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Theorem dvferm1lem 22136
Description: Lemma for dvferm 22140. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
dvferm.b  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
dvferm.u  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
dvferm.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
dvferm.d  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
dvferm1.r  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( U (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
dvferm1.z  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( RR  _D  F ) `
 U ) )
dvferm1.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
dvferm1.l  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )
dvferm1.x  |-  S  =  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )
Assertion
Ref Expression
dvferm1lem  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    y, z, A    y, B, z    y, F, z    y, U, z   
y, X, z    ph, y    y, S, z    z, T
Allowed substitution hints:    ph( z)    T( y)

Proof of Theorem dvferm1lem
StepHypRef Expression
1 dvferm.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
2 dvferm.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
3 dvfre 22105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X --> RR  /\  X  C_  RR )  -> 
( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
41, 2, 3syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
5 dvferm.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
64, 5ffvelrnd 6021 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  RR )
76recnd 9621 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  CC )
87subidd 9917 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
)  =  0 )
9 dvferm.u . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
10 ne0i 3791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
11 ndmioo 11555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B
)  =  (/) )
1211necon1ai 2698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
139, 10, 123syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
1413simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
15 eliooord 11583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
169, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
1716simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <  U )
18 ioossre 11585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A (,) B )  C_  RR
1918, 9sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
2019rexrd 9642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
21 xrltle 11354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  U  e.  RR* )  ->  ( A  <  U  ->  A  <_  U ) )
2214, 20, 21syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  <  U  ->  A  <_  U )
)
2317, 22mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  <_  U )
24 iooss1 11563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  U )  ->  ( U (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
2514, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
26 dvferm.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
2725, 26sstrd 3514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U (,) B
)  C_  X )
28 dvferm1.x . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )
2913simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
30 dvferm1.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
3130rpred 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
3219, 31readdcld 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( U  +  T
)  e.  RR )
3332rexrd 9642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( U  +  T
)  e.  RR* )
34 ifcl 3981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  ( U  +  T )  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  e.  RR* )
3529, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  if ( B  <_ 
( U  +  T
) ,  B , 
( U  +  T
) )  e.  RR* )
36 mnfxr 11322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |- -oo  e.  RR*
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> -oo  e.  RR* )
38 mnflt 11332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  e.  RR  -> -oo  <  U )
3919, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> -oo  <  U )
4016simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  U  <  B )
4137, 20, 29, 39, 40xrlttrd 11361 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> -oo  <  B )
42 mnflt 11332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  +  T )  e.  RR  -> -oo  <  ( U  +  T ) )
4332, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> -oo  <  ( U  +  T ) )
44 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  =  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  -> 
( -oo  <  B  <-> -oo  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
45 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  +  T )  =  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  -> 
( -oo  <  ( U  +  T )  <-> -oo  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
4644, 45ifboth 3975 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  <  B  /\ -oo 
<  ( U  +  T ) )  -> -oo  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
4741, 43, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> -oo  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
48 xrmin2 11378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  ( U  +  T )  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <_  ( U  +  T ) )
4929, 33, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  if ( B  <_ 
( U  +  T
) ,  B , 
( U  +  T
) )  <_  ( U  +  T )
)
50 xrre 11369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  e. 
RR*  /\  ( U  +  T )  e.  RR )  /\  ( -oo  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  /\  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <_ 
( U  +  T
) ) )  ->  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  e.  RR )
5135, 32, 47, 49, 50syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( B  <_ 
( U  +  T
) ,  B , 
( U  +  T
) )  e.  RR )
5219, 51readdcld 9622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  e.  RR )
5352rehalfcld 10784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )  e.  RR )
5428, 53syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
5519, 30ltaddrpd 11284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  <  ( U  +  T ) )
56 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  -> 
( U  <  B  <->  U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
57 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  +  T )  =  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  -> 
( U  <  ( U  +  T )  <->  U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
5856, 57ifboth 3975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  <  B  /\  U  <  ( U  +  T ) )  ->  U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
5940, 55, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
60 avglt1 10775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  RR  /\  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  e.  RR )  -> 
( U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <-> 
U  <  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 ) ) )
6119, 51, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <-> 
U  <  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 ) ) )
6259, 61mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  <  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 ) )
6362, 28syl6breqr 4487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  <  S )
6454rexrd 9642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
65 avglt2 10776 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  RR  /\  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  e.  RR )  -> 
( U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <-> 
( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
6619, 51, 65syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <-> 
( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
6759, 66mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
6828, 67syl5eqbr 4480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
69 xrmin1 11377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  ( U  +  T )  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <_  B )
