Theorem ftc1anclem3 32657

Description: Lemma for ftc1anc 32663- the absolute value of the sum of a simple function and i times another simple function is itself a simple function. (Contributed by Brendan Leahy, 27-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ftc1anclem3	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹 ∘𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ dom ∫1)

Proof of Theorem ftc1anclem3

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1ff 23249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2	1	ffvelrnda 6267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
3		i1ff 23249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
4	3	ffvelrnda 6267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
5		absreim 13881	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))) = (√‘(((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2))))
6	2, 4, 5	syl2an 493	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))) = (√‘(((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2))))
7	6	anandirs 870	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))) = (√‘(((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2))))
8	2	recnd 9947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
9	8	sqvald 12867	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥)↑2) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)))
10	4	recnd 9947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
11	10	sqvald 12867	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑥)↑2) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
12	9, 11	oveqan12d 6568	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2)) = (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
13	12	anandirs 870	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2)) = (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
14	13	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (√‘(((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2))) = (√‘(((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
15	7, 14	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))) = (√‘(((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
16	15	mpteq2dva 4672	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (√‘(((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))))
17		ax-icn 9874	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
18		mulcl 9899	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ) → (i · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
19	17, 10, 18	sylancr 694	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (i · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
20		addcl 9897	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (i · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
21	8, 19, 20	syl2an 493	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
22	21	anandirs 870	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
23		reex 9906	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
25	2	adantlr 747	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
26		ovex 6577	. . . . . 6 ⊢ (i · (𝐺‘𝑥)) ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (i · (𝐺‘𝑥)) ∈ V)
28	1	feqmptd 6159	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
29	28	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
30	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
31	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
32		fconstmpt 5085	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ × {i}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ i)
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {i}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ i))
34	3	feqmptd 6159	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐺‘𝑥)))
35	30, 31, 4, 33, 34	offval2 6812	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (i · (𝐺‘𝑥))))
36	35	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (i · (𝐺‘𝑥))))
37	24, 25, 27, 29, 36	offval2 6812	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))))
38		absf 13925	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
39	38	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → abs:ℂ⟶ℝ)
40	39	feqmptd 6159	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → abs = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑦)))
41		fveq2 6103	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))) → (abs‘𝑦) = (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))))
42	22, 37, 40, 41	fmptco 6303	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹 ∘𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝐺))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))))))
43	8, 8	mulcld 9939	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
44	10, 10	mulcld 9939	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
45		addcl 9897	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
46	43, 44, 45	syl2an 493	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
47	46	anandirs 870	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
48	43	adantlr 747	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
49	44	adantll 746	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
50	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
51	50, 2, 2, 28, 28	offval2 6812	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
52	51	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
53	30, 4, 4, 34, 34	offval2 6812	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
54	53	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
55	24, 48, 49, 52, 54	offval2 6812	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
56		sqrtf 13951	. . . . . 6 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
57	56	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → √:ℂ⟶ℂ)
58	57	feqmptd 6159	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → √ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑦)))
59		fveq2 6103	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) → (√‘𝑦) = (√‘(((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
