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Theorem nmoleub2lem 20691
Description: Lemma for nmoleub2a 20694 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n  |-  N  =  ( S normOp T )
nmoleub2.v  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmoleub2.l  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmoleub2.m  |-  M  =  ( norm `  T
)
nmoleub2.g  |-  G  =  (Scalar `  S )
nmoleub2.w  |-  K  =  ( Base `  G
)
nmoleub2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
nmoleub2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
nmoleub2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S LMHom 
T ) )
nmoleub2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
nmoleub2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
nmoleub2lem.5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  0  <_  A
)
nmoleub2lem.6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( M `  ( F `  y ) )  <_  ( A  x.  ( L `  y
) ) )
nmoleub2lem.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( ps  ->  ( L `  x )  <_  R
) )
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  <_  A  <->  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, F, y    x, L, y    x, N, y   
x, M, y    ph, x, y    ps, y    x, S, y    x, V, y   
x, R, y    y, T
Allowed substitution hints:    ps( x)    T( x)    G( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem nmoleub2lem
StepHypRef Expression
1 nmoleub2lem.7 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( ps  ->  ( L `  x )  <_  R
) )
21adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  x  e.  V )  ->  ( ps  ->  ( L `  x )  <_  R
) )
3 inss1 3591 . . . . . . . . . . . 12  |-  (NrmMod  i^i CMod ) 
C_ NrmMod
4 nmoleub2.t . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
53, 4sseldi 3375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e. NrmMod )
6 nlmngp 20280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e. NrmGrp )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  e. NrmGrp )
87ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  T  e. NrmGrp )
9 nmoleub2.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S LMHom 
T ) )
10 nmoleub2.v . . . . . . . . . . . . 13  |-  V  =  ( Base `  S
)
11 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
1210, 11lmhmf 17137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F : V
--> ( Base `  T
) )
139, 12syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : V --> ( Base `  T ) )
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  F : V --> ( Base `  T )
)
15 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  x  e.  V
)
1614, 15ffvelrnd 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( F `  x )  e.  (
Base `  T )
)
17 nmoleub2.m . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( norm `  T
)
1811, 17nmcl 20229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
) )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  e.  RR )
198, 16, 18syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  e.  RR )
20 nmoleub2.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
2120ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  R  e.  RR+ )
2219, 21rerpdivcld 11075 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  e.  RR )
2322rexrd 9454 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  e.  RR* )
24 nmoleub2.s . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
253, 24sseldi 3375 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e. NrmMod )
26 nlmngp 20280 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e. NrmGrp )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e. NrmGrp )
28 lmghm 17134 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
299, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S 
GrpHom  T ) )
30 nmoleub2.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( S normOp T )
3130nmocl 20321 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
3227, 7, 29, 31syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  F
)  e.  RR* )
3332ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
34 nmoleub2.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
3534ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  A  e.  RR* )
3621rpred 11048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  R  e.  RR )
37 rexmul 11255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  (
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R ) xe R )  =  ( ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  x.  R ) )
3822, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R ) xe R )  =  ( ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  x.  R
) )
3919recnd 9433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  e.  CC )
4036recnd 9433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  R  e.  CC )
4121rpne0d 11053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  R  =/=  0
)
4239, 40, 41divcan1d 10129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  x.  R )  =  ( M `  ( F `
 x ) ) )
4338, 42eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R ) xe R )  =  ( M `  ( F `  x )
) )
4419rexrd 9454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  e.  RR* )
4527ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  S  e. NrmGrp )
46 nmoleub2.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  =  ( norm `  S
)
4710, 46nmcl 20229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  x  e.  V )  ->  ( L `  x )  e.  RR )
4845, 15, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( L `  x )  e.  RR )
4948rexrd 9454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( L `  x )  e.  RR* )
5033, 49xmulcld 11286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( N `
 F ) xe ( L `  x ) )  e. 
RR* )
5121rpxrd 11049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  R  e.  RR* )
5233, 51xmulcld 11286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( N `
 F ) xe R )  e. 
