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Theorem mbfmulc2lem 21922
Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2re.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfmulc2re.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
mbfmulc2lem.3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2lem  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  e. MblFn )

Proof of Theorem mbfmulc2lem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2re.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2 0re 9608 . . 3  |-  0  e.  RR
3 lttri4 9681 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( B  <  0  \/  B  =  0  \/  0  <  B ) )
41, 2, 3sylancl 662 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  <  0  \/  B  =  0  \/  0  <  B ) )
5 remulcl 9589 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  x.  y
)  e.  RR )
65adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  RR )
7 fconst6g 5780 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  X.  { B }
) : A --> RR )
81, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { B } ) : A --> RR )
9 mbfmulc2lem.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
10 fdm 5741 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> RR  ->  dom 
F  =  A )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
12 mbfmulc2re.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
13 mbfdm 21903 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1511, 14eqeltrrd 2556 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
16 inidm 3712 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  A )  =  A
176, 8, 9, 15, 15, 16off 6549 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) : A --> RR )
1817adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <  0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) : A --> RR )
1915adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <  0 )  ->  A  e.  dom  vol )
20 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR )
2120rexrd 9655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR* )
22 elioopnf 11630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z ) ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z ) ) ) )
2417ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  RR )
2524ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR )
2625biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z ) ) ) )
279ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
2827ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  RR )
2928biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( y  /  B
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
30 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  z  e.  A )
3115ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  A  e.  dom  vol )
321ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  RR )
339ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  F : A
--> RR )
34 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A --> RR  ->  F  Fn  A )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  F  Fn  A )
36 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  A ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
3731, 32, 35, 36ofc1 6558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  A ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  =  ( B  x.  ( F `  z )
) )
3830, 37mpdan 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  =  ( B  x.  ( F `
 z ) ) )
3938breq2d 4465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <->  y  <  ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
4020renegcld 9998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  -u y  e.  RR )
4132renegcld 9998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  -u B  e.  RR )
42 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  <  0 )
4332lt0neg1d 10134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( B  <  0  <->  0  <  -u B
) )
4442, 43mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  0  <  -u B )
45 ltmuldiv2 10428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\  -u y  e.  RR  /\  ( -u B  e.  RR  /\  0  <  -u B
) )  ->  (
( -u B  x.  ( F `  z )
)  <  -u y  <->  ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B
) ) )
4628, 40, 41, 44, 45syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u B  x.  ( F `
 z ) )  <  -u y  <->  ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B
) ) )
4732recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  CC )
4828recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  CC )
4947, 48mulneg1d 10021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( -u B  x.  ( F `  z
) )  =  -u ( B  x.  ( F `  z )
) )
5049breq1d 4463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u B  x.  ( F `
 z ) )  <  -u y  <->  -u ( B  x.  ( F `  z ) )  <  -u y ) )
5138, 25eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( B  x.  ( F `  z
) )  e.  RR )
5220, 51ltnegd 10142 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( B  x.  ( F `  z )
)  <->  -u ( B  x.  ( F `  z ) )  <  -u y
) )
5350, 52bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u B  x.  ( F `
 z ) )  <  -u y  <->  y  <  ( B  x.  ( F `
 z ) ) ) )
5446, 53bitr3d 255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B )  <->  y  <  ( B  x.  ( F `
 z ) ) ) )
5520recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  CC )
5642lt0ne0d 10130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  =/=  0 )
5755, 47, 56div2negd 10347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( -u y  /  -u B )  =  ( y  /  B
) )
5857breq2d 4465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B )  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
5939, 54, 583bitr2d 281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
6020, 32, 56redivcld 10384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR )
6160rexrd 9655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR* )
62 elioomnf 11631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  /  B )  e.  RR*  ->  ( ( F `  z )  e.  ( -oo (,) ( y  /  B
) )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( -oo (,) (
y  /  B ) )  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
6429, 59, 633bitr4d 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <->  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
6523, 26, 643bitr2d 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  ( -oo (,) ( y  /  B
) ) ) )
6665anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  ( -oo (,) ( y  /  B
) ) ) )
6766pm5.32da 641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( F `  z
)  e.  ( -oo (,) ( y  /  B
) ) ) ) )
68 ffn 5737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) : A --> RR  ->  (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  Fn  A )
6917, 68syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  Fn  A )
7069ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  Fn  A )
71 elpreima 6008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  Fn  A  ->  ( z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) "
( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
7270, 71syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )
" ( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
739, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
7473ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  F  Fn  A )
75 elpreima 6008 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
7674, 75syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
7767, 72, 763bitr4d 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )
" ( y (,) +oo ) )  <->  z  e.  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) ) ) )
7877eqrdv 2464 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) " (
y (,) +oo )
)  =  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) ) )
79 mbfima 21907 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) )  e. 
