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Theorem mbfaddlem 22615
Description: The sum of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfadd.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfadd.2  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
mbfadd.3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
mbfadd.4  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
Assertion
Ref Expression
mbfaddlem  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G )  e. MblFn
)

Proof of Theorem mbfaddlem
Dummy variables  r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 readdcl 9630 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
21adantl 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  +  y )  e.  RR )
3 mbfadd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
4 mbfadd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
5 fdm 5750 . . . . 5  |-  ( F : A --> RR  ->  dom 
F  =  A )
63, 5syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
7 mbfadd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
8 mbfdm 22583 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
97, 8syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  e.  dom  vol )
106, 9eqeltrrd 2508 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
11 inidm 3671 . . 3  |-  ( A  i^i  A )  =  A
122, 3, 4, 10, 10, 11off 6561 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G ) : A --> RR )
13 eliun 4304 . . . . 5  |-  ( x  e.  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  E. r  e.  QQ  x  e.  ( ( `' F "
( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) ) )
14 r19.42v 2980 . . . . . . 7  |-  ( E. r  e.  QQ  (
x  e.  A  /\  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  ( x  e.  A  /\  E. r  e.  QQ  ( ( F `
 x )  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r
) (,) +oo )
) ) )
15 simplr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR )
164adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  G : A
--> RR )
1716ffvelrnda 6038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
183adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  F : A
--> RR )
1918ffvelrnda 6038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
2015, 17, 19ltsubaddd 10217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x )  <->  y  <  ( ( F `  x
)  +  ( G `
 x ) ) ) )
2115adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  y  e.  RR )
22 qre 11277 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  e.  QQ  ->  r  e.  RR )
2322adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  r  e.  RR )
2417adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( G `
 x )  e.  RR )
25 ltsub23 10102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR  /\  r  e.  RR  /\  ( G `  x )  e.  RR )  ->  (
( y  -  r
)  <  ( G `  x )  <->  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r ) )
2621, 23, 24, 25syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( y  -  r )  <  ( G `  x )  <->  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r ) )
2726anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( r  <  ( F `
 x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  ( r  <  ( F `  x
)  /\  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r ) ) )
28 ancom 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  <  ( F `
 x )  /\  ( y  -  ( G `  x )
)  <  r )  <->  ( ( y  -  ( G `  x )
)  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) ) )
2927, 28syl6bb 264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( r  <  ( F `
 x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  ( (
y  -  ( G `
 x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x
) ) ) )
3029rexbidva 2933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( r  <  ( F `  x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r  /\  r  <  ( F `  x ) ) ) )
3115, 17resubcld 10055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  -  ( G `
 x ) )  e.  RR )
3231adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( y  -  ( G `  x ) )  e.  RR )
3319adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
34 lttr 9718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  -  ( G `  x )
)  e.  RR  /\  r  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR )  ->  (
( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) )  -> 
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x ) ) )
3532, 23, 33, 34syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( ( y  -  ( G `  x )
)  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) )  -> 
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x ) ) )
3635rexlimdva 2914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) )  -> 
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x ) ) )
37 qbtwnre 11500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  -  ( G `  x )
)  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR  /\  (
y  -  ( G `
 x ) )  <  ( F `  x ) )  ->  E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) ) )
38373expia 1207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  -  ( G `  x )
)  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR )  -> 
( ( y  -  ( G `  x ) )  <  ( F `
 x )  ->  E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) ) ) )
3931, 19, 38syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x )  ->  E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r  /\  r  <  ( F `  x ) ) ) )
4036, 39impbid 193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) )  <->  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
( F `  x
) ) )
4130, 40bitrd 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( r  <  ( F `  x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
( F `  x
) ) )
42 ffn 5746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A --> RR  ->  F  Fn  A )
433, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
4443adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  F  Fn  A )
45 ffn 5746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A --> RR  ->  G  Fn  A )
464, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
4746adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  G  Fn  A )
4810adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A  e. 
dom  vol )
49 eqidd 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
50 eqidd 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
5144, 47, 48, 48, 11, 49, 50ofval 6555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F  oF  +  G ) `  x )  =  ( ( F `  x
)  +  ( G `
 x ) ) )
5251breq2d 4435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  ( ( F  oF  +  G
) `  x )  <->  y  <  ( ( F `
 x )  +  ( G `  x
) ) ) )
5320, 41, 523bitr4d 288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( r  <  ( F `  x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  y  <  ( ( F  oF  +  G ) `  x ) ) )
5423rexrd 9698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  r  e. 
RR* )
55 elioopnf 11736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  r  < 
( F `  x
) ) ) )
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  r  < 
( F `  x
) ) ) )
5733biantrurd 510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( r  <  ( F `  x )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  r  < 
( F `  x
) ) ) )
5856, 57bitr4d 259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  <->  r  <  ( F `  x )
) )
5921, 23resubcld 10055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( y  -  r )  e.  RR )
6059rexrd 9698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( y  -  r )  e. 
