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Theorem mbfmulc2lem 22179
Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2re.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfmulc2re.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
mbfmulc2lem.3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2lem  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  e. MblFn )

Proof of Theorem mbfmulc2lem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remulcl 9594 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  x.  y
)  e.  RR )
21adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  RR )
3 mbfmulc2re.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 fconst6g 5780 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  X.  { B }
) : A --> RR )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { B } ) : A --> RR )
6 mbfmulc2lem.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
7 fdm 5741 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> RR  ->  dom 
F  =  A )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
9 mbfmulc2re.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
10 mbfdm 22160 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
119, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  F  e.  dom  vol )
128, 11eqeltrrd 2546 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
13 inidm 3703 . . . . 5  |-  ( A  i^i  A )  =  A
142, 5, 6, 12, 12, 13off 6553 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) : A --> RR )
1514adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <  0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) : A --> RR )
1612adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <  0 )  ->  A  e.  dom  vol )
17 simprl 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR )
1817rexrd 9660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR* )
19 elioopnf 11643 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z ) ) ) )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z ) ) ) )
2114ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  RR )
2221ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR )
2322biantrurd 508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z ) ) ) )
246ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
2524ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  RR )
2625biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( y  /  B
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
27 simprr 757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  z  e.  A )
2812ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  A  e.  dom  vol )
293ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  RR )
306ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  F : A
--> RR )
31 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : A --> RR  ->  F  Fn  A )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  F  Fn  A )
33 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  A ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
3428, 29, 32, 33ofc1 6562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  A ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  =  ( B  x.  ( F `  z )
) )
3527, 34mpdan 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  =  ( B  x.  ( F `
 z ) ) )
3635breq2d 4468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <->  y  <  ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
3717renegcld 10007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  -u y  e.  RR )
3829renegcld 10007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  -u B  e.  RR )
39 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  <  0 )
4029lt0neg1d 10143 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( B  <  0  <->  0  <  -u B
) )
4139, 40mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  0  <  -u B )
42 ltmuldiv2 10437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\  -u y  e.  RR  /\  ( -u B  e.  RR  /\  0  <  -u B
) )  ->  (
( -u B  x.  ( F `  z )
)  <  -u y  <->  ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B
) ) )
4325, 37, 38, 41, 42syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u B  x.  ( F `
 z ) )  <  -u y  <->  ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B
) ) )
4429recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  CC )
4525recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  CC )
4644, 45mulneg1d 10030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( -u B  x.  ( F `  z
) )  =  -u ( B  x.  ( F `  z )
) )
4746breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u B  x.  ( F `
 z ) )  <  -u y  <->  -u ( B  x.  ( F `  z ) )  <  -u y ) )
4835, 22eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( B  x.  ( F `  z
) )  e.  RR )
4917, 48ltnegd 10151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( B  x.  ( F `  z )
)  <->  -u ( B  x.  ( F `  z ) )  <  -u y
) )
5047, 49bitr4d 256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u B  x.  ( F `
 z ) )  <  -u y  <->  y  <  ( B  x.  ( F `
 z ) ) ) )
5143, 50bitr3d 255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B )  <->  y  <  ( B  x.  ( F `
 z ) ) ) )
5217recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  CC )
5339lt0ne0d 10139 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  =/=  0 )
5452, 44, 53div2negd 10356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( -u y  /  -u B )  =  ( y  /  B
) )
5554breq2d 4468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B )  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
5636, 51, 553bitr2d 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
5717, 29, 53redivcld 10393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR )
5857rexrd 9660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR* )
59 elioomnf 11644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  /  B )  e.  RR*  ->  ( ( F `  z )  e.  ( -oo (,) ( y  /  B
) )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( -oo (,) (
y  /  B ) )  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
6126, 56, 603bitr4d 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <->  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
6220, 23, 613bitr2d 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  ( -oo (,) ( y  /  B
) ) ) )
6362anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  ( -oo (,) ( y  /  B
) ) ) )
6463pm5.32da 641 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( F `  z
)  e.  ( -oo (,) ( y  /  B
) ) ) ) )
65 ffn 5737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) : A --> RR  ->  (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  Fn  A )
6614, 65syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  Fn  A )
6766ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  Fn  A )
68 elpreima 6008 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  Fn  A  ->  ( z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) "
( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
6967, 68syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )
" ( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
706, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
7170ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  F  Fn  A )
72 elpreima 6008 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
7371, 72syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
7464, 69, 733bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )
" ( y (,) +oo ) )  <->  z  e.  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) ) ) )
7574eqrdv 2454 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) " (
y (,) +oo )
)  =  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) ) )
76 mbfima 22164 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) )  e. 
