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Theorem dvferm1lem 21356
Description: Lemma for dvferm 21360. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
dvferm.b  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
dvferm.u  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
dvferm.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
dvferm.d  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
dvferm1.r  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( U (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
dvferm1.z  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( RR  _D  F ) `
 U ) )
dvferm1.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
dvferm1.l  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )
dvferm1.x  |-  S  =  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )
Assertion
Ref Expression
dvferm1lem  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    y, z, A    y, B, z    y, F, z    y, U, z   
y, X, z    ph, y    y, S, z    z, T
Allowed substitution hints:    ph( z)    T( y)

Proof of Theorem dvferm1lem
StepHypRef Expression
1 dvferm.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
2 dvferm.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
3 dvfre 21325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X --> RR  /\  X  C_  RR )  -> 
( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
41, 2, 3syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
5 dvferm.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
64, 5ffvelrnd 5841 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  RR )
76recnd 9408 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  CC )
87subidd 9703 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
)  =  0 )
9 dvferm.u . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
10 ne0i 3640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
11 ndmioo 11323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B
)  =  (/) )
1211necon1ai 2651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
139, 10, 123syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
1413simpld 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
15 eliooord 11351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
169, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
1716simpld 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <  U )
18 ioossre 11353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A (,) B )  C_  RR
1918, 9sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
2019rexrd 9429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
21 xrltle 11122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  U  e.  RR* )  ->  ( A  <  U  ->  A  <_  U ) )
2214, 20, 21syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  <  U  ->  A  <_  U )
)
2317, 22mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  <_  U )
24 iooss1 11331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  U )  ->  ( U (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
2514, 23, 24syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
26 dvferm.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
2725, 26sstrd 3363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U (,) B
)  C_  X )
28 dvferm1.x . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )
2913simprd 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
30 dvferm1.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
3130rpred 11023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
3219, 31readdcld 9409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( U  +  T
)  e.  RR )
3332rexrd 9429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( U  +  T
)  e.  RR* )
34 ifcl 3828 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  ( U  +  T )  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  e.  RR* )
3529, 33, 34syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  if ( B  <_ 
( U  +  T
) ,  B , 
( U  +  T
) )  e.  RR* )
36 mnfxr 11090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |- -oo  e.  RR*
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> -oo  e.  RR* )
38 mnflt 11100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  e.  RR  -> -oo  <  U )
3919, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> -oo  <  U )
4016simprd 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  U  <  B )
4137, 20, 29, 39, 40xrlttrd 11129 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> -oo  <  B )
42 mnflt 11100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  +  T )  e.  RR  -> -oo  <  ( U  +  T ) )
4332, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> -oo  <  ( U  +  T ) )
44 breq2 4293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  =  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  -> 
( -oo  <  B  <-> -oo  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
45 breq2 4293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  +  T )  =  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  -> 
( -oo  <  ( U  +  T )  <-> -oo  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
4644, 45ifboth 3822 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  <  B  /\ -oo 
<  ( U  +  T ) )  -> -oo  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
4741, 43, 46syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> -oo  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
48 xrmin2 11146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  ( U  +  T )  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <_  ( U  +  T ) )
4929, 33, 48syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  if ( B  <_ 
( U  +  T
) ,  B , 
( U  +  T
) )  <_  ( U  +  T )
)
50 xrre 11137 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  e. 
RR*  /\  ( U  +  T )  e.  RR )  /\  ( -oo  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  /\  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <_ 
( U  +  T
) ) )  ->  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  e.  RR )
5135, 32, 47, 49, 50syl22anc 1214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( B  <_ 
( U  +  T
) ,  B , 
( U  +  T
) )  e.  RR )
5219, 51readdcld 9409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  e.  RR )
5352rehalfcld 10567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )  e.  RR )
5428, 53syl5eqel 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
5519, 30ltaddrpd 11052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  <  ( U  +  T ) )
56 breq2 4293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  -> 
( U  <  B  <->  U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
57 breq2 4293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  +  T )  =  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  -> 
( U  <  ( U  +  T )  <->  U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
5856, 57ifboth 3822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  <  B  /\  U  <  ( U  +  T ) )  ->  U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
5940, 55, 58syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
60 avglt1 10558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  RR  /\  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  e.  RR )  -> 
( U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <-> 
U  <  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 ) ) )
6119, 51, 60syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <-> 
U  <  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 ) ) )
6259, 61mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  <  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 ) )
6362, 28syl6breqr 4329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  <  S )
6454rexrd 9429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
65 avglt2 10559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  RR  /\  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  e.  RR )  -> 
( U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <-> 
( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
6619, 51, 65syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <-> 
( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
6759, 66mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
6828, 67syl5eqbr 4322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
