MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagev1 Structured version   Unicode version

Theorem psrbagev1 18497
Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbagev1.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
psrbagev1.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
psrbagev1.x  |-  .x.  =  (.g
`  T )
psrbagev1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
psrbagev1.t  |-  ( ph  ->  T  e. CMnd )
psrbagev1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
psrbagev1.g  |-  ( ph  ->  G : I --> C )
psrbagev1.i  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
psrbagev1  |-  ( ph  ->  ( ( B  oF  .x.  G ) : I --> C  /\  ( B  oF  .x.  G
) finSupp  .0.  ) )
Distinct variable groups:    B, h    h, I
Allowed substitution hints:    ph( h)    C( h)    D( h)    T( h)    .x. (
h)    G( h)    .0. ( h)

Proof of Theorem psrbagev1
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbagev1.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e. CMnd )
2 cmnmnd 17137 . . . . 5  |-  ( T  e. CMnd  ->  T  e.  Mnd )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  Mnd )
4 psrbagev1.c . . . . . 6  |-  C  =  ( Base `  T
)
5 psrbagev1.x . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  T )
64, 5mulgnn0cl 16482 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  z  e.  C )  ->  (
y  .x.  z )  e.  C )
763expb 1198 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Mnd  /\  ( y  e.  NN0  /\  z  e.  C ) )  ->  ( y  .x.  z )  e.  C
)
83, 7sylan 469 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  NN0  /\  z  e.  C ) )  -> 
( y  .x.  z
)  e.  C )
9 psrbagev1.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
10 psrbagev1.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
11 psrbagev1.d . . . . 5  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
1211psrbagf 18334 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  B  e.  D )  ->  B : I --> NN0 )
139, 10, 12syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  B : I --> NN0 )
14 psrbagev1.g . . 3  |-  ( ph  ->  G : I --> C )
15 inidm 3648 . . 3  |-  ( I  i^i  I )  =  I
168, 13, 14, 9, 9, 15off 6536 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  oF  .x.  G ) : I --> C )
17 ovex 6306 . . . 4  |-  ( B  oF  .x.  G
)  e.  _V
1817a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  oF  .x.  G )  e. 
_V )
19 ffn 5714 . . . . . 6  |-  ( B : I --> NN0  ->  B  Fn  I )
2013, 19syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  Fn  I )
21 ffn 5714 . . . . . 6  |-  ( G : I --> C  ->  G  Fn  I )
2214, 21syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  Fn  I )
2320, 22, 9, 9, 15offn 6532 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  oF  .x.  G )  Fn  I )
24 fnfun 5659 . . . 4  |-  ( ( B  oF  .x.  G )  Fn  I  ->  Fun  ( B  oF  .x.  G ) )
2523, 24syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  ( B  oF  .x.  G ) )
26 psrbagev1.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
27 fvex 5859 . . . . 5  |-  ( 0g
`  T )  e. 
_V
2826, 27eqeltri 2486 . . . 4  |-  .0.  e.  _V
2928a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
3011psrbagfsupp 18495 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  D  /\  I  e.  _V )  ->  B finSupp  0 )
3110, 9, 30syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  B finSupp  0 )
3231fsuppimpd 7870 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B supp  0 )  e.  Fin )
33 ssid 3461 . . . . 5  |-  ( B supp  0 )  C_  ( B supp  0 )
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B supp  0 ) 
C_  ( B supp  0
) )
354, 26, 5mulg0 16471 . . . . 5  |-  ( z  e.  C  ->  (
0  .x.  z )  =  .0.  )
3635adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  (
0  .x.  z )  =  .0.  )
37 c0ex 9620 . . . . 5  |-  0  e.  _V
3837a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  _V )
3934, 36, 13, 14, 9, 38suppssof1 6936 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  oF  .x.  G ) supp  .0.  )  C_  ( B supp  0
) )
40 suppssfifsupp 7878 . . 3  |-  ( ( ( ( B  oF  .x.  G )  e. 
_V  /\  Fun  ( B  oF  .x.  G
)  /\  .0.  e.  _V )  /\  (
( B supp  0 )  e.  Fin  /\  (
( B  oF  .x.  G ) supp  .0.  )  C_  ( B supp  0
) ) )  -> 
( B  oF  .x.  G ) finSupp  .0.  )
4118, 25, 29, 32, 39, 40syl32anc 1238 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  oF  .x.  G ) finSupp  .0.  )
4216, 41jca 530 1  |-  ( ph  ->  ( ( B  oF  .x.  G ) : I --> C  /\  ( B  oF  .x.  G
) finSupp  .0.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2758   _Vcvv 3059    C_ wss 3414   class class class wbr 4395   `'ccnv 4822   "cima 4826   Fun wfun 5563    Fn wfn 5564   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    oFcof 6519   supp csupp 6902    ^m cmap 7457   Fincfn 7554   finSupp cfsupp 7863   0cc0 9522   NNcn 10576   NN0cn0 10836   Basecbs 14841   0gc0g 15054   Mndcmnd 16243  .gcmg 16380  CMndccmn 17122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-seq 12152  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mulg 16384  df-cmn 17124
This theorem is referenced by:  psrbagev2  18499  evlslem1  18504
  Copyright terms: Public domain W3C validator