dom  vol )
779, 6, 76syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( -oo (,) ( y  /  B ) ) )  e.  dom  vol )
7877ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) )  e. 
dom  vol )
7975, 78eqeltrd 2545 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) " (
y (,) +oo )
)  e.  dom  vol )
80 elioomnf 11644 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
8118, 80syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
8222biantrurd 508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
8325biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B )  < 
( F `  z
) ) ) )
8435breq1d 4466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( B  x.  ( F `  z ) )  <  y ) )
8546breq2d 4468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( -u y  <  ( -u B  x.  ( F `  z ) )  <->  -u y  <  -u ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
8654breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u y  /  -u B
)  <  ( F `  z )  <->  ( y  /  B )  <  ( F `  z )
) )
87 ltdivmul 10438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u y  e.  RR  /\  ( F `  z
)  e.  RR  /\  ( -u B  e.  RR  /\  0  <  -u B
) )  ->  (
( -u y  /  -u B
)  <  ( F `  z )  <->  -u y  < 
( -u B  x.  ( F `  z )
) ) )
8837, 25, 38, 41, 87syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u y  /  -u B
)  <  ( F `  z )  <->  -u y  < 
( -u B  x.  ( F `  z )
) ) )
8986, 88bitr3d 255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  -u y  < 
( -u B  x.  ( F `  z )
) ) )
9048, 17ltnegd 10151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( B  x.  ( F `  z ) )  < 
y  <->  -u y  <  -u ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
9185, 89, 903bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  ( B  x.  ( F `  z
) )  <  y
) )
9284, 91bitr4d 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( y  /  B )  <  ( F `  z )
) )
93 elioopnf 11643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  /  B )  e.  RR*  ->  ( ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo )  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( y  /  B )  < 
( F `  z
) ) ) )
9458, 93syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) 
<->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B
)  <  ( F `  z ) ) ) )
9583, 92, 943bitr4d 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,) +oo )
) )
9681, 82, 953bitr2d 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,) +oo )
) )
9796anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,) +oo )
) )
9897pm5.32da 641 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  e.  ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) ) )
99 elpreima 6008 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  Fn  A  ->  ( z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) "
( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
10067, 99syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )
" ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
101 elpreima 6008 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) ) )
10271, 101syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) ) )
10398, 100, 1023bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )
" ( -oo (,) y ) )  <->  z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) ) )
104103eqrdv 2454 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) " ( -oo (,) y ) )  =  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) )
105 mbfima 22164 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
1069, 6, 105syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( y  /  B ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
107106ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
108104, 107eqeltrd 2545 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) " ( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
10915, 16, 79, 108ismbf2d 22173 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  <  0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  e. MblFn
)
11012adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  A  e.  dom  vol )
1116adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  F : A --> RR )
112 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  B  =  0 )
113 0cn 9605 . . . . 5  |-  0  e.  CC
114112, 113syl6eqel 2553 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  B  e.  CC )
115 0cnd 9606 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  0  e.  CC )
116 simplr 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  B  =  0 )
117116oveq1d 6311 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  x.  x
)  =  ( 0  x.  x ) )
118 mul02lem2 9774 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  x.  x )  =  0 )
119118adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  x.  x
)  =  0 )
120117, 119eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  x.  x
)  =  0 )
121110, 111, 114, 115, 120caofid2 6570 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  =  ( A  X.  {
0 } ) )
122 mbfconst 22167 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  0  e.  CC )  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
123110, 113, 122sylancl 662 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
124121, 123eqeltrd 2545 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  e. MblFn
)
12514adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  B )  ->  ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) : A --> RR )
12612adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  B )  ->  A  e.  dom  vol )
127 simprl 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR )
128127rexrd 9660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR* )
129128, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z ) ) ) )
13021ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR )
131130biantrurd 508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z ) ) ) )
13224ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  RR )
