Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagev1 Structured version   Unicode version

Theorem psrbagev1 18497
 Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbagev1.d
psrbagev1.c
psrbagev1.x .g
psrbagev1.z
psrbagev1.t CMnd
psrbagev1.b
psrbagev1.g
psrbagev1.i
Assertion
Ref Expression
psrbagev1 finSupp
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem psrbagev1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbagev1.t . . . . 5 CMnd
2 cmnmnd 17137 . . . . 5 CMnd
31, 2syl 17 . . . 4
4 psrbagev1.c . . . . . 6
5 psrbagev1.x . . . . . 6 .g
64, 5mulgnn0cl 16482 . . . . 5
763expb 1198 . . . 4
83, 7sylan 469 . . 3
9 psrbagev1.i . . . 4
10 psrbagev1.b . . . 4
11 psrbagev1.d . . . . 5
1211psrbagf 18334 . . . 4
139, 10, 12syl2anc 659 . . 3
14 psrbagev1.g . . 3
15 inidm 3648 . . 3
168, 13, 14, 9, 9, 15off 6536 . 2
17 ovex 6306 . . . 4
1817a1i 11 . . 3
19 ffn 5714 . . . . . 6
2013, 19syl 17 . . . . 5
21 ffn 5714 . . . . . 6
2214, 21syl 17 . . . . 5
2320, 22, 9, 9, 15offn 6532 . . . 4
24 fnfun 5659 . . . 4
2523, 24syl 17 . . 3
26 psrbagev1.z . . . . 5
27 fvex 5859 . . . . 5
2826, 27eqeltri 2486 . . . 4
2928a1i 11 . . 3
3011psrbagfsupp 18495 . . . . 5 finSupp
3110, 9, 30syl2anc 659 . . . 4 finSupp
3231fsuppimpd 7870 . . 3 supp
33 ssid 3461 . . . . 5 supp supp
3433a1i 11 . . . 4 supp supp
354, 26, 5mulg0 16471 . . . . 5
3635adantl 464 . . . 4
37 c0ex 9620 . . . . 5
3837a1i 11 . . . 4
3934, 36, 13, 14, 9, 38suppssof1 6936 . . 3 supp supp
40 suppssfifsupp 7878 . . 3 supp supp supp finSupp
4118, 25, 29, 32, 39, 40syl32anc 1238 . 2 finSupp
4216, 41jca 530 1 finSupp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  crab 2758  cvv 3059   wss 3414   class class class wbr 4395  ccnv 4822  cima 4826   wfun 5563   wfn 5564  wf 5565  cfv 5569  (class class class)co 6278   cof 6519   supp csupp 6902   cmap 7457  cfn 7554   finSupp cfsupp 7863  cc0 9522  cn 10576  cn0 10836  cbs 14841  c0g 15054  cmnd 16243  .gcmg 16380  CMndccmn 17122 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-seq 12152  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mulg 16384  df-cmn 17124 This theorem is referenced by:  psrbagev2  18499  evlslem1  18504
 Copyright terms: Public domain W3C validator