Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvferm1 23552
 Description: One-sided version of dvferm 23555. A point 𝑈 which is the local maximum of its right neighborhood has derivative at most zero. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm1.r (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
Assertion
Ref Expression
dvferm1 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ≤ 0)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem dvferm1
Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvferm.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
2 dvferm.b . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
3 dvfre 23520 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
41, 2, 3syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
5 dvferm.d . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
64, 5ffvelrnd 6268 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
76anim1i 590 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
8 elrp 11710 . . . . 5 (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ+ ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
97, 8sylibr 223 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ+)
10 dvf 23477 . . . . . . . . . . 11 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
11 ffun 5961 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℝ D 𝐹))
12 funfvbrb 6238 . . . . . . . . . . 11 (Fun (ℝ D 𝐹) → (𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
1310, 11, 12mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
145, 13sylib 207 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
15 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
16 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
17 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))
18 ax-resscn 9872 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
1918a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
20 fss 5969 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
211, 18, 20sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
2215, 16, 17, 19, 21, 2eldv 23468 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (𝑈 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈))) lim 𝑈))))
2314, 22mpbid 221 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈))) lim 𝑈)))
2423simprd 478 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈))) lim 𝑈))
2524adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈))) lim 𝑈))
262, 18syl6ss 3580 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
27 dvferm.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
28 dvferm.u . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2927, 28sseldd 3569 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝑋)
3021, 26, 29dvlem 23466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})) → (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)) ∈ ℂ)
3130, 17fmptd 6292 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈))):(𝑋 ∖ {𝑈})⟶ℂ)
3231adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈))):(𝑋 ∖ {𝑈})⟶ℂ)
3326adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
3433ssdifssd 3710 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → (𝑋 ∖ {𝑈}) ⊆ ℂ)
3526, 29sseldd 3569 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
3635adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → 𝑈 ∈ ℂ)
3732, 34, 36ellimc3 23449 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈))) lim 𝑈) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦))))
3825, 37mpbid 221 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦)))
3938simprd 478 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦))
40 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
4140oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)))
42 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑈) = (𝑧𝑈))
4341, 42oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)))
44 ovex 6577 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) ∈ V
4543, 17, 44fvmpt 6191 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) → ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)))
4645oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) → (((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
4746fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
48 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) → 𝑦 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
4947, 48breqan12rd 4600 . . . . . . . 8 ((𝑦 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})) → ((abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦 ↔ (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
5049imbi2d 329 . . . . . . 7 ((𝑦 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})) → (((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦) ↔ ((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
5150ralbidva 2968 . . . . . 6 (𝑦 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) → (∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
5251rexbidv 3034 . . . . 5 (𝑦 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) → (∃𝑢 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
5352rspcv 3278 . . . 4 (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ+ → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
549, 39, 53sylc 63 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
551ad3antrrr 762 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
562ad3antrrr 762 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑋 ⊆ ℝ)
5728ad3antrrr 762 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
5827ad3antrrr 762 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
595ad3antrrr 762 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
60 dvferm1.r . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
6160ad3antrrr 762 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
62 simpllr 795 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
63 simplr 788 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑢 ∈ ℝ+)
64 simpr 476 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
65 eqid 2610 . . . . . 6 ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑢), 𝐵, (𝑈 + 𝑢))) / 2) = ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑢), 𝐵, (𝑈 + 𝑢))) / 2)
6655, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 65dvferm1lem 23551 . . . . 5 ¬ (((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
6766imnani 438 . . . 4 (((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
6867nrexdv 2984 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → ¬ ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
6954, 68pm2.65da 598 . 2 (𝜑 → ¬ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
70 0re 9919 . . 3 0 ∈ ℝ
71 lenlt 9995 . . 3 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
726, 70, 71sylancl 693 . 2 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
7369, 72mpbird 246 1 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ≤ 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  ℝ+crp 11708  (,)cioo 12046  abscabs 13822   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ℂfldccnfld 19567  intcnt 20631   limℂ climc 23432   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  dvferm  23555  dvivthlem1  23575
 Copyright terms: Public domain W3C validator