60	47, 55, 58, 59	fmptco 6303	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (√‘(((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))))
61	16, 42, 60	3eqtr4d 2654	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹 ∘𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝐺))) = (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))))
62		elrege0 12149	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
63		resqrtcl 13842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
64	62, 63	sylbi 206	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
65	64	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (0[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
66		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → √:ℂ⟶ℂ)
67	66	feqmptd 6159	. . . . . . . 8 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)))
68	56, 67	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥))
69	68	reseq1i 5313	. . . . . 6 ⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞))
70		rge0ssre 12151	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
71		ax-resscn 9872	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
72	70, 71	sstri 3577	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
73		resmpt 5369	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
75	69, 74	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
76	65, 75	fmptd 6292	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ↾ (0[,)+∞)):(0[,)+∞)⟶ℝ)
77		ge0addcl 12155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
78	77	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
79		oveq12 6558	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐹) → (𝑧 ∘𝑓 · 𝑧) = (𝐹 ∘𝑓 · 𝐹))
80	79	anidms 675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐹 → (𝑧 ∘𝑓 · 𝑧) = (𝐹 ∘𝑓 · 𝐹))
81	80	feq1d 5943	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐹 → ((𝑧 ∘𝑓 · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹 ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞)))
82		i1ff 23249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → 𝑧:ℝ⟶ℝ)
83	82	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧‘𝑥) ∈ ℝ)
84	83, 83	remulcld 9949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)) ∈ ℝ)
85	83	msqge0d 10475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)))
86		elrege0 12149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥))))
87	84, 85, 86	sylanbrc 695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)) ∈ (0[,)+∞))
88		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)))
89	87, 88	fmptd 6292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥))):ℝ⟶(0[,)+∞))
90	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
91	82	feqmptd 6159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → 𝑧 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑧‘𝑥)))
92	90, 83, 83, 91, 91	offval2 6812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → (𝑧 ∘𝑓 · 𝑧) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥))))
93	92	feq1d 5943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → ((𝑧 ∘𝑓 · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥))):ℝ⟶(0[,)+∞)))
94	89, 93	mpbird 246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → (𝑧 ∘𝑓 · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞))
95	81, 94	vtoclga 3245	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
96	95	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
97		oveq12 6558	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 𝐺 ∧ 𝑧 = 𝐺) → (𝑧 ∘𝑓 · 𝑧) = (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))
98	97	anidms 675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐺 → (𝑧 ∘𝑓 · 𝑧) = (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))
99	98	feq1d 5943	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐺 → ((𝑧 ∘𝑓 · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞)))
100	99, 94	vtoclga 3245	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞))
101	100	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞))
102		inidm 3784	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
103	78, 96, 101, 24, 24, 102	off 6810	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)):ℝ⟶(0[,)+∞))
104		fco2 5972	. . . 4 ⊢ (((√ ↾ (0[,)+∞)):(0[,)+∞)⟶ℝ ∧ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)):ℝ⟶(0[,)+∞)) → (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))):ℝ⟶ℝ)
105	76, 103, 104	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))):ℝ⟶ℝ)
106		rnco 5558	. . . 4 ⊢ ran (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) = ran (√ ↾ ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)))
107		ffn 5958	. . . . . . . 8 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → √ Fn ℂ)
108	56, 107	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ √ Fn ℂ
109		readdcl 9898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
110	109	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
111		remulcl 9900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
112	111	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
113	112, 1, 1, 50, 50, 102	off 6810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
114	113	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
115	111	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
116	115, 3, 3, 30, 30, 102	off 6810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺):ℝ⟶ℝ)
117	116	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺):ℝ⟶ℝ)
118	110, 114, 117, 24, 24, 102	off 6810	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)):ℝ⟶ℝ)
119		frn 5966	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)):ℝ⟶ℝ → ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ⊆ ℝ)
120	118, 119	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ⊆ ℝ)
121	120, 71	syl6ss 3580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ⊆ ℂ)
122		fnssres 5918	. . . . . . 7 ⊢ ((√ Fn ℂ ∧ ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ⊆ ℂ) → (√ ↾ ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) Fn ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)))
123	108, 121, 122	sylancr 694	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ↾ ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) Fn ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)))
