MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagev1 Structured version   Unicode version

Theorem psrbagev1 17943
Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbagev1.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
psrbagev1.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
psrbagev1.x  |-  .x.  =  (.g
`  T )
psrbagev1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
psrbagev1.t  |-  ( ph  ->  T  e. CMnd )
psrbagev1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
psrbagev1.g  |-  ( ph  ->  G : I --> C )
psrbagev1.i  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
psrbagev1  |-  ( ph  ->  ( ( B  oF  .x.  G ) : I --> C  /\  ( B  oF  .x.  G
) finSupp  .0.  ) )
Distinct variable groups:    B, h    h, I
Allowed substitution hints:    ph( h)    C( h)    D( h)    T( h)    .x. (
h)    G( h)    .0. ( h)

Proof of Theorem psrbagev1
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbagev1.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e. CMnd )
2 cmnmnd 16604 . . . . 5  |-  ( T  e. CMnd  ->  T  e.  Mnd )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  Mnd )
4 psrbagev1.c . . . . . 6  |-  C  =  ( Base `  T
)
5 psrbagev1.x . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  T )
64, 5mulgnn0cl 15953 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  z  e.  C )  ->  (
y  .x.  z )  e.  C )
763expb 1192 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Mnd  /\  ( y  e.  NN0  /\  z  e.  C ) )  ->  ( y  .x.  z )  e.  C
)
83, 7sylan 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  NN0  /\  z  e.  C ) )  -> 
( y  .x.  z
)  e.  C )
9 psrbagev1.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
10 psrbagev1.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
11 psrbagev1.d . . . . 5  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
1211psrbagf 17780 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  B  e.  D )  ->  B : I --> NN0 )
139, 10, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  B : I --> NN0 )
14 psrbagev1.g . . 3  |-  ( ph  ->  G : I --> C )
15 inidm 3702 . . 3  |-  ( I  i^i  I )  =  I
168, 13, 14, 9, 9, 15off 6531 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  oF  .x.  G ) : I --> C )
17 ovex 6302 . . . 4  |-  ( B  oF  .x.  G
)  e.  _V
1817a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  oF  .x.  G )  e. 
_V )
19 ffn 5724 . . . . . 6  |-  ( B : I --> NN0  ->  B  Fn  I )
2013, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  Fn  I )
21 ffn 5724 . . . . . 6  |-  ( G : I --> C  ->  G  Fn  I )
2214, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  Fn  I )
2320, 22, 9, 9, 15offn 6528 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  oF  .x.  G )  Fn  I )
24 fnfun 5671 . . . 4  |-  ( ( B  oF  .x.  G )  Fn  I  ->  Fun  ( B  oF  .x.  G ) )
2523, 24syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  ( B  oF  .x.  G ) )
26 psrbagev1.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
27 fvex 5869 . . . . 5  |-  ( 0g
`  T )  e. 
_V
2826, 27eqeltri 2546 . . . 4  |-  .0.  e.  _V
2928a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
3011psrbagfsupp 17941 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  D  /\  I  e.  _V )  ->  B finSupp  0 )
3110, 9, 30syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  B finSupp  0 )
3231fsuppimpd 7827 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B supp  0 )  e.  Fin )
33 ssid 3518 . . . . 5  |-  ( B supp  0 )  C_  ( B supp  0 )
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B supp  0 ) 
C_  ( B supp  0
) )
354, 26, 5mulg0 15942 . . . . 5  |-  ( z  e.  C  ->  (
0  .x.  z )  =  .0.  )
3635adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  (
0  .x.  z )  =  .0.  )
37 c0ex 9581 . . . . 5  |-  0  e.  _V
3837a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  _V )
3934, 36, 13, 14, 9, 38suppssof1 6925 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  oF  .x.  G ) supp  .0.  )  C_  ( B supp  0
) )
40 suppssfifsupp 7835 . . 3  |-  ( ( ( ( B  oF  .x.  G )  e. 
_V  /\  Fun  ( B  oF  .x.  G
)  /\  .0.  e.  _V )  /\  (
( B supp  0 )  e.  Fin  /\  (
( B  oF  .x.  G ) supp  .0.  )  C_  ( B supp  0
) ) )  -> 
( B  oF  .x.  G ) finSupp  .0.  )
4118, 25, 29, 32, 39, 40syl32anc 1231 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  oF  .x.  G ) finSupp  .0.  )
4216, 41jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( B  oF  .x.  G ) : I --> C  /\  ( B  oF  .x.  G
) finSupp  .0.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {crab 2813   _Vcvv 3108    C_ wss 3471   class class class wbr 4442   `'ccnv 4993   "cima 4997   Fun wfun 5575    Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277    oFcof 6515   supp csupp 6893    ^m cmap 7412   Fincfn 7508   finSupp cfsupp 7820   0cc0 9483   NNcn 10527   NN0cn0 10786   Basecbs 14481   0gc0g 14686   Mndcmnd 15717  .gcmg 15722  CMndccmn 16589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-seq 12066  df-0g 14688  df-mnd 15723  df-mulg 15856  df-cmn 16591
This theorem is referenced by:  psrbagev2  17945  evlslem1  17950
  Copyright terms: Public domain W3C validator