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Theorem mbfaddlem 21136
Description: The sum of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfadd.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfadd.2  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
mbfadd.3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
mbfadd.4  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
Assertion
Ref Expression
mbfaddlem  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G )  e. MblFn
)

Proof of Theorem mbfaddlem
Dummy variables  r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 readdcl 9363 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
21adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  +  y )  e.  RR )
3 mbfadd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
4 mbfadd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
5 fdm 5561 . . . . 5  |-  ( F : A --> RR  ->  dom 
F  =  A )
63, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
7 mbfadd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
8 mbfdm 21104 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  e.  dom  vol )
106, 9eqeltrrd 2516 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
11 inidm 3557 . . 3  |-  ( A  i^i  A )  =  A
122, 3, 4, 10, 10, 11off 6332 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G ) : A --> RR )
13 eliun 4173 . . . . 5  |-  ( x  e.  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  E. r  e.  QQ  x  e.  ( ( `' F "
( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) ) )
14 r19.42v 2873 . . . . . . 7  |-  ( E. r  e.  QQ  (
x  e.  A  /\  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  ( x  e.  A  /\  E. r  e.  QQ  ( ( F `
 x )  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r
) (,) +oo )
) ) )
15 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR )
164adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  G : A
--> RR )
1716ffvelrnda 5841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
183adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  F : A
--> RR )
1918ffvelrnda 5841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
2015, 17, 19ltsubaddd 9933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x )  <->  y  <  ( ( F `  x
)  +  ( G `
 x ) ) ) )
2115adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  y  e.  RR )
22 qre 10956 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  e.  QQ  ->  r  e.  RR )
2322adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  r  e.  RR )
2417adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( G `
 x )  e.  RR )
25 ltsub23 9817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR  /\  r  e.  RR  /\  ( G `  x )  e.  RR )  ->  (
( y  -  r
)  <  ( G `  x )  <->  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r ) )
2621, 23, 24, 25syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( y  -  r )  <  ( G `  x )  <->  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r ) )
2726anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( r  <  ( F `
 x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  ( r  <  ( F `  x
)  /\  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r ) ) )
28 ancom 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  <  ( F `
 x )  /\  ( y  -  ( G `  x )
)  <  r )  <->  ( ( y  -  ( G `  x )
)  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) ) )
2927, 28syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( r  <  ( F `
 x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  ( (
y  -  ( G `
 x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x
) ) ) )
3029rexbidva 2730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( r  <  ( F `  x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r  /\  r  <  ( F `  x ) ) ) )
3115, 17resubcld 9774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  -  ( G `
 x ) )  e.  RR )
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( y  -  ( G `  x ) )  e.  RR )
3319adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
34 lttr 9449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  -  ( G `  x )
)  e.  RR  /\  r  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR )  ->  (
( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) )  -> 
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x ) ) )
3532, 23, 33, 34syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( ( y  -  ( G `  x )
)  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) )  -> 
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x ) ) )
3635rexlimdva 2839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) )  -> 
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x ) ) )
37 qbtwnre 11167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  -  ( G `  x )
)  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR  /\  (
y  -  ( G `
 x ) )  <  ( F `  x ) )  ->  E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) ) )
38373expia 1189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  -  ( G `  x )
)  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR )  -> 
( ( y  -  ( G `  x ) )  <  ( F `
 x )  ->  E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) ) ) )
3931, 19, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x )  ->  E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r  /\  r  <  ( F `  x ) ) ) )
4036, 39impbid 191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) )  <->  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
( F `  x
) ) )
4130, 40bitrd 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( r  <  ( F `  x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
( F `  x
) ) )
42 ffn 5557 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A --> RR  ->  F  Fn  A )
433, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  F  Fn  A )
45 ffn 5557 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A --> RR  ->  G  Fn  A )
464, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  G  Fn  A )
4810adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A  e. 
dom  vol )
49 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
50 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
5144, 47, 48, 48, 11, 49, 50ofval 6327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F  oF  +  G ) `  x )  =  ( ( F `  x
)  +  ( G `
 x ) ) )
5251breq2d 4302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  ( ( F  oF  +  G
) `  x )  <->  y  <  ( ( F `
 x )  +  ( G `  x
) ) ) )
5320, 41, 523bitr4d 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( r  <  ( F `  x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  y  <  ( ( F  oF  +  G ) `  x ) ) )
5423rexrd 9431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  r  e. 
RR* )
55 elioopnf 11381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  r  < 
( F `  x
) ) ) )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  r  < 
( F `  x
) ) ) )
5733biantrurd 508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( r  <  ( F `  x )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  r  < 
( F `  x
) ) ) )
5856, 57bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  <->  r  <  ( F `  x )
) )
5921, 23resubcld 9774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( y  -  r )  e.  RR )
6059rexrd 9431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( y  -  r )  e. 
