Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmulc2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmulc2lem 23220
 Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2re.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfmulc2re.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
mbfmulc2lem.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2lem (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmulc2lem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remulcl 9900 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
21adantl 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3 mbfmulc2re.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 fconst6g 6007 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℝ)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℝ)
6 mbfmulc2lem.3 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
7 fdm 5964 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
9 mbfmulc2re.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
10 mbfdm 23201 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
128, 11eqeltrrd 2689 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
13 inidm 3784 . . . . 5 (𝐴𝐴) = 𝐴
142, 5, 6, 12, 12, 13off 6810 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹):𝐴⟶ℝ)
1514adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 < 0) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹):𝐴⟶ℝ)
1612adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ dom vol)
17 simprl 790 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
1817rexrd 9968 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
19 elioopnf 12138 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ* → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧))))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧))))
2114ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ)
2221ad2ant2rl 781 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ)
2322biantrurd 528 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧))))
246ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
2524ad2ant2rl 781 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
2625biantrurd 528 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝐹𝑧) < (𝑦 / 𝐵) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < (𝑦 / 𝐵))))
27 simprr 792 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝑧𝐴)
2812ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝐴 ∈ dom vol)
293ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
306ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
31 ffn 5958 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐴)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝐹 Fn 𝐴)
33 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
3428, 29, 32, 33ofc1 6818 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) = (𝐵 · (𝐹𝑧)))
3527, 34mpdan 699 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) = (𝐵 · (𝐹𝑧)))
3635breq2d 4595 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹𝑧))))
3717renegcld 10336 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → -𝑦 ∈ ℝ)
3829renegcld 10336 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → -𝐵 ∈ ℝ)
39 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝐵 < 0)
4029lt0neg1d 10476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
4139, 40mpbid 221 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 0 < -𝐵)
42 ltmuldiv2 10776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐵)) → ((-𝐵 · (𝐹𝑧)) < -𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (-𝑦 / -𝐵)))
4325, 37, 38, 41, 42syl112anc 1322 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((-𝐵 · (𝐹𝑧)) < -𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (-𝑦 / -𝐵)))
4429recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4525recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
4644, 45mulneg1d 10362 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (-𝐵 · (𝐹𝑧)) = -(𝐵 · (𝐹𝑧)))
4746breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((-𝐵 · (𝐹𝑧)) < -𝑦 ↔ -(𝐵 · (𝐹𝑧)) < -𝑦))
4835, 22eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝐵 · (𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
4917, 48ltnegd 10484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 < (𝐵 · (𝐹𝑧)) ↔ -(𝐵 · (𝐹𝑧)) < -𝑦))
5047, 49bitr4d 270 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((-𝐵 · (𝐹𝑧)) < -𝑦𝑦 < (𝐵 · (𝐹𝑧))))
5143, 50bitr3d 269 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝐹𝑧) < (-𝑦 / -𝐵) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹𝑧))))
5217recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝑦 ∈ ℂ)
5339lt0ne0d 10472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝐵 ≠ 0)
5452, 44, 53div2negd 10695 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (-𝑦 / -𝐵) = (𝑦 / 𝐵))
5554breq2d 4595 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝐹𝑧) < (-𝑦 / -𝐵) ↔ (𝐹𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))
5636, 51, 553bitr2d 295 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ↔ (𝐹𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))
5717, 29, 53redivcld 10732 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ)
5857rexrd 9968 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ*)
59 elioomnf 12139 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < (𝑦 / 𝐵))))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < (𝑦 / 𝐵))))
6126, 56, 603bitr4d 299 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
6220, 23, 613bitr2d 295 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
6362anassrs 678 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
6463pm5.32da 671 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
65 ffn 5958 . . . . . . . . 9 (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹):𝐴⟶ℝ → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) Fn 𝐴)
6614, 65syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) Fn 𝐴)
6766ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) Fn 𝐴)
68 elpreima 6245 . . . . . . 7 (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
6967, 68syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
706, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
7170ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn 𝐴)
72 elpreima 6245 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
7371, 72syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
7464, 69, 733bitr4d 299 . . . . 5 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
7574eqrdv 2608 . . . 4 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) = (𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
76 mbfima 23205 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ∈ dom vol)
779, 6, 76syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ∈ dom vol)
7877ad2antrr 758 . . . 4 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ∈ dom vol)
7975, 78eqeltrd 2688 . . 3 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
80 elioomnf 12139 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ* → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦)))
8118, 80syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦)))
8222biantrurd 528 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦)))
8325biantrurd 528 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧))))
8435breq1d 4593 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝐵 · (𝐹𝑧)) < 𝑦))
8546breq2d 4595 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (-𝑦 < (-𝐵 · (𝐹𝑧)) ↔ -𝑦 < -(𝐵 · (𝐹𝑧))))
8654breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((-𝑦 / -𝐵) < (𝐹𝑧) ↔ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧)))
87 ltdivmul 10777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐵)) → ((-𝑦 / -𝐵) < (𝐹𝑧) ↔ -𝑦 < (-𝐵 · (𝐹𝑧))))
8837, 25, 38, 41, 87syl112anc 1322 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((-𝑦 / -𝐵) < (𝐹𝑧) ↔ -𝑦 < (-𝐵 · (𝐹𝑧))))
8986, 88bitr3d 269 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧) ↔ -𝑦 < (-𝐵 · (𝐹𝑧))))
9048, 17ltnegd 10484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝐵 · (𝐹𝑧)) < 𝑦 ↔ -𝑦 < -(𝐵 · (𝐹𝑧))))
9185, 89, 903bitr4d 299 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧) ↔ (𝐵 · (𝐹𝑧)) < 𝑦))
