MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfaddlem Structured version   Unicode version

Theorem mbfaddlem 22192
Description: The sum of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfadd.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfadd.2  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
mbfadd.3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
mbfadd.4  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
Assertion
Ref Expression
mbfaddlem  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G )  e. MblFn
)

Proof of Theorem mbfaddlem
Dummy variables  r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 readdcl 9592 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
21adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  +  y )  e.  RR )
3 mbfadd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
4 mbfadd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
5 fdm 5741 . . . . 5  |-  ( F : A --> RR  ->  dom 
F  =  A )
63, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
7 mbfadd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
8 mbfdm 22160 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  e.  dom  vol )
106, 9eqeltrrd 2546 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
11 inidm 3703 . . 3  |-  ( A  i^i  A )  =  A
122, 3, 4, 10, 10, 11off 6553 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G ) : A --> RR )
13 eliun 4337 . . . . 5  |-  ( x  e.  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  E. r  e.  QQ  x  e.  ( ( `' F "
( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) ) )
14 r19.42v 3012 . . . . . . 7  |-  ( E. r  e.  QQ  (
x  e.  A  /\  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  ( x  e.  A  /\  E. r  e.  QQ  ( ( F `
 x )  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r
) (,) +oo )
) ) )
15 simplr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR )
164adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  G : A
--> RR )
1716ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
183adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  F : A
--> RR )
1918ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
2015, 17, 19ltsubaddd 10169 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x )  <->  y  <  ( ( F `  x
)  +  ( G `
 x ) ) ) )
2115adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  y  e.  RR )
22 qre 11212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  e.  QQ  ->  r  e.  RR )
2322adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  r  e.  RR )
2417adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( G `
 x )  e.  RR )
25 ltsub23 10053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR  /\  r  e.  RR  /\  ( G `  x )  e.  RR )  ->  (
( y  -  r
)  <  ( G `  x )  <->  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r ) )
2621, 23, 24, 25syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( y  -  r )  <  ( G `  x )  <->  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r ) )
2726anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( r  <  ( F `
 x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  ( r  <  ( F `  x
)  /\  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r ) ) )
28 ancom 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  <  ( F `
 x )  /\  ( y  -  ( G `  x )
)  <  r )  <->  ( ( y  -  ( G `  x )
)  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) ) )
2927, 28syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( r  <  ( F `
 x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  ( (
y  -  ( G `
 x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x
) ) ) )
3029rexbidva 2965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( r  <  ( F `  x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r  /\  r  <  ( F `  x ) ) ) )
3115, 17resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  -  ( G `
 x ) )  e.  RR )
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( y  -  ( G `  x ) )  e.  RR )
3319adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
34 lttr 9678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  -  ( G `  x )
)  e.  RR  /\  r  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR )  ->  (
( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) )  -> 
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x ) ) )
3532, 23, 33, 34syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( ( y  -  ( G `  x )
)  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) )  -> 
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x ) ) )
3635rexlimdva 2949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) )  -> 
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x ) ) )
37 qbtwnre 11423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  -  ( G `  x )
)  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR  /\  (
y  -  ( G `
 x ) )  <  ( F `  x ) )  ->  E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) ) )
38373expia 1198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  -  ( G `  x )
)  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR )  -> 
( ( y  -  ( G `  x ) )  <  ( F `
 x )  ->  E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) ) ) )
3931, 19, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x )  ->  E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r  /\  r  <  ( F `  x ) ) ) )
4036, 39impbid 191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) )  <->  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
( F `  x
) ) )
4130, 40bitrd 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( r  <  ( F `  x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
( F `  x
) ) )
42 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A --> RR  ->  F  Fn  A )
433, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  F  Fn  A )
45 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A --> RR  ->  G  Fn  A )
464, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  G  Fn  A )
4810adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A  e. 
dom  vol )
49 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
50 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
5144, 47, 48, 48, 11, 49, 50ofval 6548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F  oF  +  G ) `  x )  =  ( ( F `  x
)  +  ( G `
 x ) ) )
5251breq2d 4468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  ( ( F  oF  +  G
) `  x )  <->  y  <  ( ( F `
 x )  +  ( G `  x
) ) ) )
5320, 41, 523bitr4d 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( r  <  ( F `  x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  y  <  ( ( F  oF  +  G ) `  x ) ) )
5423rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  r  e. 
RR* )
55 elioopnf 11643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  r  < 
( F `  x
) ) ) )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  r  < 
( F `  x
) ) ) )
5733biantrurd 508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( r  <  ( F `  x )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  r  < 
( F `  x
) ) ) )
5856, 57bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  <->  r  <  ( F `  x )
) )
5921, 23resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( y  -  r )  e.  RR )
6059rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( y  -  r )  e. 