124		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
125	124, 124	i1fmul 23269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∈ dom ∫1)
126	125	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∈ dom ∫1)
127		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
128	127, 127	i1fmul 23269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ dom ∫1)
129	128	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ dom ∫1)
130	126, 129	i1fadd 23268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ dom ∫1)
131		i1frn 23250	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ dom ∫1 → ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ Fin)
132	130, 131	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ Fin)
133		fnfi 8123	. . . . . 6 ⊢ (((√ ↾ ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) Fn ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ∧ ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ Fin) → (√ ↾ ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ Fin)
134	123, 132, 133	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ↾ ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ Fin)
135		rnfi 8132	. . . . 5 ⊢ ((√ ↾ ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ Fin → ran (√ ↾ ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ Fin)
136	134, 135	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ran (√ ↾ ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ Fin)
137	106, 136	syl5eqel 2692	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ran (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ Fin)
138		cnvco 5230	. . . . . . 7 ⊢ ◡(√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) = (◡((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘ ◡√)
139	138	imaeq1i 5382	. . . . . 6 ⊢ (◡(√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) “ {𝑥}) = ((◡((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘ ◡√) “ {𝑥})
140		imaco 5557	. . . . . 6 ⊢ ((◡((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘ ◡√) “ {𝑥}) = (◡((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥}))
141	139, 140	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ (◡(√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) “ {𝑥}) = (◡((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥}))
142		i1fima 23251	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ dom ∫1 → (◡((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥})) ∈ dom vol)
143	130, 142	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (◡((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥})) ∈ dom vol)
144	141, 143	syl5eqel 2692	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (◡(√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) “ {𝑥}) ∈ dom vol)
145	144	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∖ {0})) → (◡(√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) “ {𝑥}) ∈ dom vol)
146	141	fveq2i 6106	. . . 4 ⊢ (vol‘(◡(√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) “ {𝑥})) = (vol‘(◡((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥})))
147		eldifsni 4261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
148		c0ex 9913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
149	148	elsn 4140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ {𝑥} ↔ 0 = 𝑥)
150		eqcom 2617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 0)
151	149, 150	bitri 263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ {𝑥} ↔ 𝑥 = 0)
152	151	necon3bbii 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 0 ∈ {𝑥} ↔ 𝑥 ≠ 0)
153		sqrt0 13830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘0) = 0
154	153	eleq1i 2679	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘0) ∈ {𝑥} ↔ 0 ∈ {𝑥})
155	152, 154	xchnxbir 322	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (√‘0) ∈ {𝑥} ↔ 𝑥 ≠ 0)
156	147, 155	sylibr 223	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∖ {0}) → ¬ (√‘0) ∈ {𝑥})
157	156	olcd 407	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∖ {0}) → (¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ (√‘0) ∈ {𝑥}))
158		ianor 508	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (0 ∈ ℂ ∧ (√‘0) ∈ {𝑥}) ↔ (¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ (√‘0) ∈ {𝑥}))
159		elpreima 6245	. . . . . . . 8 ⊢ (√ Fn ℂ → (0 ∈ (◡√ “ {𝑥}) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ (√‘0) ∈ {𝑥})))
160	56, 107, 159	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (◡√ “ {𝑥}) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ (√‘0) ∈ {𝑥}))
161	158, 160	xchnxbir 322	. . . . . 6 ⊢ (¬ 0 ∈ (◡√ “ {𝑥}) ↔ (¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ (√‘0) ∈ {𝑥}))
162	157, 161	sylibr 223	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∖ {0}) → ¬ 0 ∈ (◡√ “ {𝑥}))
163		i1fima2 23252	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ (◡√ “ {𝑥})) → (vol‘(◡((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
164	130, 162, 163	syl2an 493	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∖ {0})) → (vol‘(◡((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
165	146, 164	syl5eqel 2692	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∖ {0})) → (vol‘(◡(√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) “ {𝑥})) ∈ ℝ)
166	105, 137, 145, 165	i1fd 23254	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ dom ∫1)
167	61, 166	eqeltrd 2688	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹 ∘𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ dom ∫1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ^◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039   ↾ cres 5040   “ cima 5041   ∘ ccom 5042   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950   ≤ cle 9954  2c2 10947  [,)cico 12048  ↑cexp 12722  √csqrt 13821  abscabs 13822  volcvol 23039  ∫₁citg1 23190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-xmet 19560  df-met 19561  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195

This theorem is referenced by:  ftc1anclem7  32661  ftc1anclem8  32662