9284, 91bitr4d 270 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧)))
93 elioopnf 12138 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧))))
9458, 93syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧))))
9583, 92, 943bitr4d 299 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
9681, 82, 953bitr2d 295 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
9796anassrs 678 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
9897pm5.32da 671 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
99 elpreima 6245 . . . . . . 7 (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
10067, 99syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
101 elpreima 6245 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
10271, 101syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
10398, 100, 1023bitr4d 299 . . . . 5 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
104103eqrdv 2608 . . . 4 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) = (𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
105 mbfima 23205 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ∈ dom vol)
1069, 6, 105syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ∈ dom vol)
107106ad2antrr 758 . . . 4 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ∈ dom vol)
108104, 107eqeltrd 2688 . . 3 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
10915, 16, 79, 108ismbf2d 23214 . 2 ((𝜑𝐵 < 0) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ MblFn)
11012adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐵 = 0) → 𝐴 ∈ dom vol)
1116adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐵 = 0) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
112 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
113 0cn 9911 . . . . 5 0 ∈ ℂ
114112, 113syl6eqel 2696 . . . 4 ((𝜑𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
115 0cnd 9912 . . . 4 ((𝜑𝐵 = 0) → 0 ∈ ℂ)
116 simplr 788 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 = 0)
117116oveq1d 6564 . . . . 5 (((𝜑𝐵 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
118 mul02lem2 10092 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
119118adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝐵 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
120117, 119eqtrd 2644 . . . 4 (((𝜑𝐵 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑥) = 0)
121110, 111, 114, 115, 120caofid2 6826 . . 3 ((𝜑𝐵 = 0) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝐴 × {0}))
122 mbfconst 23208 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
123110, 113, 122sylancl 693 . . 3 ((𝜑𝐵 = 0) → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
124121, 123eqeltrd 2688 . 2 ((𝜑𝐵 = 0) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ MblFn)
12514adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹):𝐴⟶ℝ)
12612adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ dom vol)
127 simprl 790 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
128127rexrd 9968 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
129128, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧))))
13021ad2ant2rl 781 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ)
131130biantrurd 528 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧))))
13224ad2ant2rl 781 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
133132biantrurd 528 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧))))
134 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
13512, 3, 70, 134ofc1 6818 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) = (𝐵 · (𝐹𝑧)))
136135ad2ant2rl 781 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) = (𝐵 · (𝐹𝑧)))
137136breq2d 4595 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹𝑧))))
1383ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
139 simplr 788 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 0 < 𝐵)
140 ltdivmul 10777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹𝑧))))
141127, 132, 138, 139, 140syl112anc 1322 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹𝑧))))
142137, 141bitr4d 270 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ↔ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧)))
143138, 139elrpd 11745 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
144127, 143rerpdivcld 11779 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ)
145144rexrd 9968 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ*)
146145, 93syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧))))
147133, 142, 1463bitr4d 299 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ↔ (𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
148129, 131, 1473bitr2d 295 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
149148anassrs 678 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
150149pm5.32da 671 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
15166ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) Fn 𝐴)
152151, 68syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
15370ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn 𝐴)
154153, 101syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
155150, 152, 1543bitr4d 299 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
156155eqrdv 2608 . . . 4 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) = (𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
157106ad2antrr 758 . . . 4 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ∈ dom vol)
158156, 157eqeltrd 2688 . . 3 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
159128, 80syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦)))
160130biantrurd 528 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦)))
161 ltmuldiv2 10776 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐵 · (𝐹𝑧)) < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))
162132, 127, 138, 139, 161syl112anc 1322 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝐵 · (𝐹𝑧)) < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))
163136breq1d 4593 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝐵 · (𝐹𝑧)) < 𝑦))
164145, 59syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < (𝑦 / 𝐵))))
165132biantrurd 528 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝐹𝑧) < (𝑦 / 𝐵) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < (𝑦 / 𝐵))))
166164, 165bitr4d 270 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)) ↔ (𝐹𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))
167162, 163, 1663bitr4d 299 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
168159, 160, 1673bitr2d 295 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
169168anassrs 678 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
170169pm5.32da 671 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
171151, 99syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
172153, 72syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
173170, 171, 1723bitr4d 299 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
174173eqrdv 2608 . . . 4 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) = (𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
17577ad2antrr 758 . . . 4 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ∈ dom vol)
176174, 175eqeltrd 2688 . . 3 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
177125, 126, 158, 176ismbf2d 23214 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ MblFn)
178 0re 9919 . . 3 0 ∈ ℝ
179 lttri4 10001 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐵 < 0 ∨ 𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵))
1803, 178, 179sylancl 693 . 2 (𝜑 → (𝐵 < 0 ∨ 𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵))
181109, 124, 177, 180mpjao3dan 1387 1 (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {csn 4125   class class class wbr 4583   × cxp 5036  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038   “ cima 5041   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ*cxr 9952   < clt 9953  -cneg 10146   / cdiv 10563  (,)cioo 12046  volcvol 23039  MblFncmbf 23189 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-xmet 19560  df-met 19561  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194 This theorem is referenced by:  mbfmulc2re  23221
 Copyright terms: Public domain W3C validator