RR* )
61 elioopnf 11381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  -  r )  e.  RR*  ->  ( ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo )  <->  ( ( G `
 x )  e.  RR  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo )  <->  ( ( G `
 x )  e.  RR  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6324biantrurd 508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( y  -  r )  <  ( G `  x )  <->  ( ( G `  x )  e.  RR  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6462, 63bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo )  <->  ( y  -  r )  <  ( G `  x )
) )
6558, 64anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( ( F `  x
)  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) )  <->  ( r  <  ( F `  x
)  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6665rexbidva 2730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) )  <->  E. r  e.  QQ  ( r  <  ( F `  x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) ) ) )
6715rexrd 9431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
68 elioopnf 11381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( ( F  oF  +  G ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( ( F  oF  +  G ) `  x )  e.  RR  /\  y  <  ( ( F  oF  +  G ) `  x
) ) ) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( F  oF  +  G ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( ( F  oF  +  G ) `  x )  e.  RR  /\  y  <  ( ( F  oF  +  G ) `  x
) ) ) )
7012adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F  oF  +  G
) : A --> RR )
7170ffvelrnda 5841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F  oF  +  G ) `  x )  e.  RR )
7271biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  ( ( F  oF  +  G
) `  x )  <->  ( ( ( F  oF  +  G ) `  x )  e.  RR  /\  y  <  ( ( F  oF  +  G ) `  x
) ) ) )
7369, 72bitr4d 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( F  oF  +  G ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )  <->  y  <  ( ( F  oF  +  G
) `  x )
) )
7453, 66, 733bitr4d 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) )  <-> 
( ( F  oF  +  G ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )
) )
7574pm5.32da 641 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  A  /\  E. r  e.  QQ  (
( F `  x
)  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( F  oF  +  G ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )
) ) )
7614, 75syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. r  e.  QQ  (
x  e.  A  /\  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( F  oF  +  G ) `  x
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
77 elpreima 5821 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x  e.  ( `' F " ( r (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( F `  x
)  e.  ( r (,) +oo ) ) ) )
7844, 77syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' F " ( r (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo ) ) ) )
79 elpreima 5821 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  Fn  A  ->  (
x  e.  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) ) )
8047, 79syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) ) )
8178, 80anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  ( `' F " ( r (,) +oo ) )  /\  x  e.  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  ( ( x  e.  A  /\  ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo ) )  /\  (
x  e.  A  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) ) ) )
82 elin 3537 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  ( x  e.  ( `' F "
( r (,) +oo ) )  /\  x  e.  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) ) )
83 anandi 824 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  ( ( x  e.  A  /\  ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo ) )  /\  (
x  e.  A  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) ) )
8481, 82, 833bitr4g 288 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( F `  x
)  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) ) ) )
8584rexbidv 2734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. r  e.  QQ  x  e.  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  E. r  e.  QQ  ( x  e.  A  /\  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) ) ) )
86 ffn 5557 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  oF  +  G ) : A --> RR  ->  ( F  oF  +  G )  Fn  A )
8712, 86syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G )  Fn  A )
8887adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F  oF  +  G
)  Fn  A )
89 elpreima 5821 . . . . . . 7  |-  ( ( F  oF  +  G )  Fn  A  ->  ( x  e.  ( `' ( F  oF  +  G ) " ( y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( F  oF  +  G ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )
) ) )
9088, 89syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' ( F  oF  +  G ) " (
y (,) +oo )
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( F  oF  +  G ) `  x
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
9176, 85, 903bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. r  e.  QQ  x  e.  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  x  e.  ( `' ( F  oF  +  G ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
9213, 91syl5bb 257 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  x  e.  ( `' ( F  oF  +  G ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
9392eqrdv 2439 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  =  ( `' ( F  oF  +  G
) " ( y (,) +oo ) ) )
94 qnnen 13494 . . . . 5  |-  QQ  ~~  NN
95 endom 7334 . . . . 5  |-  ( QQ 
~~  NN  ->  QQ  ~<_  NN )
9694, 95ax-mp 5 . . . 4  |-  QQ  ~<_  NN
97 mbfima 21108 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( r (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
987, 3, 97syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( r (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
99 mbfadd.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
100 mbfima 21108 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e. MblFn  /\  G : A
--> RR )  ->  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
10199, 4, 100syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
102 inmbl 21021 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' F "
( r (,) +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
10398, 101, 102syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
104103ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  QQ )  ->  (
( `' F "
( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
105104ralrimiva 2797 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
106 iunmbl2 21036 . . . 4  |-  ( ( QQ  ~<_  NN  /\  A. r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )  ->  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
10796, 105, 106sylancr 663 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
10893, 107eqeltrrd 2516 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( F  oF  +  G ) "
( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
10912, 108ismbf3d 21130 1  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   E.wrex 2714    i^i cin 3325   U_ciun 4169   class class class wbr 4290   `'ccnv 4837   dom cdm 4838   "cima 4841    Fn wfn 5411   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    oFcof 6316    ~~ cen 7305    ~<_ cdom 7306   RRcr 9279    + caddc 9283   +oocpnf 9413   RR*cxr 9415    < clt 9416    - cmin 9593   NNcn 10320   QQcq 10951   (,)cioo 11298   volcvol 20945  MblFncmbf 21092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cc 8602  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-disj 4261  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-omul 6923  df-er 7099  df-map 7214  df-pm 7215  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-acn 8110  df-cda 8335  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xadd 11088  df-ioo 11302  df-ioc 11303  df-ico 11304  df-icc 11305  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-fl 11640  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-clim 12964  df-rlim 12965  df-sum 13162  df-xmet 17808  df-met 17809  df-ovol 20946  df-vol 20947  df-mbf 21097
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