Theorem fsuppimpd 8165

Description: A finitely supported function is a function with a finite support. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsuppimpd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppimpd	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppimpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppimpd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
2		fsuppimp 8164	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3	2	simprd 478	. 2 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  Fun wfun 5798  (class class class)co 6549   supp csupp 7182  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-fsupp 8159

This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  8174  fsuppxpfi  8175  fsuppun  8177  resfsupp  8185  fsuppmptif  8188  fsuppco  8190  fsuppco2  8191  fsuppcor  8192  cantnfcl  8447  cantnfp1lem1  8458  fsuppmapnn0fiublem  12651  fsuppmapnn0fiub  12652  fsuppmapnn0fiubOLD  12653  fsuppmapnn0ub  12657  gsumzcl  18135  gsumcl  18139  gsumzadd  18145  gsumzmhm  18160  gsumzoppg  18167  gsum2dlem1  18192  gsum2dlem2  18193  gsum2d  18194  gsumdixp  18432  lcomfsupp  18726  mptscmfsupp0  18751  mplcoe1  19286  mplbas2  19291  psrbagev1  19331  evlslem2  19333  evlslem6  19334  regsumsupp  19787  frlmphllem  19938  uvcresum  19951  frlmsslsp  19954  frlmup1  19956  tsmsgsum  21752  rrxcph  22988  rrxfsupp  22993  mdegldg  23630  mdegcl  23633  plypf1  23772  rmfsupp  41949  mndpfsupp  41951  scmfsupp  41953  lincresunit2  42061