Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfdm 23201
 Description: The domain of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfdm (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfdm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ref 13700 . . . 4 ℜ:ℂ⟶ℝ
2 mbff 23200 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3 fco 5971 . . . 4 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
41, 2, 3sylancr 694 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
5 fimacnv 6255 . . 3 ((ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) = dom 𝐹)
64, 5syl 17 . 2 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) = dom 𝐹)
7 ioomax 12119 . . . 4 (-∞(,)+∞) = ℝ
8 ioof 12142 . . . . . 6 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
9 ffn 5958 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
11 mnfxr 9975 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
12 pnfxr 9971 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
13 fnovrn 6707 . . . . 5 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
1410, 11, 12, 13mp3an 1416 . . . 4 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
157, 14eqeltrri 2685 . . 3 ℝ ∈ ran (,)
16 ismbf1 23199 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
1716simprbi 479 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
18 simpl 472 . . . . 5 ((((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
1918ralimi 2936 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) → ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
2017, 19syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
21 imaeq2 5381 . . . . 5 (𝑥 = ℝ → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) = ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ))
2221eleq1d 2672 . . . 4 (𝑥 = ℝ → (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) ∈ dom vol))
2322rspcv 3278 . . 3 (ℝ ∈ ran (,) → (∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol → ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) ∈ dom vol))
2415, 20, 23mpsyl 66 . 2 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) ∈ dom vol)
256, 24eqeltrrd 2689 1 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  𝒫 cpw 4108   × cxp 5036  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039   “ cima 5041   ∘ ccom 5042   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549   ↑pm cpm 7745  ℂcc 9813  ℝcr 9814  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ*cxr 9952  (,)cioo 12046  ℜcre 13685  ℑcim 13686  volcvol 23039  MblFncmbf 23189 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-ioo 12050  df-cj 13687  df-re 13688  df-mbf 23194 This theorem is referenced by:  ismbf  23203  ismbfcn  23204  mbfimaicc  23206  mbfdm2  23211  mbfres  23217  mbfmulc2lem  23220  mbfimaopn2  23230  cncombf  23231  mbfaddlem  23233  mbfadd  23234  mbfsub  23235  mbfmullem2  23297  mbfmul  23299  bddmulibl  23411  bddibl  23412  itgulm  23966  bddiblnc  32650  ftc1anclem1  32655  ftc1anclem5  32659  ftc1anclem8  32662  smfmbfcex  39646
 Copyright terms: Public domain W3C validator