RR* )
61 elioopnf 11643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  -  r )  e.  RR*  ->  ( ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo )  <->  ( ( G `
 x )  e.  RR  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo )  <->  ( ( G `
 x )  e.  RR  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6324biantrurd 508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( y  -  r )  <  ( G `  x )  <->  ( ( G `  x )  e.  RR  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6462, 63bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo )  <->  ( y  -  r )  <  ( G `  x )
) )
6558, 64anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( ( F `  x
)  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) )  <->  ( r  <  ( F `  x
)  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6665rexbidva 2965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) )  <->  E. r  e.  QQ  ( r  <  ( F `  x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) ) ) )
6715rexrd 9660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
68 elioopnf 11643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( ( F  oF  +  G ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( ( F  oF  +  G ) `  x )  e.  RR  /\  y  <  ( ( F  oF  +  G ) `  x
) ) ) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( F  oF  +  G ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( ( F  oF  +  G ) `  x )  e.  RR  /\  y  <  ( ( F  oF  +  G ) `  x
) ) ) )
7012adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F  oF  +  G
) : A --> RR )
7170ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F  oF  +  G ) `  x )  e.  RR )
7271biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  ( ( F  oF  +  G
) `  x )  <->  ( ( ( F  oF  +  G ) `  x )  e.  RR  /\  y  <  ( ( F  oF  +  G ) `  x
) ) ) )
7369, 72bitr4d 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( F  oF  +  G ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )  <->  y  <  ( ( F  oF  +  G
) `  x )
) )
7453, 66, 733bitr4d 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) )  <-> 
( ( F  oF  +  G ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )
) )
7574pm5.32da 641 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  A  /\  E. r  e.  QQ  (
( F `  x
)  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( F  oF  +  G ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )
) ) )
7614, 75syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. r  e.  QQ  (
x  e.  A  /\  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( F  oF  +  G ) `  x
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
77 elpreima 6008 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x  e.  ( `' F " ( r (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( F `  x
)  e.  ( r (,) +oo ) ) ) )
7844, 77syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' F " ( r (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo ) ) ) )
79 elpreima 6008 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  Fn  A  ->  (
x  e.  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) ) )
8047, 79syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) ) )
8178, 80anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  ( `' F " ( r (,) +oo ) )  /\  x  e.  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  ( ( x  e.  A  /\  ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo ) )  /\  (
x  e.  A  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) ) ) )
82 elin 3683 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  ( x  e.  ( `' F "
( r (,) +oo ) )  /\  x  e.  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) ) )
83 anandi 828 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  ( ( x  e.  A  /\  ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo ) )  /\  (
x  e.  A  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) ) )
8481, 82, 833bitr4g 288 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( F `  x
)  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) ) ) )
8584rexbidv 2968 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. r  e.  QQ  x  e.  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  E. r  e.  QQ  ( x  e.  A  /\  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) ) ) )
86 ffn 5737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  oF  +  G ) : A --> RR  ->  ( F  oF  +  G )  Fn  A )
8712, 86syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G )  Fn  A )
8887adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F  oF  +  G
)  Fn  A )
89 elpreima 6008 . . . . . . 7  |-  ( ( F  oF  +  G )  Fn  A  ->  ( x  e.  ( `' ( F  oF  +  G ) " ( y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( F  oF  +  G ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )
) ) )
9088, 89syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' ( F  oF  +  G ) " (
y (,) +oo )
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( F  oF  +  G ) `  x
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
9176, 85, 903bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. r  e.  QQ  x  e.  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  x  e.  ( `' ( F  oF  +  G ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
9213, 91syl5bb 257 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  x  e.  ( `' ( F  oF  +  G ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
9392eqrdv 2454 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  =  ( `' ( F  oF  +  G
) " ( y (,) +oo ) ) )
94 qnnen 13958 . . . . 5  |-  QQ  ~~  NN
95 endom 7561 . . . . 5  |-  ( QQ 
~~  NN  ->  QQ  ~<_  NN )
9694, 95ax-mp 5 . . . 4  |-  QQ  ~<_  NN
97 mbfima 22164 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( r (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
987, 3, 97syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( r (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
99 mbfadd.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
100 mbfima 22164 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e. MblFn  /\  G : A
--> RR )  ->  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
10199, 4, 100syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
102 inmbl 22077 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' F "
( r (,) +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
10398, 101, 102syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
104103ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  QQ )  ->  (
( `' F "
( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
105104ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
106 iunmbl2 22092 . . . 4  |-  ( ( QQ  ~<_  NN  /\  A. r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )  ->  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
10796, 105, 106sylancr 663 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
10893, 107eqeltrrd 2546 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( F  oF  +  G ) "
( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
10912, 108ismbf3d 22186 1  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808    i^i cin 3470   U_ciun 4332   class class class wbr 4456   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   "cima 5011    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oFcof 6537    ~~ cen 7532    ~<_ cdom 7533   RRcr 9508    + caddc 9512   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645    - cmin 9824   NNcn 10556   QQcq 11207   (,)cioo 11554   volcvol 22000  MblFncmbf 22148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xadd 11344  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-xmet 18538  df-met 18539  df-ovol 22001  df-vol 22002  df-mbf 22153
This theorem is referenced by:  mbfadd  22193
  Copyright terms: Public domain W3C validator