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Theorem dvferm1lem 22928
Description: Lemma for dvferm 22932. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
dvferm.b  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
dvferm.u  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
dvferm.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
dvferm.d  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
dvferm1.r  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( U (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
dvferm1.z  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( RR  _D  F ) `
 U ) )
dvferm1.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
dvferm1.l  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )
dvferm1.x  |-  S  =  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )
Assertion
Ref Expression
dvferm1lem  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    y, z, A    y, B, z    y, F, z    y, U, z   
y, X, z    ph, y    y, S, z    z, T
Allowed substitution hints:    ph( z)    T( y)

Proof of Theorem dvferm1lem
StepHypRef Expression
1 dvferm.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
2 dvferm.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
3 dvfre 22897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X --> RR  /\  X  C_  RR )  -> 
( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
41, 2, 3syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
5 dvferm.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
64, 5ffvelrnd 6036 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  RR )
76recnd 9671 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  CC )
87subidd 9976 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
)  =  0 )
9 dvferm.u . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
10 ne0i 3768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
11 ndmioo 11665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B
)  =  (/) )
1211necon1ai 2656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
139, 10, 123syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
1413simpld 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
15 eliooord 11696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
169, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
1716simpld 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <  U )
18 ioossre 11698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A (,) B )  C_  RR
1918, 9sseldi 3463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
2019rexrd 9692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
21 xrltle 11450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  U  e.  RR* )  ->  ( A  <  U  ->  A  <_  U ) )
2214, 20, 21syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  <  U  ->  A  <_  U )
)
2317, 22mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  <_  U )
24 iooss1 11673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  U )  ->  ( U (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
2514, 23, 24syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
26 dvferm.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
2725, 26sstrd 3475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U (,) B
)  C_  X )
28 dvferm1.x . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )
2913simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
30 dvferm1.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
3130rpred 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
3219, 31readdcld 9672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( U  +  T
)  e.  RR )
3332rexrd 9692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( U  +  T
)  e.  RR* )
3429, 33ifcld 3953 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  if ( B  <_ 
( U  +  T
) ,  B , 
( U  +  T
) )  e.  RR* )
35 mnfxr 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |- -oo  e.  RR*
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> -oo  e.  RR* )
37 mnflt 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  e.  RR  -> -oo  <  U )
3819, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> -oo  <  U )
3916simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  U  <  B )
4036, 20, 29, 38, 39xrlttrd 11458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> -oo  <  B )
41 mnflt 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  +  T )  e.  RR  -> -oo  <  ( U  +  T ) )
4232, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> -oo  <  ( U  +  T ) )
43 breq2 4425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  =  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  -> 
( -oo  <  B  <-> -oo  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
44 breq2 4425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  +  T )  =  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  -> 
( -oo  <  ( U  +  T )  <-> -oo  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
4543, 44ifboth 3946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  <  B  /\ -oo 
<  ( U  +  T ) )  -> -oo  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
4640, 42, 45syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> -oo  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
47 xrmin2 11475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  ( U  +  T )  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <_  ( U  +  T ) )
4829, 33, 47syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  if ( B  <_ 
( U  +  T
) ,  B , 
( U  +  T
) )  <_  ( U  +  T )
)
49 xrre 11466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  e. 
RR*  /\  ( U  +  T )  e.  RR )  /\  ( -oo  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  /\  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <_ 
( U  +  T
) ) )  ->  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  e.  RR )
5034, 32, 46, 48, 49syl22anc 1266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( B  <_ 
( U  +  T
) ,  B , 
( U  +  T
) )  e.  RR )
5119, 50readdcld 9672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  e.  RR )
5251rehalfcld 10861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )  e.  RR )
5328, 52syl5eqel 2515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
5419, 30ltaddrpd 11373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  <  ( U  +  T ) )
55 breq2 4425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  -> 
( U  <  B  <->  U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
56 breq2 4425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  +  T )  =  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  -> 
( U  <  ( U  +  T )  <->  U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
5755, 56ifboth 3946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  <  B  /\  U  <  ( U  +  T ) )  ->  U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
5839, 54, 57syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
59 avglt1 10852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  RR  /\  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  e.  RR )  -> 
( U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <-> 
U  <  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 ) ) )
6019, 50, 59syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <-> 
U  <  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 ) ) )
6158, 60mpbid 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  <  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 ) )
6261, 28syl6breqr 4462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  <  S )
6353rexrd 9692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
64 avglt2 10853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  RR  /\  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  e.  RR )  -> 
( U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <-> 
( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
6519, 50, 64syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <-> 
( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
6658, 65mpbid 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
6728, 66syl5eqbr 4455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
68 xrmin1 11474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  ( U  +  T )  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <_  B )
