MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmulc2lem Structured version   Unicode version

Theorem mbfmulc2lem 21124
Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2re.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfmulc2re.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
mbfmulc2lem.3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2lem  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  e. MblFn )

Proof of Theorem mbfmulc2lem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2re.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2 0re 9385 . . 3  |-  0  e.  RR
3 lttri4 9458 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( B  <  0  \/  B  =  0  \/  0  <  B ) )
41, 2, 3sylancl 662 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  <  0  \/  B  =  0  \/  0  <  B ) )
5 remulcl 9366 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  x.  y
)  e.  RR )
65adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  RR )
7 fconst6g 5598 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  X.  { B }
) : A --> RR )
81, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { B } ) : A --> RR )
9 mbfmulc2lem.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
10 fdm 5562 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> RR  ->  dom 
F  =  A )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
12 mbfmulc2re.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
13 mbfdm 21105 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1511, 14eqeltrrd 2517 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
16 inidm 3558 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  A )  =  A
176, 8, 9, 15, 15, 16off 6333 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) : A --> RR )
1817adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <  0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) : A --> RR )
1915adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <  0 )  ->  A  e.  dom  vol )
20 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR )
2120rexrd 9432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR* )
22 elioopnf 11382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z ) ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z ) ) ) )
2417ffvelrnda 5842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  RR )
2524ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR )
2625biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z ) ) ) )
279ffvelrnda 5842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
2827ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  RR )
2928biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( y  /  B
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
30 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  z  e.  A )
3115ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  A  e.  dom  vol )
321ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  RR )
339ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  F : A
--> RR )
34 ffn 5558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A --> RR  ->  F  Fn  A )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  F  Fn  A )
36 eqidd 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  A ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
3731, 32, 35, 36ofc1 6342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  A ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  =  ( B  x.  ( F `  z )
) )
3830, 37mpdan 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  =  ( B  x.  ( F `
 z ) ) )
3938breq2d 4303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <->  y  <  ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
4020renegcld 9774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  -u y  e.  RR )
4132renegcld 9774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  -u B  e.  RR )
42 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  <  0 )
4332lt0neg1d 9908 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( B  <  0  <->  0  <  -u B
) )
4442, 43mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  0  <  -u B )
45 ltmuldiv2 10202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\  -u y  e.  RR  /\  ( -u B  e.  RR  /\  0  <  -u B
) )  ->  (
( -u B  x.  ( F `  z )
)  <  -u y  <->  ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B
) ) )
4628, 40, 41, 44, 45syl112anc 1222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u B  x.  ( F `
 z ) )  <  -u y  <->  ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B
) ) )
4732recnd 9411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  CC )
4828recnd 9411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  CC )
4947, 48mulneg1d 9796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( -u B  x.  ( F `  z
) )  =  -u ( B  x.  ( F `  z )
) )
5049breq1d 4301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u B  x.  ( F `
 z ) )  <  -u y  <->  -u ( B  x.  ( F `  z ) )  <  -u y ) )
5138, 25eqeltrrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( B  x.  ( F `  z
) )  e.  RR )
5220, 51ltnegd 9916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( B  x.  ( F `  z )
)  <->  -u ( B  x.  ( F `  z ) )  <  -u y
) )
5350, 52bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u B  x.  ( F `
 z ) )  <  -u y  <->  y  <  ( B  x.  ( F `
 z ) ) ) )
5446, 53bitr3d 255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B )  <->  y  <  ( B  x.  ( F `
 z ) ) ) )
5520recnd 9411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  CC )
5642lt0ne0d 9904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  =/=  0 )
5755, 47, 56div2negd 10121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( -u y  /  -u B )  =  ( y  /  B
) )
5857breq2d 4303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B )  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
5939, 54, 583bitr2d 281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
6020, 32, 56redivcld 10158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR )
6160rexrd 9432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR* )
62 elioomnf 11383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  /  B )  e.  RR*  ->  ( ( F `  z )  e.  ( -oo (,) ( y  /  B
) )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( -oo (,) (
y  /  B ) )  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
6429, 59, 633bitr4d 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <->  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
6523, 26, 643bitr2d 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  ( -oo (,) ( y  /  B
) ) ) )
6665anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  ( -oo (,) ( y  /  B
) ) ) )
6766pm5.32da 641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( F `  z
)  e.  ( -oo (,) ( y  /  B
) ) ) ) )
68 ffn 5558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) : A --> RR  ->  (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  Fn  A )
6917, 68syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  Fn  A )
7069ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  Fn  A )
71 elpreima 5822 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  Fn  A  ->  ( z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) "
( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
7270, 71syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )
" ( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
739, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
7473ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  F  Fn  A )
75 elpreima 5822 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
7674, 75syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
7767, 72, 763bitr4d 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )
" ( y (,) +oo ) )  <->  z  e.  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) ) ) )
7877eqrdv 2440 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) " (
y (,) +oo )
)  =  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) ) )
79 mbfima 21109 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) )  e. 
