Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  c0snmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem c0snmhm 41705
Description: The constant mapping to zero is a monoid homomorphism from the trivial monoid (consisting of the zero only) to any monoid. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
zrrhm.b 𝐵 = (Base‘𝑇)
zrrhm.0 0 = (0g𝑆)
zrrhm.h 𝐻 = (𝑥𝐵0 )
c0snmhm.z 𝑍 = (0g𝑇)
Assertion
Ref Expression
c0snmhm ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0   𝑥,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0snmhm
StepHypRef Expression
1 pm3.22 464 . . 3 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) → (𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
213adant3 1074 . 2 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
3 simp1 1054 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑆 ∈ Mnd)
4 mndmgm 17123 . . . . 5 (𝑇 ∈ Mnd → 𝑇 ∈ Mgm)
543ad2ant2 1076 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑇 ∈ Mgm)
6 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝐵 = {𝑍} → (#‘𝐵) = (#‘{𝑍}))
7 c0snmhm.z . . . . . . . 8 𝑍 = (0g𝑇)
8 fvex 6113 . . . . . . . 8 (0g𝑇) ∈ V
97, 8eqeltri 2684 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
10 hashsng 13020 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ V → (#‘{𝑍}) = 1)
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6 (#‘{𝑍}) = 1
126, 11syl6eq 2660 . . . . 5 (𝐵 = {𝑍} → (#‘𝐵) = 1)
13123ad2ant3 1077 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (#‘𝐵) = 1)
14 zrrhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑇)
15 zrrhm.0 . . . . 5 0 = (0g𝑆)
16 zrrhm.h . . . . 5 𝐻 = (𝑥𝐵0 )
1714, 15, 16c0snmgmhm 41704 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm ∧ (#‘𝐵) = 1) → 𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆))
183, 5, 13, 17syl3anc 1318 . . 3 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆))
1916a1i 11 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 = (𝑥𝐵0 ))
20 eqidd 2611 . . . 4 (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) ∧ 𝑥 = 𝑍) → 0 = 0 )
219snid 4155 . . . . . 6 𝑍 ∈ {𝑍}
22 eleq2 2677 . . . . . 6 (𝐵 = {𝑍} → (𝑍𝐵𝑍 ∈ {𝑍}))
2321, 22mpbiri 247 . . . . 5 (𝐵 = {𝑍} → 𝑍𝐵)
24233ad2ant3 1077 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑍𝐵)
25 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2625, 15mndidcl 17131 . . . . 5 (𝑆 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑆))
27263ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 0 ∈ (Base‘𝑆))
2819, 20, 24, 27fvmptd 6197 . . 3 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝐻𝑍) = 0 )
2918, 28jca 553 . 2 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆) ∧ (𝐻𝑍) = 0 ))
30 eqid 2610 . . 3 (+g𝑇) = (+g𝑇)
31 eqid 2610 . . 3 (+g𝑆) = (+g𝑆)
3214, 25, 30, 31, 7, 15ismhm0 41595 . 2 (𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆) ↔ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) ∧ (𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆) ∧ (𝐻𝑍) = 0 )))
332, 29, 32sylanbrc 695 1 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  {csn 4125  cmpt 4643  cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816  #chash 12979  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  Mgmcmgm 17063  Mndcmnd 17117   MndHom cmhm 17156   MgmHom cmgmhm 41567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-mgmhm 41569
This theorem is referenced by:  c0snghm  41706
  Copyright terms: Public domain W3C validator