69 xrmin1 11145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  ( U  +  T )  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <_  B )
7029, 33, 69syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( B  <_ 
( U  +  T
) ,  B , 
( U  +  T
) )  <_  B
)
7164, 35, 29, 68, 70xrltletrd 11131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  <  B )
72 elioo2 11337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( S  e.  ( U (,) B )  <->  ( S  e.  RR  /\  U  < 
S  /\  S  <  B ) ) )
7320, 29, 72syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( U (,) B )  <-> 
( S  e.  RR  /\  U  <  S  /\  S  <  B ) ) )
7454, 63, 71, 73mpbir3and 1166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  ( U (,) B ) )
7527, 74sseldd 3354 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
7619, 63gtned 9505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  =/=  U )
77 eldifsn 3997 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  ( X  \  { U } )  <->  ( S  e.  X  /\  S  =/= 
U ) )
7875, 76, 77sylanbrc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  ( X 
\  { U }
) )
79 dvferm1.l . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )
8019, 54, 63ltled 9518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  <_  S )
8119, 54, 80abssubge0d 12914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( S  -  U )
)  =  ( S  -  U ) )
8254, 51, 32, 68, 49ltletrd 9527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  <  ( U  +  T ) )
8354, 19, 31ltsubadd2d 9933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( S  -  U )  <  T  <->  S  <  ( U  +  T ) ) )
8482, 83mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  <  T )
8581, 84eqbrtrd 4309 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
8676, 85jca 529 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
)
87 neeq1 2614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  (
z  =/=  U  <->  S  =/=  U ) )
88 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  S  ->  (
z  -  U )  =  ( S  -  U ) )
8988fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  S  ->  ( abs `  ( z  -  U ) )  =  ( abs `  ( S  -  U )
) )
9089breq1d 4299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  (
( abs `  (
z  -  U ) )  <  T  <->  ( abs `  ( S  -  U
) )  <  T
) )
9187, 90anbi12d 705 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  S  ->  (
( z  =/=  U  /\  ( abs `  (
z  -  U ) )  <  T )  <-> 
( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
) )
92 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  S  ->  ( F `  z )  =  ( F `  S ) )
9392oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  S  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 U ) )  =  ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) ) )
9493, 88oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( F `  z )  -  ( F `  U )
)  /  ( z  -  U ) )  =  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) ) )
9594oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )  =  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )
9695fveq2d 5692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) ) )
9796breq1d 4299 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  S  ->  (
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )
9891, 97imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( z  =/= 
U  /\  ( abs `  ( z  -  U
) )  <  T
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  U ) )  / 
( z  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  (
( RR  _D  F
) `  U )
)  <->  ( ( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U ) )  < 
T )  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) )  < 
( ( RR  _D  F ) `  U
) ) ) )
9998rspcv 3066 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ( X  \  { U } )  -> 
( A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )  -> 
( ( S  =/= 
U  /\  ( abs `  ( S  -  U
) )  <  T
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  (
( RR  _D  F
) `  U )
) ) )
10078, 79, 86, 99syl3c 61 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )
1011, 75ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  e.  RR )
10226, 9sseldd 3354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  X )
1031, 102ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  U
)  e.  RR )
104101, 103resubcld 9772 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  e.  RR )
10554, 19resubcld 9772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  e.  RR )
10619, 54posdifd 9922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U  <  S  <->  0  <  ( S  -  U ) ) )
10763, 106mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( S  -  U ) )
108105, 107elrpd 11021 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  e.  RR+ )
109104, 108rerpdivcld 11050 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  e.  RR )
110109, 6, 6absdifltd 12916 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <->  ( (
( ( RR  _D  F ) `  U
)  -  ( ( RR  _D  F ) `
 U ) )  <  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  /\  (
( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  /  ( S  -  U ) )  <  ( ( ( RR  _D  F ) `
 U )  +  ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) ) ) )
111100, 110mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( RR  _D  F ) `
 U )  -  ( ( RR  _D  F ) `  U
) )  <  (
( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  /  ( S  -  U ) )  /\  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  <  (
( ( RR  _D  F ) `  U
)  +  ( ( RR  _D  F ) `
 U ) ) ) )
112111simpld 456 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
)  <  ( (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) ) )
1138, 112eqbrtrrd 4311 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) ) )
114 gt0div 10191 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  e.  RR  /\  ( S  -  U
)  e.  RR  /\  0  <  ( S  -  U ) )  -> 
( 0  <  (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) ) ) )
115104, 105, 107, 114syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) ) ) )
116113, 115mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) ) )
117103, 101posdifd 9922 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  U )  <  ( F `  S )  <->  0  <  ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) ) ) )
118116, 117mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  U
)  <  ( F `  S ) )
119 dvferm1.r . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( U (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
120 fveq2 5688 . . . . . 6  |-  ( y  =  S  ->  ( F `  y )  =  ( F `  S ) )
121120breq1d 4299 . . . . 5  |-  ( y  =  S  ->  (
( F `  y
)  <_  ( F `  U )  <->  ( F `  S )  <_  ( F `  U )
) )
122121rspcv 3066 . . . 4  |-  ( S  e.  ( U (,) B )  ->  ( A. y  e.  ( U (,) B ) ( F `  y )  <_  ( F `  U )  ->  ( F `  S )  <_  ( F `  U
) ) )
12374, 119, 122sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  <_  ( F `  U ) )
124101, 103lenltd 9516 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  <_  ( F `  U )  <->  -.  ( F `  U
)  <  ( F `  S ) ) )
125123, 124mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  U )  <  ( F `  S )
)
126118, 125pm2.65i 173 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713    \ cdif 3322    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ifcif 3788   {csn 3874   class class class wbr 4289   dom cdm 4836   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278    + caddc 9281   -oocmnf 9412   RR*cxr 9413    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   2c2 10367   RR+crp 10987   (,)cioo 11296   abscabs 12719    _D cdv 21238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-icc 11303  df-fz 11434  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-rest 14357  df-topn 14358  df-topgen 14378  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-fbas 17714  df-fg 17715  df-cnfld 17719  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cld 18523  df-ntr 18524  df-cls 18525  df-nei 18602  df-lp 18640  df-perf 18641  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-haus 18819  df-fil 19319  df-fm 19411  df-flim 19412  df-flf 19413  df-xms 19795  df-ms 19796  df-cncf 20354  df-limc 21241  df-dv 21242
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