Theorem endom 7868

Description: Equinumerosity implies dominance. Theorem 15 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 28-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endom	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)

Proof of Theorem endom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enssdom 7866	. 2 ⊢ ≈ ⊆ ≼
2	1	ssbri 4627	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   class class class wbr 4583   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-rel 5045  df-f1o 5811  df-en 7842  df-dom 7843

This theorem is referenced by:  bren2  7872  domrefg  7876  endomtr  7900  domentr  7901  domunsncan  7945  sbthb  7966  sdomentr  7979  ensdomtr  7981  domtriord  7991  domunsn  7995  xpen  8008  unxpdom2  8053  sucxpdom  8054  wdomen1  8364  wdomen2  8365  fidomtri2  8703  prdom2  8712  acnen  8759  acnen2  8761  alephdom  8787  alephinit  8801  uncdadom  8876  pwcdadom  8921  fin1a2lem11  9115  hsmexlem1  9131  gchdomtri  9330  gchcdaidm  9369  gchxpidm  9370  gchpwdom  9371  gchhar  9380  gruina  9519  nnct  12642  odinf  17803  hauspwdom  21114  ufildom1  21540  iscmet3  22899  ovolctb2  23067  mbfaddlem  23233  heiborlem3  32782  zct  38254  qct  38519  caratheodory  39418