dom  vol )
8012, 9, 79syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( -oo (,) ( y  /  B ) ) )  e.  dom  vol )
8180ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) )  e. 
dom  vol )
8278, 81eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) " (
y (,) +oo )
)  e.  dom  vol )
83 elioomnf 11631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
8421, 83syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
8525biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
8628biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B )  < 
( F `  z
) ) ) )
8738breq1d 4463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( B  x.  ( F `  z ) )  <  y ) )
8849breq2d 4465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( -u y  <  ( -u B  x.  ( F `  z ) )  <->  -u y  <  -u ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
8957breq1d 4463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u y  /  -u B
)  <  ( F `  z )  <->  ( y  /  B )  <  ( F `  z )
) )
90 ltdivmul 10429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u y  e.  RR  /\  ( F `  z
)  e.  RR  /\  ( -u B  e.  RR  /\  0  <  -u B
) )  ->  (
( -u y  /  -u B
)  <  ( F `  z )  <->  -u y  < 
( -u B  x.  ( F `  z )
) ) )
9140, 28, 41, 44, 90syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u y  /  -u B
)  <  ( F `  z )  <->  -u y  < 
( -u B  x.  ( F `  z )
) ) )
9289, 91bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  -u y  < 
( -u B  x.  ( F `  z )
) ) )
9351, 20ltnegd 10142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( B  x.  ( F `  z ) )  < 
y  <->  -u y  <  -u ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
9488, 92, 933bitr4d 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  ( B  x.  ( F `  z
) )  <  y
) )
9587, 94bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( y  /  B )  <  ( F `  z )
) )
96 elioopnf 11630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  /  B )  e.  RR*  ->  ( ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo )  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( y  /  B )  < 
( F `  z
) ) ) )
9761, 96syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) 
<->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B
)  <  ( F `  z ) ) ) )
9886, 95, 973bitr4d 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,) +oo )
) )
9984, 85, 983bitr2d 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,) +oo )
) )
10099anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,) +oo )
) )
101100pm5.32da 641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  e.  ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) ) )
102 elpreima 6008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  Fn  A  ->  ( z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) "
( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
10370, 102syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )
" ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
104 elpreima 6008 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) ) )
10574, 104syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) ) )
106101, 103, 1053bitr4d 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )
" ( -oo (,) y ) )  <->  z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) ) )
107106eqrdv 2464 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) " ( -oo (,) y ) )  =  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) )
108 mbfima 21907 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
10912, 9, 108syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( y  /  B ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
110109ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
111107, 110eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) " ( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
11218, 19, 82, 111ismbf2d 21916 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <  0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  e. MblFn
)
11315adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  A  e.  dom  vol )
1149adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  F : A --> RR )
115 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  B  =  0 )
116 0cn 9600 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
117115, 116syl6eqel 2563 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  B  e.  CC )
118 0cnd 9601 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  0  e.  CC )
119 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  B  =  0 )
120119oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  x.  x
)  =  ( 0  x.  x ) )
121 mul02lem2 9768 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  x.  x )  =  0 )
122121adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  x.  x
)  =  0 )
123120, 122eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  x.  x
)  =  0 )
124113, 114, 117, 118, 123caofid2 6566 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  =  ( A  X.  {
0 } ) )
125 mbfconst 21910 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  0  e.  CC )  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
126113, 116, 125sylancl 662 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
127124, 126eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  e. MblFn
)
12817adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  B )  ->  ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) : A --> RR )
12915adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  B )  ->  A  e.  dom  vol )
130 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR )
131130rexrd 9655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR* )
132131, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z ) ) ) )
13324ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR )
134133biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z ) ) ) )