6929, 33, 68syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( B  <_ 
( U  +  T
) ,  B , 
( U  +  T
) )  <_  B
)
7063, 34, 29, 67, 69xrltletrd 11460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  <  B )
71 elioo2 11679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( S  e.  ( U (,) B )  <->  ( S  e.  RR  /\  U  < 
S  /\  S  <  B ) ) )
7220, 29, 71syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( U (,) B )  <-> 
( S  e.  RR  /\  U  <  S  /\  S  <  B ) ) )
7353, 62, 70, 72mpbir3and 1189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  ( U (,) B ) )
7427, 73sseldd 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
7519, 62gtned 9772 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  =/=  U )
76 eldifsn 4123 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  ( X  \  { U } )  <->  ( S  e.  X  /\  S  =/= 
U ) )
7774, 75, 76sylanbrc 669 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  ( X 
\  { U }
) )
78 dvferm1.l . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )
7919, 53, 62ltled 9785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  <_  S )
8019, 53, 79abssubge0d 13487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( S  -  U )
)  =  ( S  -  U ) )
8153, 50, 32, 67, 48ltletrd 9797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  <  ( U  +  T ) )
8253, 19, 31ltsubadd2d 10213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( S  -  U )  <  T  <->  S  <  ( U  +  T ) ) )
8381, 82mpbird 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  <  T )
8480, 83eqbrtrd 4442 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
8575, 84jca 535 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
)
86 neeq1 2706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  (
z  =/=  U  <->  S  =/=  U ) )
87 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  S  ->  (
z  -  U )  =  ( S  -  U ) )
8887fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  S  ->  ( abs `  ( z  -  U ) )  =  ( abs `  ( S  -  U )
) )
8988breq1d 4431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  (
( abs `  (
z  -  U ) )  <  T  <->  ( abs `  ( S  -  U
) )  <  T
) )
9086, 89anbi12d 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  S  ->  (
( z  =/=  U  /\  ( abs `  (
z  -  U ) )  <  T )  <-> 
( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
) )
91 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  S  ->  ( F `  z )  =  ( F `  S ) )
9291oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  S  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 U ) )  =  ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) ) )
9392, 87oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( F `  z )  -  ( F `  U )
)  /  ( z  -  U ) )  =  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) ) )
9493oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )  =  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )
9594fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) ) )
9695breq1d 4431 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  S  ->  (
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )
9790, 96imbi12d 322 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( z  =/= 
U  /\  ( abs `  ( z  -  U
) )  <  T
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  U ) )  / 
( z  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  (
( RR  _D  F
) `  U )
)  <->  ( ( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U ) )  < 
T )  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) )  < 
( ( RR  _D  F ) `  U
) ) ) )
9897rspcv 3179 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ( X  \  { U } )  -> 
( A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )  -> 
( ( S  =/= 
U  /\  ( abs `  ( S  -  U
) )  <  T
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  (
( RR  _D  F
) `  U )
) ) )
9977, 78, 85, 98syl3c 64 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )
1001, 74ffvelrnd 6036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  e.  RR )
10126, 9sseldd 3466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  X )
1021, 101ffvelrnd 6036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  U
)  e.  RR )
103100, 102resubcld 10049 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  e.  RR )
10453, 19resubcld 10049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  e.  RR )
10519, 53posdifd 10202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U  <  S  <->  0  <  ( S  -  U ) ) )
10662, 105mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( S  -  U ) )
107104, 106elrpd 11340 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  e.  RR+ )
108103, 107rerpdivcld 11371 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  e.  RR )
109108, 6, 6absdifltd 13489 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <->  ( (
( ( RR  _D  F ) `  U
)  -  ( ( RR  _D  F ) `
 U ) )  <  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  /\  (
( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  /  ( S  -  U ) )  <  ( ( ( RR  _D  F ) `
 U )  +  ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) ) ) )
11099, 109mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( RR  _D  F ) `
 U )  -  ( ( RR  _D  F ) `  U
) )  <  (
( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  /  ( S  -  U ) )  /\  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  <  (
( ( RR  _D  F ) `  U
)  +  ( ( RR  _D  F ) `
 U ) ) ) )
111110simpld 461 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
)  <  ( (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) ) )
1128, 111eqbrtrrd 4444 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) ) )
113 gt0div 10473 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  e.  RR  /\  ( S  -  U
)  e.  RR  /\  0  <  ( S  -  U ) )  -> 
( 0  <  (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) ) ) )
114103, 104, 106, 113syl3anc 1265 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) ) ) )
115112, 114mpbird 236 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) ) )
116102, 100posdifd 10202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  U )  <  ( F `  S )  <->  0  <  ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) ) ) )
117115, 116mpbird 236 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  U
)  <  ( F `  S ) )
118 dvferm1.r . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( U (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
119 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( y  =  S  ->  ( F `  y )  =  ( F `  S ) )
120119breq1d 4431 . . . . 5  |-  ( y  =  S  ->  (
( F `  y
)  <_  ( F `  U )  <->  ( F `  S )  <_  ( F `  U )
) )
121120rspcv 3179 . . . 4  |-  ( S  e.  ( U (,) B )  ->  ( A. y  e.  ( U (,) B ) ( F `  y )  <_  ( F `  U )  ->  ( F `  S )  <_  ( F `  U
) ) )
12273, 118, 121sylc 63 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  <_  ( F `  U ) )
123100, 102lenltd 9783 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  <_  ( F `  U )  <->  -.  ( F `  U
)  <  ( F `  S ) ) )
124122, 123mpbid 214 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  U )  <  ( F `  S )
)
125117, 124pm2.65i 177 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   A.wral 2776    \ cdif 3434    C_ wss 3437   (/)c0 3762   ifcif 3910   {csn 3997   class class class wbr 4421   dom cdm 4851   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   RRcr 9540   0cc0 9541    + caddc 9544   -oocmnf 9675   RR*cxr 9676    < clt 9677    <_ cle 9678    - cmin 9862    / cdiv 10271   2c2 10661   RR+crp 11304   (,)cioo 11637   abscabs 13291    _D cdv 22810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-ioo 11641  df-icc 11644  df-fz 11787  df-seq 12215  df-exp 12274  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-rest 15314  df-topn 15315  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-topsp 19916  df-cld 20026  df-ntr 20027  df-cls 20028  df-nei 20106  df-lp 20144  df-perf 20145  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-haus 20323  df-fil 20853  df-fm 20945  df-flim 20946  df-flf 20947  df-xms 21327  df-ms 21328  df-cncf 21902  df-limc 22813  df-dv 22814
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