dom  vol )
8012, 9, 79syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( -oo (,) ( y  /  B ) ) )  e.  dom  vol )
8180ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) )  e. 
dom  vol )
8278, 81eqeltrd 2516 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) " (
y (,) +oo )
)  e.  dom  vol )
83 elioomnf 11383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
8421, 83syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
8525biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
8628biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B )  < 
( F `  z
) ) ) )
8738breq1d 4301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( B  x.  ( F `  z ) )  <  y ) )
8849breq2d 4303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( -u y  <  ( -u B  x.  ( F `  z ) )  <->  -u y  <  -u ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
8957breq1d 4301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u y  /  -u B
)  <  ( F `  z )  <->  ( y  /  B )  <  ( F `  z )
) )
90 ltdivmul 10203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u y  e.  RR  /\  ( F `  z
)  e.  RR  /\  ( -u B  e.  RR  /\  0  <  -u B
) )  ->  (
( -u y  /  -u B
)  <  ( F `  z )  <->  -u y  < 
( -u B  x.  ( F `  z )
) ) )
9140, 28, 41, 44, 90syl112anc 1222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u y  /  -u B
)  <  ( F `  z )  <->  -u y  < 
( -u B  x.  ( F `  z )
) ) )
9289, 91bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  -u y  < 
( -u B  x.  ( F `  z )
) ) )
9351, 20ltnegd 9916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( B  x.  ( F `  z ) )  < 
y  <->  -u y  <  -u ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
9488, 92, 933bitr4d 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  ( B  x.  ( F `  z
) )  <  y
) )
9587, 94bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( y  /  B )  <  ( F `  z )
) )
96 elioopnf 11382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  /  B )  e.  RR*  ->  ( ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo )  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( y  /  B )  < 
( F `  z
) ) ) )
9761, 96syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) 
<->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B
)  <  ( F `  z ) ) ) )
9886, 95, 973bitr4d 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,) +oo )
) )
9984, 85, 983bitr2d 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,) +oo )
) )
10099anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,) +oo )
) )
101100pm5.32da 641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  e.  ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) ) )
102 elpreima 5822 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  Fn  A  ->  ( z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) "
( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
10370, 102syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )
" ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
104 elpreima 5822 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) ) )
10574, 104syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) ) )
106101, 103, 1053bitr4d 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )
" ( -oo (,) y ) )  <->  z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) ) )
107106eqrdv 2440 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) " ( -oo (,) y ) )  =  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) )
108 mbfima 21109 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
10912, 9, 108syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( y  /  B ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
110109ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
111107, 110eqeltrd 2516 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) " ( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
11218, 19, 82, 111ismbf2d 21118 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <  0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  e. MblFn
)
11315adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  A  e.  dom  vol )
1149adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  F : A --> RR )
115 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  B  =  0 )
116 0cn 9377 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
117115, 116syl6eqel 2530 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  B  e.  CC )
118 0cnd 9378 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  0  e.  CC )
119 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  B  =  0 )
120119oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  x.  x
)  =  ( 0  x.  x ) )
121 mul02lem2 9545 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  x.  x )  =  0 )
122121adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  x.  x
)  =  0 )
123120, 122eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  x.  x
)  =  0 )
124113, 114, 117, 118, 123caofid2 6350 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  =  ( A  X.  {
0 } ) )
125 mbfconst 21112 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  0  e.  CC )  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
126113, 116, 125sylancl 662 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
127124, 126eqeltrd 2516 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  e. MblFn
)
12817adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  B )  ->  ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) : A --> RR )
12915adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  B )  ->  A  e.  dom  vol )
130 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR )
131130rexrd 9432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR* )
132131, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z ) ) ) )
13324ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR )
134133biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z ) ) ) )
13527ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  RR )
136135biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B )  < 
( F `  z
) ) ) )
