MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rerpdivcld Structured version   Unicode version

Theorem rerpdivcld 11155
Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rerpdivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem rerpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 rpgecld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rerpdivcl 11119 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758  (class class class)co 6190   RRcr 9382    / cdiv 10094   RR+crp 11092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-rp 11093
This theorem is referenced by:  iccf1o  11530  xov1plusxeqvd  11532  expmulnbnd  12097  discr  12102  geomulcvg  13438  mertenslem1  13446  retanhcl  13545  bitsfzolem  13732  bitsfzo  13733  bitsmod  13734  odmodnn0  16147  nmoi  20423  nmoleub  20426  icopnfcnv  20630  nmoleub2lem  20785  nmoleub2lem3  20786  pjthlem1  21040  ovolscalem1  21112  ovolscalem2  21113  ovolsca  21114  mbfmulc2lem  21241  itg2const2  21335  dvferm1lem  21572  abelthlem7  22019  logdivlti  22185  logdivle  22187  logcnlem3  22205  logcnlem4  22206  advlogexp  22216  cxpaddle  22306  cxploglim  22487  cxploglim2  22488  ftalem1  22526  ftalem2  22527  basellem3  22536  fsumvma2  22669  chpval2  22673  chpchtsum  22674  chpub  22675  logfacrlim  22679  logexprlim  22680  efexple  22736  bposlem9  22747  chebbnd1lem2  22835  chebbnd1lem3  22836  chtppilim  22840  chpchtlim  22844  chpo1ubb  22846  rplogsumlem1  22849  rplogsumlem2  22850  rpvmasumlem  22852  dchrmusum2  22859  dchrvmasumlem2  22863  dchrisum0fno1  22876  dchrisum0lem1b  22880  dchrisum0lem1  22881  dchrisum0lem2a  22882  rplogsum  22892  mulog2sumlem1  22899  mulog2sumlem2  22900  vmalogdivsum2  22903  vmalogdivsum  22904  2vmadivsumlem  22905  log2sumbnd  22909  selberglem2  22911  selbergb  22914  selberg2b  22917  chpdifbndlem1  22918  selberg3lem1  22922  selberg3lem2  22923  selberg3  22924  selberg4lem1  22925  selberg4  22926  pntrsumo1  22930  selberg3r  22934  selberg4r  22935  selberg34r  22936  pntrlog2bndlem1  22942  pntrlog2bndlem2  22943  pntrlog2bndlem3  22944  pntrlog2bndlem4  22945  pntrlog2bndlem5  22946  pntrlog2bndlem6  22948  pntrlog2bnd  22949  pntpbnd1a  22950  pntpbnd2  22952  pntibndlem2  22956  pntibndlem3  22957  pntlemb  22962  pntlemg  22963  pntlemh  22964  pntlemn  22965  pntlemr  22967  pntlemj  22968  pntlemf  22970  pntlemk  22971  pntlemo  22972  pnt  22979  ostth2lem1  22983  ostth2lem4  23001  ostth3  23003  pjhthlem1  24929  esumcst  26648  dya2iocress  26823  dya2iocbrsiga  26824  dya2icobrsiga  26825  sxbrsigalem2  26835  probmeasb  26947  lgamgulmlem2  27150  lgamgulmlem3  27151  lgamucov  27158  itg2addnclem3  28583  ftc1anclem7  28611  geomcau  28793  cntotbnd  28833  bfplem1  28859  wallispilem5  30002  stirlingr  30023
  Copyright terms: Public domain W3C validator