RR* )
61 elioopnf 11736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  -  r )  e.  RR*  ->  ( ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo )  <->  ( ( G `
 x )  e.  RR  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo )  <->  ( ( G `
 x )  e.  RR  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6324biantrurd 510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( y  -  r )  <  ( G `  x )  <->  ( ( G `  x )  e.  RR  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6462, 63bitr4d 259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo )  <->  ( y  -  r )  <  ( G `  x )
) )
6558, 64anbi12d 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( ( F `  x
)  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) )  <->  ( r  <  ( F `  x
)  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6665rexbidva 2933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) )  <->  E. r  e.  QQ  ( r  <  ( F `  x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) ) ) )
6715rexrd 9698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
68 elioopnf 11736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( ( F  oF  +  G ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( ( F  oF  +  G ) `  x )  e.  RR  /\  y  <  ( ( F  oF  +  G ) `  x
) ) ) )
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( F  oF  +  G ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( ( F  oF  +  G ) `  x )  e.  RR  /\  y  <  ( ( F  oF  +  G ) `  x
) ) ) )
7012adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F  oF  +  G
) : A --> RR )
7170ffvelrnda 6038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F  oF  +  G ) `  x )  e.  RR )
7271biantrurd 510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  ( ( F  oF  +  G
) `  x )  <->  ( ( ( F  oF  +  G ) `  x )  e.  RR  /\  y  <  ( ( F  oF  +  G ) `  x
) ) ) )
7369, 72bitr4d 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( F  oF  +  G ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )  <->  y  <  ( ( F  oF  +  G
) `  x )
) )
7453, 66, 733bitr4d 288 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) )  <-> 
( ( F  oF  +  G ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )
) )
7574pm5.32da 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  A  /\  E. r  e.  QQ  (
( F `  x
)  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( F  oF  +  G ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )
) ) )
7614, 75syl5bb 260 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. r  e.  QQ  (
x  e.  A  /\  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( F  oF  +  G ) `  x
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
77 elpreima 6018 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x  e.  ( `' F " ( r (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( F `  x
)  e.  ( r (,) +oo ) ) ) )
7844, 77syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' F " ( r (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo ) ) ) )
79 elpreima 6018 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  Fn  A  ->  (
x  e.  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) ) )
8047, 79syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) ) )
8178, 80anbi12d 715 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  ( `' F " ( r (,) +oo ) )  /\  x  e.  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  ( ( x  e.  A  /\  ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo ) )  /\  (
x  e.  A  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) ) ) )
82 elin 3649 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  ( x  e.  ( `' F "
( r (,) +oo ) )  /\  x  e.  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) ) )
83 anandi 835 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  ( ( x  e.  A  /\  ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo ) )  /\  (
x  e.  A  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) ) )
8481, 82, 833bitr4g 291 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( F `  x
)  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) ) ) )
8584rexbidv 2936 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. r  e.  QQ  x  e.  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  E. r  e.  QQ  ( x  e.  A  /\  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) ) ) )
86 ffn 5746 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  oF  +  G ) : A --> RR  ->  ( F  oF  +  G )  Fn  A )
8712, 86syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G )  Fn  A )
8887adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F  oF  +  G
)  Fn  A )
89 elpreima 6018 . . . . . . 7  |-  ( ( F  oF  +  G )  Fn  A  ->  ( x  e.  ( `' ( F  oF  +  G ) " ( y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( F  oF  +  G ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )
) ) )
9088, 89syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' ( F  oF  +  G ) " (
y (,) +oo )
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( F  oF  +  G ) `  x
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
9176, 85, 903bitr4d 288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. r  e.  QQ  x  e.  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  x  e.  ( `' ( F  oF  +  G ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
9213, 91syl5bb 260 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  <->  x  e.  ( `' ( F  oF  +  G ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
9392eqrdv 2419 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  =  ( `' ( F  oF  +  G
) " ( y (,) +oo ) ) )
94 qnnen 14266 . . . . 5  |-  QQ  ~~  NN
95 endom 7607 . . . . 5  |-  ( QQ 
~~  NN  ->  QQ  ~<_  NN )
9694, 95ax-mp 5 . . . 4  |-  QQ  ~<_  NN
97 mbfima 22587 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( r (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
987, 3, 97syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( r (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
99 mbfadd.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
100 mbfima 22587 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e. MblFn  /\  G : A
--> RR )  ->  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
10199, 4, 100syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
102 inmbl 22494 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' F "
( r (,) +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
10398, 101, 102syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
104103ad2antrr 730 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  QQ )  ->  (
( `' F "
( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
105104ralrimiva 2836 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
106 iunmbl2 22509 . . . 4  |-  ( ( QQ  ~<_  NN  /\  A. r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )  ->  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
10796, 105, 106sylancr 667 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,) +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
10893, 107eqeltrrd 2508 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( F  oF  +  G ) "
( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
10912, 108ismbf3d 22609 1  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772    i^i cin 3435   U_ciun 4299   class class class wbr 4423   `'ccnv 4852   dom cdm 4853   "cima 4856    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6306    oFcof 6544    ~~ cen 7578    ~<_ cdom 7579   RRcr 9546    + caddc 9550   +oocpnf 9680   RR*cxr 9682    < clt 9683    - cmin 9868   NNcn 10617   QQcq 11272   (,)cioo 11643   volcvol 22414  MblFncmbf 22571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-inf2 8156  ax-cc 8873  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-pre-sup 9625
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-of 6546  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-2o 7195  df-oadd 7198  df-omul 7199  df-er 7375  df-map 7486  df-pm 7487  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-sup 7966  df-inf 7967  df-oi 8035  df-card 8382  df-acn 8385  df-cda 8606  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-div 10278  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-n0 10878  df-z 10946  df-uz 11168  df-q 11273  df-rp 11311  df-xadd 11418  df-ioo 11647  df-ioc 11648  df-ico 11649  df-icc 11650  df-fz 11793  df-fzo 11924  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13163  df-re 13164  df-im 13165  df-sqrt 13299  df-abs 13300  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-xmet 18963  df-met 18964  df-ovol 22415  df-vol 22417  df-mbf 22576
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