137 eqidd 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
13815, 1, 73, 137ofc1 6342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  =  ( B  x.  ( F `  z )
) )
139138ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  =  ( B  x.  ( F `
 z ) ) )
140139breq2d 4303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <->  y  <  ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
1411ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  RR )
142 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  0  <  B )
143 ltdivmul 10203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( ( y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  y  <  ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
144130, 135, 141, 142, 143syl112anc 1222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  y  <  ( B  x.  ( F `
 z ) ) ) )
145140, 144bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <->  ( y  /  B )  <  ( F `  z )
) )
146141, 142elrpd 11024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  RR+ )
147130, 146rerpdivcld 11053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR )
148147rexrd 9432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR* )
149148, 96syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) 
<->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B
)  <  ( F `  z ) ) ) )
150136, 145, 1493bitr4d 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,) +oo )
) )
151132, 134, 1503bitr2d 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) )
152151anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) )
153152pm5.32da 641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) ) )
15469ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  Fn  A )
155154, 71syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )
" ( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
15673ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  F  Fn  A )
157156, 104syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) ) )
158153, 155, 1573bitr4d 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )
" ( y (,) +oo ) )  <->  z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) ) )
159158eqrdv 2440 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) " (
y (,) +oo )
)  =  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) ) )
160109ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
161159, 160eqeltrd 2516 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) " (
y (,) +oo )
)  e.  dom  vol )
162131, 83syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
163133biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
164 ltmuldiv2 10202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( ( B  x.  ( F `  z ) )  <  y  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
165135, 130, 141, 142, 164syl112anc 1222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( B  x.  ( F `  z ) )  < 
y  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
166139breq1d 4301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( B  x.  ( F `  z ) )  <  y ) )
167148, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( -oo (,) (
y  /  B ) )  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
168135biantrurd 508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( y  /  B
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
169167, 168bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( -oo (,) (
y  /  B ) )  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
170165, 166, 1693bitr4d 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
171162, 163, 1703bitr2d 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
172171anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
173172pm5.32da 641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) `  z
)  e.  ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
174154, 102syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )
" ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F ) `
 z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
175156, 75syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
176173, 174, 1753bitr4d 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )
" ( -oo (,) y ) )  <->  z  e.  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) ) ) )
177176eqrdv 2440 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) " ( -oo (,) y ) )  =  ( `' F " ( -oo (,) (
y  /  B ) ) ) )
17880ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( -oo (,) ( y  /  B
) ) )  e. 
dom  vol )
179177, 178eqeltrd 2516 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F ) " ( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
180128, 129, 161, 179ismbf2d 21118 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  B )  ->  ( ( A  X.  { B }
)  oF  x.  F )  e. MblFn )
181112, 127, 1803jaodan 1284 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( B  <  0  \/  B  =  0  \/  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  e. MblFn )
1824, 181mpdan 668 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 964    = wceq 1369    e. wcel 1756   {csn 3876   class class class wbr 4291    X. cxp 4837   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   "cima 4842    Fn wfn 5412   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090    oFcof 6317   CCcc 9279   RRcr 9280   0cc0 9281    x. cmul 9286   +oocpnf 9414   -oocmnf 9415   RR*cxr 9416    < clt 9417   -ucneg 9595    / cdiv 9992   (,)cioo 11299   volcvol 20946  MblFncmbf 21093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-cda 8336  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-q 10953  df-rp 10991  df-xadd 11089  df-ioo 11303  df-ico 11305  df-icc 11306  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-fl 11641  df-seq 11806  df-exp 11865  df-hash 12103  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-clim 12965  df-sum 13163  df-xmet 17809  df-met 17810  df-ovol 20947  df-vol 20948  df-mbf 21098
This theorem is referenced by:  mbfmulc2re  21125
  Copyright terms: Public domain W3C validator