Theorem rerpdivcld 11779

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 11737	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 691	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℝcr 9814   / cdiv 10563  ℝ⁺crp 11708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-rp 11709

This theorem is referenced by:  iccf1o  12187  xov1plusxeqvd  12189  expmulnbnd  12858  discr  12863  geomulcvg  14446  mertenslem1  14455  retanhcl  14728  bitsfzolem  14994  bitsfzo  14995  bitsmod  14996  odmodnn0  17782  nmoi  22342  nmoleub  22345  icopnfcnv  22549  nmoleub2lem  22722  nmoleub2lem3  22723  pjthlem1  23016  ovolscalem1  23088  ovolscalem2  23089  ovolsca  23090  mbfmulc2lem  23220  itg2const2  23314  dvferm1lem  23551  abelthlem7  23996  logdivlti  24170  logdivle  24172  logcnlem3  24190  logcnlem4  24191  advlogexp  24201  cxpaddle  24293  cxploglim  24504  cxploglim2  24505  lgamgulmlem2  24556  lgamgulmlem3  24557  lgamucov  24564  ftalem1  24599  ftalem2  24600  basellem3  24609  fsumvma2  24739  chpval2  24743  chpchtsum  24744  chpub  24745  logfacrlim  24749  logexprlim  24750  efexple  24806  bposlem9  24817  chebbnd1lem2  24959  chebbnd1lem3  24960  chtppilim  24964  chpchtlim  24968  chpo1ubb  24970  rplogsumlem1  24973  rplogsumlem2  24974  rpvmasumlem  24976  dchrmusum2  24983  dchrvmasumlem2  24987  dchrisum0fno1  25000  dchrisum0lem1b  25004  dchrisum0lem1  25005  dchrisum0lem2a  25006  rplogsum  25016  mulog2sumlem1  25023  mulog2sumlem2  25024  vmalogdivsum2  25027  vmalogdivsum  25028  2vmadivsumlem  25029  log2sumbnd  25033  selberglem2  25035  selbergb  25038  selberg2b  25041  chpdifbndlem1  25042  selberg3lem1  25046  selberg3lem2  25047  selberg3  25048  selberg4lem1  25049  selberg4  25050  pntrsumo1  25054  selberg3r  25058  selberg4r  25059  selberg34r  25060  pntrlog2bndlem1  25066  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem3  25068  pntrlog2bndlem4  25069  pntrlog2bndlem5  25070  pntrlog2bndlem6  25072  pntrlog2bnd  25073  pntpbnd1a  25074  pntpbnd2  25076  pntibndlem2  25080  pntibndlem3  25081  pntlemb  25086  pntlemg  25087  pntlemh  25088  pntlemn  25089  pntlemr  25091  pntlemj  25092  pntlemf  25094  pntlemk  25095  pntlemo  25096  pnt  25103  ostth2lem1  25107  ostth2lem4  25125  ostth3  25127  pjhthlem1  27634  esumcst  29452  dya2iocress  29663  dya2iocbrsiga  29664  dya2icobrsiga  29665  sxbrsigalem2  29675  probmeasb  29819  itg2addnclem3  32633  ftc1anclem7  32661  geomcau  32725  cntotbnd  32765  bfplem1  32791  binomcxplemnotnn0  37577  divlt0gt0d  38439  lefldiveq  38446  ltmod  38705  0ellimcdiv  38716  wallispilem5  38962  stirlingr  38983  dirkercncflem1  38996  fourierdlem65  39064  hoiqssbllem2  39513