7029, 33, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( B  <_ 
( U  +  T
) ,  B , 
( U  +  T
) )  <_  B
)
7164, 35, 29, 68, 70xrltletrd 11363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  <  B )
72 elioo2 11569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( S  e.  ( U (,) B )  <->  ( S  e.  RR  /\  U  < 
S  /\  S  <  B ) ) )
7320, 29, 72syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( U (,) B )  <-> 
( S  e.  RR  /\  U  <  S  /\  S  <  B ) ) )
7454, 63, 71, 73mpbir3and 1179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  ( U (,) B ) )
7527, 74sseldd 3505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
7619, 63gtned 9718 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  =/=  U )
77 eldifsn 4152 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  ( X  \  { U } )  <->  ( S  e.  X  /\  S  =/= 
U ) )
7875, 76, 77sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  ( X 
\  { U }
) )
79 dvferm1.l . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )
8019, 54, 63ltled 9731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  <_  S )
8119, 54, 80abssubge0d 13225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( S  -  U )
)  =  ( S  -  U ) )
8254, 51, 32, 68, 49ltletrd 9740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  <  ( U  +  T ) )
8354, 19, 31ltsubadd2d 10149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( S  -  U )  <  T  <->  S  <  ( U  +  T ) ) )
8482, 83mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  <  T )
8581, 84eqbrtrd 4467 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
8676, 85jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
)
87 neeq1 2748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  (
z  =/=  U  <->  S  =/=  U ) )
88 oveq1 6290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  S  ->  (
z  -  U )  =  ( S  -  U ) )
8988fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  S  ->  ( abs `  ( z  -  U ) )  =  ( abs `  ( S  -  U )
) )
9089breq1d 4457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  (
( abs `  (
z  -  U ) )  <  T  <->  ( abs `  ( S  -  U
) )  <  T
) )
9187, 90anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  S  ->  (
( z  =/=  U  /\  ( abs `  (
z  -  U ) )  <  T )  <-> 
( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
) )
92 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  S  ->  ( F `  z )  =  ( F `  S ) )
9392oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  S  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 U ) )  =  ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) ) )
9493, 88oveq12d 6301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( F `  z )  -  ( F `  U )
)  /  ( z  -  U ) )  =  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) ) )
9594oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )  =  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )
9695fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) ) )
9796breq1d 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  S  ->  (
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )
9891, 97imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( z  =/= 
U  /\  ( abs `  ( z  -  U
) )  <  T
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  U ) )  / 
( z  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  (
( RR  _D  F
) `  U )
)  <->  ( ( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U ) )  < 
T )  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) )  < 
( ( RR  _D  F ) `  U
) ) ) )
9998rspcv 3210 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ( X  \  { U } )  -> 
( A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )  -> 
( ( S  =/= 
U  /\  ( abs `  ( S  -  U
) )  <  T
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  (
( RR  _D  F
) `  U )
) ) )
10078, 79, 86, 99syl3c 61 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )
1011, 75ffvelrnd 6021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  e.  RR )
10226, 9sseldd 3505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  X )
1031, 102ffvelrnd 6021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  U
)  e.  RR )
104101, 103resubcld 9986 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  e.  RR )
10554, 19resubcld 9986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  e.  RR )
10619, 54posdifd 10138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U  <  S  <->  0  <  ( S  -  U ) ) )
10763, 106mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( S  -  U ) )
108105, 107elrpd 11253 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  e.  RR+ )
109104, 108rerpdivcld 11282 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  e.  RR )
110109, 6, 6absdifltd 13227 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <->  ( (
( ( RR  _D  F ) `  U
)  -  ( ( RR  _D  F ) `
 U ) )  <  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  /\  (
( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  /  ( S  -  U ) )  <  ( ( ( RR  _D  F ) `
 U )  +  ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) ) ) )
111100, 110mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( RR  _D  F ) `
 U )  -  ( ( RR  _D  F ) `  U
) )  <  (
( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  /  ( S  -  U ) )  /\  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  <  (
( ( RR  _D  F ) `  U
)  +  ( ( RR  _D  F ) `
 U ) ) ) )
112111simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
)  <  ( (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) ) )
1138, 112eqbrtrrd 4469 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) ) )
114 gt0div 10407 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  e.  RR  /\  ( S  -  U
)  e.  RR  /\  0  <  ( S  -  U ) )  -> 
( 0  <  (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  S
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 U ) )  /  ( S  -  U ) ) ) )
115104, 105, 107, 114syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) ) ) )
116113, 115mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) ) )
117103, 101posdifd 10138 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  U )  <  ( F `  S )  <->  0  <  ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) ) ) )
118116, 117mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  U
)  <  ( F `  S ) )
119 dvferm1.r . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( U (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
120 fveq2 5865 . . . . . 6  |-  ( y  =  S  ->  ( F `  y )  =  ( F `  S ) )
121120breq1d 4457 . . . . 5  |-  ( y  =  S  ->  (
( F `  y
)  <_  ( F `  U )  <->  ( F `  S )  <_  ( F `  U )
) )
122121rspcv 3210 . . . 4  |-  ( S  e.  ( U (,) B )  ->  ( A. y  e.  ( U (,) B ) ( F `  y )  <_  ( F `  U )  ->  ( F `  S )  <_  ( F `  U
) ) )
12374, 119, 122sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  <_  ( F `  U ) )
124101, 103lenltd 9729 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  <_  ( F `  U )  <->  -.  ( F `  U
)  <  ( F `  S ) ) )
125123, 124mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  U )  <  ( F `  S )
)
126118, 125pm2.65i 173 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814    \ cdif 3473    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   {csn 4027   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   RRcr 9490   0cc0 9491    + caddc 9494   -oocmnf 9625   RR*cxr 9626    < clt 9627    <_ cle 9628    - cmin 9804    / cdiv 10205   2c2 10584   RR+crp 11219   (,)cioo 11528   abscabs 13029    _D cdv 22018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7870  df-sup 7900  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-ioo 11532  df-icc 11535  df-fz 11672  df-seq 12075  df-exp 12134  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-rest 14677  df-topn 14678  df-topgen 14698  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-fbas 18203  df-fg 18204  df-cnfld 18208  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186  df-cld 19302  df-ntr 19303  df-cls 19304  df-nei 19381  df-lp 19419  df-perf 19420  df-cn 19510  df-cnp 19511  df-haus 19598  df-fil 20098  df-fm 20190  df-flim 20191  df-flf 20192  df-xms 20574  df-ms 20575  df-cncf 21133  df-limc 22021  df-dv 22022
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