133132biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B )  < 
( F `  z
) ) ) )
134 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
13512, 3, 70, 134ofc1 6562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  =  ( B  x.  ( F `  z )
) )
136135ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  =  ( B  x.  ( F `
 z ) ) )
137136breq2d 4468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <->  y  <  ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
1383ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  RR )
139 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  0  <  B )
140 ltdivmul 10438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( ( y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  y  <  ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
141127, 132, 138, 139, 140syl112anc 1232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  y  <  ( B  x.  ( F `
 z ) ) ) )
142137, 141bitr4d 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <->  ( y  /  B )  <  ( F `  z )
) )
143138, 139elrpd 11279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  RR+ )
144127, 143rerpdivcld 11308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR )
145144rexrd 9660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR* )
146145, 93syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) 
<->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B
)  <  ( F `  z ) ) ) )
147133, 142, 1463bitr4d 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,) +oo )
) )
148129, 131, 1473bitr2d 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) )
149148anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) )
150149pm5.32da 641 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) ) )
15166ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  Fn  A )
152151, 68syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )
" ( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
15370ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  F  Fn  A )
154153, 101syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) ) )
155150, 152, 1543bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )
" ( y (,) +oo ) )  <->  z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) ) )
156155eqrdv 2454 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) " (
y (,) +oo )
)  =  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) )
157106ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
158156, 157eqeltrd 2545 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) " (
y (,) +oo )
)  e.  dom  vol )
159128, 80syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
160130biantrurd 508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
161 ltmuldiv2 10437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( ( B  x.  ( F `  z ) )  <  y  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
162132, 127, 138, 139, 161syl112anc 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( B  x.  ( F `  z ) )  < 
y  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
163136breq1d 4466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( B  x.  ( F `  z ) )  <  y ) )
164145, 59syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( -oo (,) (
y  /  B ) )  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
165132biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( y  /  B
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
166164, 165bitr4d 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( -oo (,) (
y  /  B ) )  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
167162, 163, 1663bitr4d 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
168159, 160, 1673bitr2d 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
169168anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
170169pm5.32da 641 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  e.  ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
171151, 99syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )
" ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
172153, 72syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
173170, 171, 1723bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )
" ( -oo (,) y ) )  <->  z  e.  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) ) ) )
174173eqrdv 2454 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) " ( -oo (,) y ) )  =  ( `' F " ( -oo (,) (
y  /  B ) ) ) )
17577ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) )  e. 
dom  vol )
176174, 175eqeltrd 2545 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) " ( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
177125, 126, 158, 176ismbf2d 22173 . 2  |-  ( (
ph  /\  0  <  B )  ->  ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F )  e. MblFn )
178 0re 9613 . . 3  |-  0  e.  RR
179 lttri4 9686 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( B  <  0  \/  B  =  0  \/  0  <  B ) )
1803, 178, 179sylancl 662 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  <  0  \/  B  =  0  \/  0  <  B ) )
181109, 124, 177, 180mpjao3dan 1295 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 972    = wceq 1395    e. wcel 1819   {csn 4032   class class class wbr 4456    X. cxp 5006   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   "cima 5011    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oFcof 6537   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509    x. cmul 9514   +oocpnf 9642   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644    < clt 9645   -ucneg 9825    / cdiv 10227   (,)cioo 11554   volcvol 22000  MblFncmbf 22148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xadd 11344  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520  df-xmet 18538  df-met 18539  df-ovol 22001  df-vol 22002  df-mbf 22153
This theorem is referenced by:  mbfmulc2re  22180
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