Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth2lem4 25125
 Description: Lemma for ostth2 25126. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostth2.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
ostth2.3 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑁))
ostth2.4 𝑅 = ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁))
ostth2.5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
ostth2.6 𝑆 = ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))
ostth2.7 𝑇 = if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀))
ostth2.8 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
ostth2lem4 (𝜑 → (1 < (𝐹𝑀) ∧ 𝑅𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑞,𝜑   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝐴,𝑞,𝑥   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝐹,𝑞   𝑅,𝑞   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑞)   𝑇(𝑞)   𝑈(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem ostth2lem4
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth2.3 . . . . 5 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑁))
2 1re 9918 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
3 ostth.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐴)
4 ostth2.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
5 eluz2b2 11637 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
64, 5sylib 207 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
76simpld 474 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
8 nnq 11677 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℚ)
10 qabsabv.a . . . . . . . 8 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
11 qrng.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (ℂflds ℚ)
1211qrngbas 25108 . . . . . . . 8 ℚ = (Base‘𝑄)
1310, 12abvcl 18647 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℚ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
143, 9, 13syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
15 ltnle 9996 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℝ) → (1 < (𝐹𝑁) ↔ ¬ (𝐹𝑁) ≤ 1))
162, 14, 15sylancr 694 . . . . 5 (𝜑 → (1 < (𝐹𝑁) ↔ ¬ (𝐹𝑁) ≤ 1))
171, 16mpbid 221 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑁) ≤ 1)
18 ostth2.7 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀))
19 ostth2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
20 eluz2b2 11637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
2119, 20sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
2221simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
23 nnq 11677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℚ)
2510, 12abvcl 18647 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
263, 24, 25syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
27 ifcl 4080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ∈ ℝ) → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
282, 26, 27sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
2918, 28syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
30 0red 9920 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
32 0lt1 10429 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 1)
34 max2 11892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → 1 ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
3526, 2, 34sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
3635, 18syl6breqr 4625 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ 𝑇)
3730, 31, 29, 33, 36ltletrd 10076 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑇)
3829, 37elrpd 11745 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
39 ostth2.8 . . . . . . . . . . . 12 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))
407nnrpd 11746 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
4140relogcld 24173 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
4222nnred 10912 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4321simprd 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 < 𝑀)
4442, 43rplogcld 24179 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℝ+)
4541, 44rerpdivcld 11779 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)) ∈ ℝ)
4639, 45syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
4738, 46rpcxpcld 24276 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇𝑐𝑈) ∈ ℝ+)
4814, 47rerpdivcld 11779 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈)) ∈ ℝ)
4942, 29remulcld 9949 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 · 𝑇) ∈ ℝ)
50 peano2re 10088 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ℝ → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
5146, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
5249, 51remulcld 9949 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
53 padic.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
54 ostth.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
55 ostth2.4 . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁))
56 ostth2.6 . . . . . . . . . 10 𝑆 = ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))
5711, 10, 53, 54, 3, 4, 1, 55, 19, 56, 18, 39ostth2lem3 25124 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈))↑𝑛) ≤ (𝑛 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
5848, 52, 57ostth2lem1 25107 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈)) ≤ 1)
5914, 31, 47ledivmuld 11801 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈)) ≤ 1 ↔ (𝐹𝑁) ≤ ((𝑇𝑐𝑈) · 1)))
6058, 59mpbid 221 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ ((𝑇𝑐𝑈) · 1))