RR* )
5329ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
5430, 10, 46, 17nmoix 20330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  x
) )  <_  (
( N `  F
) xe ( L `  x ) ) )
5545, 8, 53, 15, 54syl31anc 1221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( ( N `  F ) xe ( L `
 x ) ) )
5630nmoge0 20322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  F )
)
5727, 7, 29, 56syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  F ) )
5832, 57jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  F ) ) )
5958ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( N `
 F )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( N `  F ) ) )
60 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( L `  x )  <_  R
)
61 xlemul2a 11273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( L `  x )  e.  RR*  /\  R  e.  RR*  /\  (
( N `  F
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  F
) ) )  /\  ( L `  x )  <_  R )  -> 
( ( N `  F ) xe ( L `  x
) )  <_  (
( N `  F
) xe R ) )
6249, 51, 59, 60, 61syl31anc 1221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( N `
 F ) xe ( L `  x ) )  <_ 
( ( N `  F ) xe R ) )
6344, 50, 52, 55, 62xrletrd 11157 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( ( N `  F ) xe R ) )
6443, 63eqbrtrd 4333 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R ) xe R )  <_ 
( ( N `  F ) xe R ) )
65 xlemul1 11274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  e.  RR*  /\  ( N `  F )  e.  RR*  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( ( ( M `  ( F `  x )
)  /  R )  <_  ( N `  F )  <->  ( (
( M `  ( F `  x )
)  /  R ) xe R )  <_  ( ( N `
 F ) xe R ) ) )
6623, 33, 21, 65syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_ 
( N `  F
)  <->  ( ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R ) xe R )  <_ 
( ( N `  F ) xe R ) ) )
6764, 66mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  ( N `  F )
)
68 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( N `  F )  <_  A
)
6923, 33, 35, 67, 68xrletrd 11157 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
)
7069expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  x  e.  V )  ->  (
( L `  x
)  <_  R  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  R )  <_  A ) )
712, 70syld 44 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  x  e.  V )  ->  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )
7271ralrimiva 2820 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( N `  F )  <_  A
)  ->  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )
73 eqid 2443 . . . 4  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
7427ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  ->  S  e. NrmGrp )
757ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  ->  T  e. NrmGrp )
7629ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
77 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
78 nmoleub2lem.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  0  <_  A
)
7978adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  ->  0  <_  A )
80 nmoleub2lem.6 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( M `  ( F `  y ) )  <_  ( A  x.  ( L `  y
) ) )
8130, 10, 46, 17, 73, 74, 75, 76, 77, 79, 80nmolb2d 20319 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  ->  ( N `  F )  <_  A )
8232ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  = +oo )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
83 pnfge 11131 . . . . 5  |-  ( ( N `  F )  e.  RR*  ->  ( N `
 F )  <_ +oo )
8482, 83syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  = +oo )  ->  ( N `  F )  <_ +oo )
85 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  = +oo )  ->  A  = +oo )
8684, 85breqtrrd 4339 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  = +oo )  ->  ( N `  F )  <_  A )
8734adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  A  e.  RR* )
88 ge0nemnf 11166 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  =/= -oo )
8987, 78, 88syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  A  =/= -oo )
9087, 89jca 532 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  ( A  e. 
RR*  /\  A  =/= -oo ) )
91 xrnemnf 11120 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= -oo )  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo ) )
9290, 91sylib 196 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo ) )
9381, 86, 92mpjaodan 784 . 2  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  ( N `  F )  <_  A
)
9472, 93impbida 828 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  <_  A  <->  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2736    i^i cin 3348   class class class wbr 4313   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   RRcr 9302   0cc0 9303    x. cmul 9308   +oocpnf 9436   -oocmnf 9437   RR*cxr 9438    <_ cle 9440    / cdiv 10014   RR+crp 11012   xecxmu 11109   Basecbs 14195  Scalarcsca 14262   0gc0g 14399    GrpHom cghm 15765   LMHom clmhm 17122   normcnm 20191  NrmGrpcngp 20192  NrmModcnlm 20195   normOpcnmo 20306  CModcclm 20656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ico 11327  df-0g 14401  df-topgen 14403  df-mnd 15436  df-grp 15566  df-ghm 15766  df-lmhm 17125  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-xms 19917  df-ms 19918  df-nm 20197  df-ngp 20198  df-nlm 20201  df-nmo 20309  df-nghm 20310
This theorem is referenced by:  nmoleub2lem2  20693  nmoleub3  20696
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