15983 . . 3  |-  ( R  e.  Mnd  ->  O  e.  Mnd )
119, 10syl 16 . 2  |-  ( R  e.  Grp  ->  O  e.  Mnd )
12 eqid 2452 . . 3  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
132, 12grpinvcl 15697 . 2  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( invg `  R ) `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
14 eqid 2452 . . . 4  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
15 eqid 2452 . . . 4  |-  ( +g  `  O )  =  ( +g  `  O )
1614, 1, 15oppgplus 15978 . . 3  |-  ( ( ( invg `  R ) `  x
) ( +g  `  O
) x )  =  ( x ( +g  `  R ) ( ( invg `  R
) `  x )
)
172, 14, 6, 12grprinv 15699 . . 3  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( x ( +g  `  R ) ( ( invg `  R
) `  x )
)  =  ( 0g
`  R ) )
1816, 17syl5eq 2505 . 2  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( ( invg `  R ) `
 x ) ( +g  `  O ) x )  =  ( 0g `  R ) )
194, 5, 8, 11, 13, 18isgrpd2 15675 1  |-  ( R  e.  Grp  ->  O  e.  Grp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   Basecbs 14287   +g cplusg 14352   0gc0g 14492   Mndcmnd 15523   Grpcgrp 15524   invgcminusg 15525  oppgcoppg 15974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-tpos 6850  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-plusg 14365  df-0g 14494  df-mnd 15529  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-oppg 15975
This theorem is referenced by:  oppggrpb  15987  oppginv  15988  invoppggim  15989  oppgtgp  19796
  Copyright terms: Public domain W3C validator