Theorem mbfaddlem 23233

Description: The sum of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
mbfadd.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfaddlem	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfaddlem

Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readdcl 9898	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
3		mbfadd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
4		mbfadd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
5		fdm 5964	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
7		mbfadd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
8		mbfdm 23201	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
10	6, 9	eqeltrrd 2689	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
11		inidm 3784	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
12	2, 3, 4, 10, 10, 11	off 6810	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):𝐴⟶ℝ)
13		eliun 4460	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))))
14		r19.42v 3073	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))))
15		simplr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
16	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
17	16	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
18	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
19	18	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
20	15, 17, 19	ltsubaddd 10502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
21	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝑦 ∈ ℝ)
22		qre 11669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℝ)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝑟 ∈ ℝ)
24	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
25		ltsub23 10387	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥) ↔ (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟))
26	21, 23, 24, 25	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥) ↔ (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟))
27	26	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥)) ↔ (𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟)))
28		ancom 465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟) ↔ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥)))
29	27, 28	syl6bb 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥)) ↔ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥))))
30	29	rexbidva 3031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥))))
31	15, 17	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ)
33	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
34		lttr 9993	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → (((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥)) → (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥)))
35	32, 23, 33, 34	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥)) → (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥)))
36	35	rexlimdva 3013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥)) → (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥)))
37		qbtwnre 11904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥)) → ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥)))
38	37	3expia 1259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥))))
39	31, 19, 38	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥))))
40	36, 39	impbid 201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥)))
41	30, 40	bitrd 267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥)) ↔ (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥)))
42		ffn 5958	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐴)
43	3, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn 𝐴)
45		ffn 5958	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝐴)
46	4, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐺 Fn 𝐴)
48	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
49		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
50		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
51	44, 47, 48, 48, 11, 49, 50	ofval 6804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
52	51	breq2d 4595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 < ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
53	20, 41, 52	3bitr4d 299	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥)) ↔ 𝑦 < ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑥)))
54	23	rexrd 9968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝑟 ∈ ℝ*)
55		elioopnf 12138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥))))
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥))))
57	33	biantrurd 528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑟 < (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥))))
58	56, 57	bitr4d 270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ↔ 𝑟 < (𝐹‘𝑥)))
59	21, 23	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ)
60	59	rexrd 9968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ*)
61		elioopnf 12138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ* → ((𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞) ↔ ((𝐺‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥))))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞) ↔ ((𝐺‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥))))
63	24	biantrurd 528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥) ↔ ((𝐺‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥))))
64	62, 63	bitr4d 270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞) ↔ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥)))
65	58, 64	anbi12d 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ↔ (𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥))))
66	65	rexbidva 3031	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥))))
67	15	rexrd 9968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
68		elioopnf 12138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑥))))
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑥))))
70	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):𝐴⟶ℝ)
71	70	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑥) ∈ ℝ)
72	71	biantrurd 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 < ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑥) ↔ (((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑥))))
73	69, 72	bitr4d 270	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝑦 < ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑥)))
74	53, 66, 73	3bitr4d 299	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ↔ ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞)))
75	74	pm5.32da 671	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
76	14, 75	syl5bb 271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
77		elpreima 6245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞))))
78	44, 77	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞))))
79		elpreima 6245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))))
80	47, 79	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))))
81	78, 80	anbi12d 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)))))
82		elin 3758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))))
83		anandi 867	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))))
84	81, 82, 83	3bitr4g 302	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)))))
85	84	rexbidv 3034	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)))))
86		ffn 5958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) Fn 𝐴)
87	12, 86	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) Fn 𝐴)
88	87	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) Fn 𝐴)
89		elpreima 6245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
90	88, 89	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
91	76, 85, 90	3bitr4d 299	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ 𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞))))
92	13, 91	syl5bb 271	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ∪ 𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ 𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞))))
93	92	eqrdv 2608	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∪ 𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) = (◡(𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞)))
94		qnnen 14781	. . . . 5 ⊢ ℚ ≈ ℕ
95		endom 7868	. . . . 5 ⊢ (ℚ ≈ ℕ → ℚ ≼ ℕ)
96	94, 95	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℚ ≼ ℕ
97		mbfima 23205	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∈ dom vol)
98	7, 3, 97	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∈ dom vol)
99		mbfadd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
100		mbfima 23205	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ MblFn ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ∈ dom vol)
101	99, 4, 100	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ∈ dom vol)
102		inmbl 23117	. . . . . . 7 ⊢ (((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
103	98, 101, 102	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
104	103	ad2antrr 758	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
105	104	ralrimiva 2949	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
106		iunmbl2 23132	. . . 4 ⊢ ((ℚ ≼ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol) → ∪ 𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
107	96, 105, 106	sylancr 694	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∪ 𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
108	93, 107	eqeltrrd 2689	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡(𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
109	12, 108	ismbf3d 23227	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∩ cin 3539  ∪ ciun 4455   class class class wbr 4583  ^◡ccnv 5037  dom cdm 5038   “ cima 5041   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839  ℝcr 9814   + caddc 9818  +∞cpnf 9950  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℚcq 11664  (,)cioo 12046  volcvol 23039  MblFncmbf 23189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-xmet 19560  df-met 19561  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194

This theorem is referenced by:  mbfadd  23234