MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmulc2lem Unicode version

Theorem mbfmulc2lem 19492
Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2re.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfmulc2re.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
mbfmulc2lem.3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2lem  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  e. MblFn )

Proof of Theorem mbfmulc2lem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2re.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2 0re 9047 . . 3  |-  0  e.  RR
3 lttri4 9115 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( B  <  0  \/  B  =  0  \/  0  <  B ) )
41, 2, 3sylancl 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  <  0  \/  B  =  0  \/  0  <  B ) )
5 remulcl 9031 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  x.  y
)  e.  RR )
65adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  RR )
7 fconst6g 5591 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  X.  { B }
) : A --> RR )
81, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { B } ) : A --> RR )
9 mbfmulc2lem.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
10 fdm 5554 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> RR  ->  dom 
F  =  A )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
12 mbfmulc2re.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
13 mbfdm 19473 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1511, 14eqeltrrd 2479 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
16 inidm 3510 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  A )  =  A
176, 8, 9, 15, 15, 16off 6279 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) : A --> RR )
1817adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <  0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) : A --> RR )
1915adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <  0 )  ->  A  e.  dom  vol )
20 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR )
2120rexrd 9090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR* )
22 elioopnf 10954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z ) ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z ) ) ) )
2417ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  RR )
2524ad2ant2rl 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR )
2625biantrurd 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z ) ) ) )
279ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
2827ad2ant2rl 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  RR )
2928biantrurd 495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( y  /  B
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
30 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  z  e.  A )
3115ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  A  e.  dom  vol )
321ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  RR )
339ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  F : A
--> RR )
34 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A --> RR  ->  F  Fn  A )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  F  Fn  A )
36 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  A ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
3731, 32, 35, 36ofc1 6286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  A ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  =  ( B  x.  ( F `  z )
) )
3830, 37mpdan 650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  =  ( B  x.  ( F `
 z ) ) )
3938breq2d 4184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  y  <  ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
4020renegcld 9420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  -u y  e.  RR )
4132renegcld 9420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  -u B  e.  RR )
42 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  <  0 )
4332lt0neg1d 9552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( B  <  0  <->  0  <  -u B
) )
4442, 43mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  0  <  -u B )
45 ltmuldiv2 9837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\  -u y  e.  RR  /\  ( -u B  e.  RR  /\  0  <  -u B
) )  ->  (
( -u B  x.  ( F `  z )
)  <  -u y  <->  ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B
) ) )
4628, 40, 41, 44, 45syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u B  x.  ( F `
 z ) )  <  -u y  <->  ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B
) ) )
4732recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  CC )
4828recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  CC )
4947, 48mulneg1d 9442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( -u B  x.  ( F `  z
) )  =  -u ( B  x.  ( F `  z )
) )
5049breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u B  x.  ( F `
 z ) )  <  -u y  <->  -u ( B  x.  ( F `  z ) )  <  -u y ) )
5138, 25eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( B  x.  ( F `  z
) )  e.  RR )
5220, 51ltnegd 9560 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( B  x.  ( F `  z )
)  <->  -u ( B  x.  ( F `  z ) )  <  -u y
) )
5350, 52bitr4d 248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u B  x.  ( F `
 z ) )  <  -u y  <->  y  <  ( B  x.  ( F `
 z ) ) ) )
5446, 53bitr3d 247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B )  <->  y  <  ( B  x.  ( F `
 z ) ) ) )
5520recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  CC )
5642lt0ne0d 9548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  =/=  0 )
5755, 47, 56div2negd 9761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( -u y  /  -u B )  =  ( y  /  B
) )
5857breq2d 4184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B )  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
5939, 54, 583bitr2d 273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
6020, 32, 56redivcld 9798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR )
6160rexrd 9090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR* )
62 elioomnf 10955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  /  B )  e.  RR*  ->  ( ( F `  z )  e.  (  -oo (,) ( y  /  B
) )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) )  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
6429, 59, 633bitr4d 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  ( F `  z )  e.  ( 
-oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
6523, 26, 643bitr2d 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  (  -oo (,) ( y  /  B
) ) ) )
6665anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  (  -oo (,) ( y  /  B
) ) ) )
6766pm5.32da 623 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  e.  ( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
68 ffn 5550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) : A --> RR  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  Fn  A )
6917, 68syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  Fn  A )
7069ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  Fn  A )
71 elpreima 5809 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  Fn  A  ->  ( z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) "
( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) )
7270, 71syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" ( y (,) 
+oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) )
739, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
7473ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  F  Fn  A )
75 elpreima 5809 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
7674, 75syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
7767, 72, 763bitr4d 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" ( y (,) 
+oo ) )  <->  z  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) ) ) )
7877eqrdv 2402 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (
y (,)  +oo ) )  =  ( `' F " (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) )
79 mbfima 19477 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) )  e. 
