MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem7 Structured version   Unicode version

Theorem basellem7 23486
Description: Lemma for basel 23489. The function  1  +  A  x.  G for any fixed  A goes to  1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
basellem7.2  |-  A  e.  CC
Assertion
Ref Expression
basellem7  |-  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { A }
)  oF  x.  G ) )  ~~>  1

Proof of Theorem basellem7
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11141 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10916 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
3 ax-1cn 9567 . . . . 5  |-  1  e.  CC
41eqimss2i 3554 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  NN
5 nnex 10562 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
64, 5climconst2 13383 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  {
1 } )  ~~>  1 )
73, 2, 6sylancr 663 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
1 } )  ~~>  1 )
8 ovex 6324 . . . . 5  |-  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { A }
)  oF  x.  G ) )  e. 
_V
98a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { A } )  oF  x.  G ) )  e.  _V )
10 basellem7.2 . . . . . . 7  |-  A  e.  CC
114, 5climconst2 13383 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  { A } )  ~~>  A )
1210, 2, 11sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  { A } )  ~~>  A )
13 ovex 6324 . . . . . . 7  |-  ( ( NN  X.  { A } )  oF  x.  G )  e. 
_V
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { A } )  oF  x.  G )  e.  _V )
15 basel.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
1615basellem6 23485 . . . . . . 7  |-  G  ~~>  0
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  G  ~~>  0 )
1810elexi 3119 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
_V
1918fconst 5777 . . . . . . . 8  |-  ( NN 
X.  { A }
) : NN --> { A }
2010a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  A  e.  CC )
2120snssd 4177 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  { A }  C_  CC )
22 fss 5745 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( NN  X.  { A } ) : NN --> { A }  /\  { A }  C_  CC )  ->  ( NN  X.  { A } ) : NN --> CC )
2319, 21, 22sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  { A } ) : NN --> CC )
2423ffvelrnda 6032 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  { A } ) `  k
)  e.  CC )
25 2nn 10714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  2  e.  NN )
27 nnmulcl 10579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  NN )
2826, 27sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
2928peano2nnd 10573 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN )
3029nnrecred 10602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
3130recnd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
3231, 15fmptd 6056 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  G : NN --> CC )
3332ffvelrnda 6032 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
34 ffn 5737 . . . . . . . 8  |-  ( ( NN  X.  { A } ) : NN --> CC  ->  ( NN  X.  { A } )  Fn  NN )
3523, 34syl 16 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  { A } )  Fn  NN )
36 ffn 5737 . . . . . . . 8  |-  ( G : NN --> CC  ->  G  Fn  NN )
3732, 36syl 16 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  G  Fn  NN )
385a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  NN  e.  _V )
39 inidm 3703 . . . . . . 7  |-  ( NN 
i^i  NN )  =  NN
40 eqidd 2458 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  { A } ) `  k
)  =  ( ( NN  X.  { A } ) `  k
) )
41 eqidd 2458 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
4235, 37, 38, 38, 39, 40, 41ofval 6548 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { A } )  oF  x.  G ) `
 k )  =  ( ( ( NN 
X.  { A }
) `  k )  x.  ( G `  k
) ) )
431, 2, 12, 14, 17, 24, 33, 42climmul 13467 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { A } )  oF  x.  G )  ~~>  ( A  x.  0 ) )
4410mul01i 9787 . . . . 5  |-  ( A  x.  0 )  =  0
4543, 44syl6breq 4495 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { A } )  oF  x.  G )  ~~>  0 )
46 1ex 9608 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
4746fconst 5777 . . . . . 6  |-  ( NN 
X.  { 1 } ) : NN --> { 1 }
483a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
4948snssd 4177 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  { 1 }  C_  CC )
50 fss 5745 . . . . . 6  |-  ( ( ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> { 1 }  /\  { 1 } 
C_  CC )  -> 
( NN  X.  {
1 } ) : NN --> CC )
5147, 49, 50sylancr 663 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> CC )
5251ffvelrnda 6032 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
1 } ) `  k )  e.  CC )
53 mulcl 9593 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
5453adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  CC )
5554, 23, 32, 38, 38, 39off 6553 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { A } )  oF  x.  G ) : NN --> CC )
5655ffvelrnda 6032 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { A } )  oF  x.  G ) `
 k )  e.  CC )
5747a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> { 1 } )
58 ffn 5737 . . . . . 6  |-  ( ( NN  X.  { 1 } ) : NN --> { 1 }  ->  ( NN  X.  { 1 } )  Fn  NN )
5957, 58syl 16 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( NN  X.  {
1 } )  Fn  NN )
60 ffn 5737 . . . . . 6  |-  ( ( ( NN  X.  { A } )  oF  x.  G ) : NN --> CC  ->  (
( NN  X.  { A } )  oF  x.  G )  Fn  NN )
6155, 60syl 16 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { A } )  oF  x.  G )  Fn  NN )
62 eqidd 2458 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
1 } ) `  k )  =  ( ( NN  X.  {
1 } ) `  k ) )
63 eqidd 2458 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { A } )  oF  x.  G ) `
 k )  =  ( ( ( NN 
X.  { A }
)  oF  x.  G ) `  k
) )
6459, 61, 38, 38, 39, 62, 63ofval 6548 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { A } )  oF  x.  G ) ) `
 k )  =  ( ( ( NN 
X.  { 1 } ) `  k )  +  ( ( ( NN  X.  { A } )  oF  x.  G ) `  k ) ) )
651, 2, 7, 9, 45, 52, 56, 64climadd 13466 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN  X.  { A } )  oF  x.  G ) )  ~~>  ( 1  +  0 ) )
6665trud 1404 . 2  |-  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { A }
)  oF  x.  G ) )  ~~>  ( 1  +  0 )
67 1p0e1 10669 . 2  |-  ( 1  +  0 )  =  1
6866, 67breqtri 4479 1  |-  ( ( NN  X.  { 1 } )  oF  +  ( ( NN 
X.  { A }
)  oF  x.  G ) )  ~~>  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oFcof 6537   CCcc 9507   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106    ~~> cli 13319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-rlim 13324
This theorem is referenced by:  basellem9  23488
  Copyright terms: Public domain W3C validator