Theorem basellem7 24613

Description: Lemma for basel 24616. The function 1 + 𝐴 · 𝐺 for any fixed 𝐴 goes to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basellem7.2	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
basellem7	⊢ ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1

Proof of Theorem basellem7

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11599	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 11285	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		ax-1cn 9873	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1	eqimss2i 3623	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℕ
5		nnex 10903	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
6	4, 5	climconst2 14127	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {1}) ⇝ 1)
7	3, 2, 6	sylancr 694	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}) ⇝ 1)
8		ovex 6577	. . . . 5 ⊢ ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ V)
10		basellem7.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
11	4, 5	climconst2 14127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
12	10, 2, 11	sylancr 694	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℕ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
13		ovex 6577	. . . . . . 7 ⊢ ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ V)
15		basel.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
16	15	basellem6 24612	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ⇝ 0
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
18	10	elexi 3186	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ V
19	18	fconst 6004	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶{𝐴}
20	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20	snssd 4281	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → {𝐴} ⊆ ℂ)
22		fss 5969	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℕ × {𝐴}):ℕ⟶{𝐴} ∧ {𝐴} ⊆ ℂ) → (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶ℂ)
23	19, 21, 22	sylancr 694	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶ℂ)
24	23	ffvelrnda 6267	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑘) ∈ ℂ)
25		2nn 11062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ)
27		nnmulcl 10920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
28	26, 27	sylan 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
29	28	peano2nnd 10914	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
30	29	nnrecred 10943	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
31	30	recnd 9947	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
32	31, 15	fmptd 6292	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
33	32	ffvelrnda 6267	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
34		ffn 5958	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℕ × {𝐴}):ℕ⟶ℂ → (ℕ × {𝐴}) Fn ℕ)
35	23, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℕ × {𝐴}) Fn ℕ)
36		ffn 5958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:ℕ⟶ℂ → 𝐺 Fn ℕ)
37	32, 36	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐺 Fn ℕ)
38	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
39		inidm 3784	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
40		eqidd 2611	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑘) = ((ℕ × {𝐴})‘𝑘))
41		eqidd 2611	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
42	35, 37, 38, 38, 39, 40, 41	ofval 6804	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {𝐴})‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
43	1, 2, 12, 14, 17, 24, 33, 42	climmul 14211	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺) ⇝ (𝐴 · 0))
44	10	mul01i 10105	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 0) = 0
45	43, 44	syl6breq 4624	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺) ⇝ 0)
46		1ex 9914	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
47	46	fconst 6004	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × {1}):ℕ⟶{1}
48	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
49	48	snssd 4281	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ ℂ)
50		fss 5969	. . . . . 6 ⊢ (((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℂ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
51	47, 49, 50	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
52	51	ffvelrnda 6267	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) ∈ ℂ)
53		mulcl 9899	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
54	53	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
55	54, 23, 32, 38, 38, 39	off 6810	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺):ℕ⟶ℂ)
56	55	ffvelrnda 6267	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
57	47	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶{1})
58		ffn 5958	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
59	57, 58	syl 17	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
60		ffn 5958	. . . . . 6 ⊢ (((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺):ℕ⟶ℂ → ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺) Fn ℕ)
61	55, 60	syl 17	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺) Fn ℕ)
62		eqidd 2611	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) = ((ℕ × {1})‘𝑘))
63		eqidd 2611	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘))
64	59, 61, 38, 38, 39, 62, 63	ofval 6804	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {1})‘𝑘) + (((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘)))
65	1, 2, 7, 9, 45, 52, 56, 64	climadd 14210	. . 3 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ (1 + 0))
66	65	trud 1484	. 2 ⊢ ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ (1 + 0)
67		1p0e1 11010	. 2 ⊢ (1 + 0) = 1
68	66, 67	breqtri 4608	1 ⊢ ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1

Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563   ⇝ cli 14063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068

This theorem is referenced by:  basellem9  24615