dom  vol )
8012, 9, 79syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F "
(  -oo (,) ( y  /  B ) ) )  e.  dom  vol )
8180ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) )  e. 
dom  vol )
8278, 81eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (
y (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
83 elioomnf 10955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
8421, 83syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
8525biantrurd 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
8628biantrurd 495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B )  < 
( F `  z
) ) ) )
8738breq1d 4182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( B  x.  ( F `  z ) )  <  y ) )
8849breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( -u y  <  ( -u B  x.  ( F `  z ) )  <->  -u y  <  -u ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
8957breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u y  /  -u B
)  <  ( F `  z )  <->  ( y  /  B )  <  ( F `  z )
) )
90 ltdivmul 9838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u y  e.  RR  /\  ( F `  z
)  e.  RR  /\  ( -u B  e.  RR  /\  0  <  -u B
) )  ->  (
( -u y  /  -u B
)  <  ( F `  z )  <->  -u y  < 
( -u B  x.  ( F `  z )
) ) )
9140, 28, 41, 44, 90syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u y  /  -u B
)  <  ( F `  z )  <->  -u y  < 
( -u B  x.  ( F `  z )
) ) )
9289, 91bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  -u y  < 
( -u B  x.  ( F `  z )
) ) )
9351, 20ltnegd 9560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( B  x.  ( F `  z ) )  < 
y  <->  -u y  <  -u ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
9488, 92, 933bitr4d 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  ( B  x.  ( F `  z
) )  <  y
) )
9587, 94bitr4d 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( y  /  B )  <  ( F `  z )
) )
96 elioopnf 10954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  /  B )  e.  RR*  ->  ( ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,) 
+oo )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B )  < 
( F `  z
) ) ) )
9761, 96syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) 
<->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B
)  <  ( F `  z ) ) ) )
9886, 95, 973bitr4d 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,)  +oo ) ) )
9984, 85, 983bitr2d 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,)  +oo ) ) )
10099anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,)  +oo ) ) )
101100pm5.32da 623 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  e.  (  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
102 elpreima 5809 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  Fn  A  ->  ( z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) "
(  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  ( 
-oo (,) y ) ) ) )
10370, 102syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" (  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
) ) ) )
104 elpreima 5809 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
10574, 104syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
106101, 103, 1053bitr4d 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" (  -oo (,) y ) )  <->  z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
107106eqrdv 2402 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (  -oo (,) y ) )  =  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) )
108 mbfima 19477 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
10912, 9, 108syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
110109ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
111107, 110eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (  -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
11218, 19, 82, 111ismbf2d 19486 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <  0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  e. MblFn
)
11315adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  A  e.  dom  vol )
1149adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  F : A --> RR )
115 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  B  =  0 )
116 0cn 9040 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
117115, 116syl6eqel 2492 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  B  e.  CC )
118116a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  0  e.  CC )
119 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  B  =  0 )
120119oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  x.  x
)  =  ( 0  x.  x ) )
121 mul02lem2 9199 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  x.  x )  =  0 )
122121adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  x.  x
)  =  0 )
123120, 122eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  x.  x
)  =  0 )
124113, 114, 117, 118, 123caofid2 6294 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  =  ( A  X.  {
0 } ) )
125 mbfconst 19480 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  0  e.  CC )  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
126113, 116, 125sylancl 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
127124, 126eqeltrd 2478 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  e. MblFn
)
12817adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  B )  ->  ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) : A --> RR )
12915adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  B )  ->  A  e.  dom  vol )
130 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR )
131130rexrd 9090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR* )
132131, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z ) ) ) )
13324ad2ant2rl 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR )
134133biantrurd 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z ) ) ) )
13527ad2ant2rl 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  RR )