13527ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  RR )
136135biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B )  < 
( F `  z
) ) ) )
137 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
13815, 1, 73, 137ofc1 6558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  =  ( B  x.  ( F `  z )
) )
139138ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  =  ( B  x.  ( F `
 z ) ) )
140139breq2d 4465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <->  y  <  ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
1411ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  RR )
142 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  0  <  B )
143 ltdivmul 10429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( ( y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  y  <  ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
144130, 135, 141, 142, 143syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  y  <  ( B  x.  ( F `
 z ) ) ) )
145140, 144bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <->  ( y  /  B )  <  ( F `  z )
) )
146141, 142elrpd 11266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  RR+ )
147130, 146rerpdivcld 11295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR )
148147rexrd 9655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR* )
149148, 96syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) 
<->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B
)  <  ( F `  z ) ) ) )
150136, 145, 1493bitr4d 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,) +oo )
) )
151132, 134, 1503bitr2d 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) )
152151anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) )
153152pm5.32da 641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) ) )
15469ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  Fn  A )
155154, 71syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )
" ( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
15673ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  F  Fn  A )
157156, 104syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) ) )
158153, 155, 1573bitr4d 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )
" ( y (,) +oo ) )  <->  z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) ) )
159158eqrdv 2464 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) " (
y (,) +oo )
)  =  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) )
160109ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
161159, 160eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) " (
y (,) +oo )
)  e.  dom  vol )
162131, 83syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
163133biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
164 ltmuldiv2 10428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( ( B  x.  ( F `  z ) )  <  y  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
165135, 130, 141, 142, 164syl112anc 1232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( B  x.  ( F `  z ) )  < 
y  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
166139breq1d 4463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( B  x.  ( F `  z ) )  <  y ) )
167148, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( -oo (,) (
y  /  B ) )  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
168135biantrurd 508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( y  /  B
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
169167, 168bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( -oo (,) (
y  /  B ) )  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
170165, 166, 1693bitr4d 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
171162, 163, 1703bitr2d 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
172171anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
173172pm5.32da 641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  e.  ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
174154, 102syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )
" ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
175156, 75syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
176173, 174, 1753bitr4d 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )
" ( -oo (,) y ) )  <->  z  e.  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) ) ) )
177176eqrdv 2464 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) " ( -oo (,) y ) )  =  ( `' F " ( -oo (,) (
y  /  B ) ) ) )
17880ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) )  e. 
dom  vol )
179177, 178eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) " ( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
180128, 129, 161, 179ismbf2d 21916 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  B )  ->  ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F )  e. MblFn )
181112, 127, 1803jaodan 1294 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( B  <  0  \/  B  =  0  \/  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  e. MblFn )
1824, 181mpdan 668 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 972    = wceq 1379    e. wcel 1767   {csn 4033   class class class wbr 4453    X. cxp 5003   `'ccnv 5004   dom cdm 5005   "cima 5008    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    oFcof 6533   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504    x. cmul 9509   +oocpnf 9637   -oocmnf 9638   RR*cxr 9639    < clt 9640   -ucneg 9818    / cdiv 10218   (,)cioo 11541   volcvol 21743  MblFncmbf 21891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xadd 11331  df-ioo 11545  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-sum 13489  df-xmet 18282  df-met 18283  df-ovol 21744  df-vol 21745  df-mbf 21896
This theorem is referenced by:  mbfmulc2re  21923
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