Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvferm1lem 23551
 Description: Lemma for dvferm 23555. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm1.r (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
dvferm1.z (𝜑 → 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
dvferm1.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
dvferm1.l (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
dvferm1.x 𝑆 = ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)
Assertion
Ref Expression
dvferm1lem ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆,𝑧   𝑧,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑦)

Proof of Theorem dvferm1lem
StepHypRef Expression
1 dvferm.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
2 dvferm.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
3 dvfre 23520 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
41, 2, 3syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
5 dvferm.d . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
64, 5ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
76recnd 9947 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ)
87subidd 10259 . . . . 5 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = 0)
9 dvferm.u . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
10 ne0i 3880 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
11 ndmioo 12073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
1211necon1ai 2809 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
139, 10, 123syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
1413simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
15 eliooord 12104 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑈𝑈 < 𝐵))
169, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 < 𝑈𝑈 < 𝐵))
1716simpld 474 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 < 𝑈)
18 ioossre 12106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
1918, 9sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
2019rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
21 xrltle 11858 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑈 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑈𝐴𝑈))
2214, 20, 21syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 < 𝑈𝐴𝑈))
2317, 22mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝑈)
24 iooss1 12081 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑈) → (𝑈(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2514, 23, 24syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
26 dvferm.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
2725, 26sstrd 3578 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
28 dvferm1.x . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)
2913simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
30 dvferm1.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
3130rpred 11748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
3219, 31readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ)
3332rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*)
3429, 33ifcld 4081 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ*)
35 mnfxr 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -∞ ∈ ℝ*
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
37 mnflt 11833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ ℝ → -∞ < 𝑈)
3819, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → -∞ < 𝑈)
3916simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑈 < 𝐵)
4036, 20, 29, 38, 39xrlttrd 11866 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -∞ < 𝐵)
41 mnflt 11833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ → -∞ < (𝑈 + 𝑇))
4232, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -∞ < (𝑈 + 𝑇))
43 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
44 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 + 𝑇) = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (-∞ < (𝑈 + 𝑇) ↔ -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
4543, 44ifboth 4074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ < 𝐵 ∧ -∞ < (𝑈 + 𝑇)) → -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
4640, 42, 45syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
47 xrmin2 11883 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))
4829, 33, 47syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))
49 xrre 11874 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ)
5034, 32, 46, 48, 49syl22anc 1319 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ)
5119, 50readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) ∈ ℝ)
5251rehalfcld 11156 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) ∈ ℝ)
5328, 52syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
5419, 30ltaddrpd 11781 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 < (𝑈 + 𝑇))
55 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (𝑈 < 𝐵𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
56 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 + 𝑇) = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (𝑈 < (𝑈 + 𝑇) ↔ 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
5755, 56ifboth 4074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 < 𝐵𝑈 < (𝑈 + 𝑇)) → 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
5839, 54, 57syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
59 avglt1 11147 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ 𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)))
6019, 50, 59syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ 𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)))
6158, 60mpbid 221 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2))
6261, 28syl6breqr 4625 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 < 𝑆)
6353rexrd 9968 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
64 avglt2 11148 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
6519, 50, 64syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
6658, 65mpbid 221 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
6728, 66syl5eqbr 4618 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
68 xrmin1 11882 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ 𝐵)
6929, 33, 68syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ 𝐵)
7063, 34, 29, 67, 69xrltletrd 11868 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 < 𝐵)
71 elioo2 12087 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 < 𝑆𝑆 < 𝐵)))
7220, 29, 71syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 < 𝑆𝑆 < 𝐵)))
7353, 62, 70, 72mpbir3and 1238 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵))
7427, 73sseldd 3569 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆𝑋)
7519, 62gtned 10051 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆𝑈)
76 eldifsn 4260 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑈))
7774, 75, 76sylanbrc 695 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}))
78 dvferm1.l . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
7919, 53, 62ltled 10064 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝑆)
8019, 53, 79abssubge0d 14018 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(𝑆𝑈)) = (𝑆𝑈))
8153, 50, 32, 67, 48ltletrd 10076 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 < (𝑈 + 𝑇))
8253, 19, 31ltsubadd2d 10504 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑆𝑈) < 𝑇𝑆 < (𝑈 + 𝑇)))
8381, 82mpbird 246 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑈) < 𝑇)
8480, 83eqbrtrd 4605 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇)
8575, 84jca 553 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇))
86 neeq1 2844 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 → (𝑧𝑈𝑆𝑈))
87 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → (𝑧𝑈) = (𝑆𝑈))
8887fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 → (abs‘(𝑧𝑈)) = (abs‘(𝑆𝑈)))
8988breq1d 4593 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇))
9086, 89anbi12d 743 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑆 → ((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) ↔ (𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇)))
91 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑆 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑆))
9291oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑆 → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) = ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)))
9392, 87oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) = (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
9493oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = ((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
9594fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
9695breq1d 4593 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
9790, 96imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑆 → (((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ↔ ((𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
9897rspcv 3278 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) → (∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → ((𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
9977, 78, 85, 98syl3c 64 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
1001, 74ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ ℝ)
10126, 9sseldd 3569 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝑋)
1021, 101ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
103100, 102resubcld 10337 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℝ)
10453, 19resubcld 10337 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑈) ∈ ℝ)
10519, 53posdifd 10493 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 < 𝑆 ↔ 0 < (𝑆𝑈)))
10662, 105mpbid 221 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (𝑆𝑈))
107104, 106elrpd 11745 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝑈) ∈ ℝ+)
108103, 107rerpdivcld 11779 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∈ ℝ)
109108, 6, 6absdifltd 14020 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∧ (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))))
11099, 109mpbid 221 . . . . . 6 (𝜑 → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∧ (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
111110simpld 474 . . . . 5 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
1128, 111eqbrtrrd 4607 . . . 4 (𝜑 → 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
113 gt0div 10768 . . . . 5 ((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆𝑈)) → (0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈))))
114103, 104, 106, 113syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈))))
115112, 114mpbird 246 . . 3 (𝜑 → 0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)))
116102, 100posdifd 10493 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑈) < (𝐹𝑆) ↔ 0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈))))
117115, 116mpbird 246 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆))
118 dvferm1.r . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
119 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑆 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑆))
120119breq1d 4593 . . . . 5 (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈) ↔ (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈)))
121120rspcv 3278 . . . 4 (𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈) → (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈)))
12273, 118, 121sylc 63 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈))
123100, 102lenltd 10062 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈) ↔ ¬ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆)))
124122, 123mpbid 221 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆))
125117, 124pm2.65i 184 1 ¬ 𝜑
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ifcif 4036  {csn 4125   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818  -∞cmnf 9951  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  ℝ+crp 11708  (,)cioo 12046  abscabs 13822   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  dvferm1  23552
 Copyright terms: Public domain W3C validator