Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxploglim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxploglim 24504
 Description: The logarithm grows slower than any positive power. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxploglim (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) ⇝𝑟 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem cxploglim
Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpre 11715 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2 reefcl 14656 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
4 efgt1 14685 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘𝐴))
5 cxp2limlem 24502 . . 3 (((exp‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 < (exp‘𝐴)) → (𝑚 ∈ ℝ+ ↦ (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) ⇝𝑟 0)
63, 4, 5syl2anc 691 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑚 ∈ ℝ+ ↦ (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) ⇝𝑟 0)
7 reefcl 14656 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘𝑧) ∈ ℝ)
87adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) → (exp‘𝑧) ∈ ℝ)
9 1re 9918 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
10 ifcl 4080 . . . . . . 7 (((exp‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) ∈ ℝ)
118, 9, 10sylancl 693 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) → if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) ∈ ℝ)
129a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
138adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (exp‘𝑧) ∈ ℝ)
14 rpre 11715 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ)
1514adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ)
16 maxlt 11898 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 ↔ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛)))
1712, 13, 15, 16syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 ↔ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛)))
18 simprrr 801 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘𝑧) < 𝑛)
19 reeflog 24131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝑛)) = 𝑛)
2019ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘(log‘𝑛)) = 𝑛)
2118, 20breqtrrd 4611 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘𝑧) < (exp‘(log‘𝑛)))
22 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝑧 ∈ ℝ)
2314ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℝ)
24 simprrl 800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 1 < 𝑛)
2523, 24rplogcld 24179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ+)
2625rpred 11748 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
27 eflt 14686 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑛) ∈ ℝ) → (𝑧 < (log‘𝑛) ↔ (exp‘𝑧) < (exp‘(log‘𝑛))))
2822, 26, 27syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (𝑧 < (log‘𝑛) ↔ (exp‘𝑧) < (exp‘(log‘𝑛))))
2921, 28mpbird 246 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝑧 < (log‘𝑛))
30 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (log‘𝑛) → (𝑧 < 𝑚𝑧 < (log‘𝑛)))
31 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = (log‘𝑛) → 𝑚 = (log‘𝑛))
32 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = (log‘𝑛) → ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚) = ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))
3331, 32oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = (log‘𝑛) → (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚)) = ((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛))))
3433fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = (log‘𝑛) → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) = (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))))
3534breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (log‘𝑛) → ((abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥 ↔ (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) < 𝑥))
3630, 35imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (log‘𝑛) → ((𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) ↔ (𝑧 < (log‘𝑛) → (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) < 𝑥)))
3736rspcv 3278 . . . . . . . . . . . . 13 ((log‘𝑛) ∈ ℝ+ → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (𝑧 < (log‘𝑛) → (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) < 𝑥)))
3825, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (𝑧 < (log‘𝑛) → (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) < 𝑥)))
3929, 38mpid 43 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) < 𝑥))
401ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4140relogefd 24178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (log‘(exp‘𝐴)) = 𝐴)
4241oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((log‘𝑛) · (log‘(exp‘𝐴))) = ((log‘𝑛) · 𝐴))
4325rpcnd 11750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
44 rpcn 11717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
4544ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝐴 ∈ ℂ)
4643, 45mulcomd 9940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((log‘𝑛) · 𝐴) = (𝐴 · (log‘𝑛)))
4742, 46eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((log‘𝑛) · (log‘(exp‘𝐴))) = (𝐴 · (log‘𝑛)))
4847fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘((log‘𝑛) · (log‘(exp‘𝐴)))) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑛))))
493ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
5049recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
51 efne0 14666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ≠ 0)
5245, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘𝐴) ≠ 0)
5350, 52, 43cxpefd 24258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)) = (exp‘((log‘𝑛) · (log‘(exp‘𝐴)))))
54 rpcn 11717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℂ)
5554ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℂ)
56 rpne0 11724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ≠ 0)
5756ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝑛 ≠ 0)
5855, 57, 45cxpefd 24258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (𝑛𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑛))))
5948, 53, 583eqtr4d 2654 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)) = (𝑛𝑐𝐴))
6059oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛))) = ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴)))
6160fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) = (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))))
6261breq1d 4593 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) < 𝑥 ↔ (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥))
6339, 62sylibd 228 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥))
6463expr 641 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
6517, 64sylbid 229 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
6665com23 84 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
6766ralrimdva 2952 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑛 ∈ ℝ+ (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
68 breq1 4586 . . . . . . . . 9 (𝑦 = if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) → (𝑦 < 𝑛 ↔ if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛))
6968imbi1d 330 . . . . . . . 8 (𝑦 = if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) → ((𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥) ↔ (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
7069ralbidv 2969 . . . . . . 7 (𝑦 = if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) → (∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
7170rspcev 3282 . . . . . 6 ((if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥))
7211, 67, 71syl6an 566 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
7372rexlimdva 3013 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
7473ralimdv 2946 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
75 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → 𝑚 ∈ ℝ+)
761adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
7776rpefcld 14674 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → (exp‘𝐴) ∈ ℝ+)
78 rpre 11715 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ)
7978adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → 𝑚 ∈ ℝ)
8077, 79rpcxpcld 24276 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚) ∈ ℝ+)
8175, 80rpdivcld 11765 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚)) ∈ ℝ+)
8281rpcnd 11750 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚)) ∈ ℂ)
8382ralrimiva 2949 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚)) ∈ ℂ)
84 rpssre 11719 . . . . 5 + ⊆ ℝ
8584a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ℝ+ ⊆ ℝ)
8683, 85rlim0lt 14088 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑚 ∈ ℝ+ ↦ (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥)))
87 relogcl 24126 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℝ+ → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
8887adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
89 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ+)
901adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
9189, 90rpcxpcld 24276 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
9288, 91rerpdivcld 11779 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
9392recnd 9947 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴)) ∈ ℂ)
9493ralrimiva 2949 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ∀𝑛 ∈ ℝ+ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴)) ∈ ℂ)
9594, 85rlim0lt 14088 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
9674, 86, 953imtr4d 282 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑚 ∈ ℝ+ ↦ (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) ⇝𝑟 0 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) ⇝𝑟 0))
976, 96mpd 15 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) ⇝𝑟 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  ℝ+crp 11708  abscabs 13822   ⇝𝑟 crli 14064  expce 14631  logclog 24105  ↑𝑐ccxp 24106 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108 This theorem is referenced by:  cxploglim2  24505  logfacrlim  24749  chtppilimlem2  24963  chpchtlim  24968  dchrvmasumlema  24989  logdivsum  25022
 Copyright terms: Public domain W3C validator