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Theorem nmoleub2lem 22722
 Description: Lemma for nmoleub2a 22725 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2lem.5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
nmoleub2lem.6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦)))
nmoleub2lem.7 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝜓 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nmoleub2lem
StepHypRef Expression
1 nmoleub2lem.7 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝜓 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
21adantlr 747 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥𝑉) → (𝜓 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
3 inss1 3795 . . . . . . . . . . . 12 (NrmMod ∩ ℂMod) ⊆ NrmMod
4 nmoleub2.t . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
53, 4sseldi 3566 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ NrmMod)
6 nlmngp 22291 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
87ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
9 nmoleub2.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
10 nmoleub2.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Base‘𝑆)
11 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
1210, 11lmhmf 18855 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
139, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
1413ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
15 simprl 790 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑥𝑉)
1614, 15ffvelrnd 6268 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
17 nmoleub2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (norm‘𝑇)
1811, 17nmcl 22230 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
198, 16, 18syl2anc 691 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
20 nmoleub2.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
2120ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
2219, 21rerpdivcld 11779 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ)
2322rexrd 9968 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ*)
24 nmoleub2.s . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
253, 24sseldi 3566 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ NrmMod)
26 nlmngp 22291 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ NrmGrp)
28 lmghm 18852 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
299, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
30 nmoleub2.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
3130nmocl 22334 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
3227, 7, 29, 31syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
3332ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
34 nmoleub2.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3534ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3621rpred 11748 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
37 rexmul 11973 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) · 𝑅))
3822, 36, 37syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) · 𝑅))
3919recnd 9947 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
4036recnd 9947 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
4121rpne0d 11753 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
4239, 40, 41divcan1d 10681 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) · 𝑅) = (𝑀‘(𝐹𝑥)))
4338, 42eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (𝑀‘(𝐹𝑥)))
4419rexrd 9968 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ*)
4527ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
46 nmoleub2.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (norm‘𝑆)
4710, 46nmcl 22230 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
4845, 15, 47syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
4948rexrd 9968 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ*)
5033, 49xmulcld 12004 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑥)) ∈ ℝ*)
5121rpxrd 11749 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
5233, 51xmulcld 12004 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁𝐹) ·e 𝑅) ∈ ℝ*)
5329ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
5430, 10, 46, 17nmoix 22343 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑥)))
5545, 8, 53, 15, 54syl31anc 1321 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑥)))
5630nmoge0 22335 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁𝐹))
5727, 7, 29, 56syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝐹))
5832, 57jca 553 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝐹)))
5958ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝐹)))
60 simprr 792 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)
61 xlemul2a 11991 . . . . . . . . . 10 ((((𝐿𝑥) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ* ∧ ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝐹))) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅) → ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅))
6249, 51, 59, 60, 61syl31anc 1321 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅))
6344, 50, 52, 55, 62xrletrd 11869 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅))
6443, 63eqbrtrd 4605 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅))
65 xlemul1 11992 . . . . . . . 8 ((((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ+) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁𝐹) ↔ (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅)))
6623, 33, 21, 65syl3anc 1318 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁𝐹) ↔ (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅)))
6764, 66mpbird 246 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁𝐹))
68 simplr 788 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
6923, 33, 35, 67, 68xrletrd 11869 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)
7069expr 641 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐿𝑥) ≤ 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
712, 70syld 46 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥𝑉) → (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
7271ralrimiva 2949 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) → ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
73 eqid 2610 . . . 4 (0g𝑆) = (0g𝑆)
7427ad2antrr 758 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
757ad2antrr 758 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
7629ad2antrr 758 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
77 simpr 476 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
78 nmoleub2lem.5 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
7978adantr 480 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐴)
80 nmoleub2lem.6 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦)))
8130, 10, 46, 17, 73, 74, 75, 76, 77, 79, 80nmolb2d 22332 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
8232ad2antrr 758 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
83 pnfge 11840 . . . . 5 ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* → (𝑁𝐹) ≤ +∞)
8482, 83syl 17 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁𝐹) ≤ +∞)
85 simpr 476 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
8684, 85breqtrrd 4611 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
8734adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
88 ge0nemnf 11878 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
8987, 78, 88syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ≠ -∞)
9087, 89jca 553 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
91 xrnemnf 11827 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
9290, 91sylib 207 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
9381, 86, 92mpjaodan 823 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
9472, 93impbida 873 1 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ∩ cin 3539   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  ℝ+crp 11708   ·e cxmu 11821  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771  0gc0g 15923   GrpHom cghm 17480   LMHom clmhm 18840  normcnm 22191  NrmGrpcngp 22192  NrmModcnlm 22195   normOp cnmo 22319  ℂModcclm 22670 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-0g 15925  df-topgen 15927  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-ghm 17481  df-lmhm 18843  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-xms 21935  df-ms 21936  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-nlm 22201  df-nmo 22322  df-nghm 22323 This theorem is referenced by:  nmoleub2lem2  22724  nmoleub3  22727
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