6147rpcnd 11750 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇𝑐𝑈) ∈ ℂ)
6261mulid1d 9936 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑇𝑐𝑈) · 1) = (𝑇𝑐𝑈))
6360, 62breqtrd 4609 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝑇𝑐𝑈))
6463adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑀) ≤ 1) → (𝐹𝑁) ≤ (𝑇𝑐𝑈))
65 iftrue 4042 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑀) ≤ 1 → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) = 1)
6618, 65syl5eq 2656 . . . . . . 7 ((𝐹𝑀) ≤ 1 → 𝑇 = 1)
6766oveq1d 6564 . . . . . 6 ((𝐹𝑀) ≤ 1 → (𝑇𝑐𝑈) = (1↑𝑐𝑈))
6846recnd 9947 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
69681cxpd 24253 . . . . . 6 (𝜑 → (1↑𝑐𝑈) = 1)
7067, 69sylan9eqr 2666 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑀) ≤ 1) → (𝑇𝑐𝑈) = 1)
7164, 70breqtrd 4609 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑀) ≤ 1) → (𝐹𝑁) ≤ 1)
7217, 71mtand 689 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑀) ≤ 1)
73 ltnle 9996 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ∈ ℝ) → (1 < (𝐹𝑀) ↔ ¬ (𝐹𝑀) ≤ 1))
742, 26, 73sylancr 694 . . 3 (𝜑 → (1 < (𝐹𝑀) ↔ ¬ (𝐹𝑀) ≤ 1))
7572, 74mpbird 246 . 2 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑀))
7630, 31, 14, 33, 1lttrd 10077 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (𝐹𝑁))
7714, 76elrpd 11745 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
7877reeflogd 24174 . . . . . . 7 (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹𝑁))) = (𝐹𝑁))
79 iffalse 4045 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝐹𝑀) ≤ 1 → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) = (𝐹𝑀))
8018, 79syl5eq 2656 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐹𝑀) ≤ 1 → 𝑇 = (𝐹𝑀))
8172, 80syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 = (𝐹𝑀))
8281oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇𝑐𝑈) = ((𝐹𝑀)↑𝑐𝑈))
8326recnd 9947 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
8430, 31, 26, 33, 75lttrd 10077 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (𝐹𝑀))
8526, 84elrpd 11745 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ+)
8685rpne0d 11753 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑀) ≠ 0)
8783, 86, 68cxpefd 24258 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑀)↑𝑐𝑈) = (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹𝑀)))))
8882, 87eqtr2d 2645 . . . . . . 7 (𝜑 → (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹𝑀)))) = (𝑇𝑐𝑈))
8963, 78, 883brtr4d 4615 . . . . . 6 (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹𝑀)))))
9077relogcld 24173 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
9185relogcld 24173 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
9246, 91remulcld 9949 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))) ∈ ℝ)
93 efle 14687 . . . . . . 7 (((log‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))) ∈ ℝ) → ((log‘(𝐹𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))) ↔ (exp‘(log‘(𝐹𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))))))
9490, 92, 93syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))) ↔ (exp‘(log‘(𝐹𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))))))
9589, 94mpbird 246 . . . . 5 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))))
9641recnd 9947 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
9791recnd 9947 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑀)) ∈ ℂ)
9844rpcnd 11750 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℂ)
9944rpne0d 11753 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑀) ≠ 0)
10096, 97, 98, 99div12d 10716 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))) = ((log‘(𝐹𝑀)) · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))))
10139oveq2i 6560 . . . . . . 7 ((log‘(𝐹𝑀)) · 𝑈) = ((log‘(𝐹𝑀)) · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)))
102100, 101syl6eqr 2662 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))) = ((log‘(𝐹𝑀)) · 𝑈))
10397, 68mulcomd 9940 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑀)) · 𝑈) = (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))))
104102, 103eqtrd 2644 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))) = (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))))
10595, 104breqtrrd 4611 . . . 4 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))))
10691, 44rerpdivcld 11779 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀)) ∈ ℝ)
1077nnred 10912 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1086simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < 𝑁)
109107, 108rplogcld 24179 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ+)
11090, 106, 109ledivmuld 11801 . . . 4 (𝜑 → (((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁)) ≤ ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀)) ↔ (log‘(𝐹𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀)))))
111105, 110mpbird 246 . . 3 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁)) ≤ ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀)))
112111, 55, 563brtr4g 4617 . 2 (𝜑𝑅𝑆)
11375, 112jca 553 1 (𝜑 → (1 < (𝐹𝑀) ∧ 𝑅𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℤ≥cuz 11563  ℚcq 11664  ↑cexp 12722  expce 14631  ℙcprime 15223   pCnt cpc 15379   ↾s cress 15696  AbsValcabv 18639  ℂfldccnfld 19567  logclog 24105  ↑𝑐ccxp 24106 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-abv 18640  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108 This theorem is referenced by:  ostth2  25126
 Copyright terms: Public domain W3C validator