136135biantrurd 495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B )  < 
( F `  z
) ) ) )
137 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
13815, 1, 73, 137ofc1 6286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  =  ( B  x.  ( F `  z )
) )
139138ad2ant2rl 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  =  ( B  x.  ( F `
 z ) ) )
140139breq2d 4184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  y  <  ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
1411ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  RR )
142 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  0  <  B )
143 ltdivmul 9838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( ( y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  y  <  ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
144130, 135, 141, 142, 143syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  y  <  ( B  x.  ( F `
 z ) ) ) )
145140, 144bitr4d 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  ( y  /  B )  <  ( F `  z )
) )
146141, 142elrpd 10602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  RR+ )
147130, 146rerpdivcld 10631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR )
148147rexrd 9090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR* )
149148, 96syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) 
<->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B
)  <  ( F `  z ) ) ) )
150136, 145, 1493bitr4d 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,)  +oo ) ) )
151132, 134, 1503bitr2d 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) )
152151anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) )
153152pm5.32da 623 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  e.  ( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
15469ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  Fn  A )
155154, 71syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" ( y (,) 
+oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) )
15673ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  F  Fn  A )
157156, 104syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
158153, 155, 1573bitr4d 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" ( y (,) 
+oo ) )  <->  z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
159158eqrdv 2402 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (
y (,)  +oo ) )  =  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) )
160109ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
161159, 160eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (
y (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
162131, 83syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
163133biantrurd 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
164 ltmuldiv2 9837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( ( B  x.  ( F `  z ) )  <  y  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
165135, 130, 141, 142, 164syl112anc 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( B  x.  ( F `  z ) )  < 
y  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
166139breq1d 4182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( B  x.  ( F `  z ) )  <  y ) )
167148, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) )  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
168135biantrurd 495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( y  /  B
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
169167, 168bitr4d 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) )  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
170165, 166, 1693bitr4d 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( F `  z )  e.  ( 
-oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
171162, 163, 1703bitr2d 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( 
-oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
172171anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( 
-oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
173172pm5.32da 623 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  e.  (  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
174154, 102syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" (  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
) ) ) )
175156, 75syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
176173, 174, 1753bitr4d 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" (  -oo (,) y ) )  <->  z  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) ) ) )
177176eqrdv 2402 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (  -oo (,) y ) )  =  ( `' F " (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) )
17880ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) )  e. 
dom  vol )
179177, 178eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (  -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
180128, 129, 161, 179ismbf2d 19486 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  B )  ->  ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F )  e. MblFn )
181112, 127, 1803jaodan 1250 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( B  <  0  \/  B  =  0  \/  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  e. MblFn )
1824, 181mpdan 650 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    \/ w3o 935    = wceq 1649    e. wcel 1721   {csn 3774   class class class wbr 4172    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946    x. cmul 8951    +oocpnf 9073    -oocmnf 9074   RR*cxr 9075    < clt 9076   -ucneg 9248    / cdiv 9633   (,)cioo 10872   volcvol 19313  MblFncmbf 19459
This theorem is referenced by:  mbfmulc2re  19493
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xadd 10667  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-xmet 16650  df-met 16651  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465
  Copyright terms: Public domain W3C validator