MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rerpdivcld Structured version   Unicode version

Theorem rerpdivcld 11287
Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rerpdivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem rerpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 rpgecld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rerpdivcl 11251 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1802  (class class class)co 6277   RRcr 9489    / cdiv 10207   RR+crp 11224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-rp 11225
This theorem is referenced by:  iccf1o  11668  xov1plusxeqvd  11670  expmulnbnd  12272  discr  12277  geomulcvg  13659  mertenslem1  13667  retanhcl  13766  bitsfzolem  13956  bitsfzo  13957  bitsmod  13958  odmodnn0  16433  nmoi  21101  nmoleub  21104  icopnfcnv  21308  nmoleub2lem  21463  nmoleub2lem3  21464  pjthlem1  21718  ovolscalem1  21790  ovolscalem2  21791  ovolsca  21792  mbfmulc2lem  21920  itg2const2  22014  dvferm1lem  22251  abelthlem7  22698  logdivlti  22870  logdivle  22872  logcnlem3  22890  logcnlem4  22891  advlogexp  22901  cxpaddle  22991  cxploglim  23172  cxploglim2  23173  ftalem1  23211  ftalem2  23212  basellem3  23221  fsumvma2  23354  chpval2  23358  chpchtsum  23359  chpub  23360  logfacrlim  23364  logexprlim  23365  efexple  23421  bposlem9  23432  chebbnd1lem2  23520  chebbnd1lem3  23521  chtppilim  23525  chpchtlim  23529  chpo1ubb  23531  rplogsumlem1  23534  rplogsumlem2  23535  rpvmasumlem  23537  dchrmusum2  23544  dchrvmasumlem2  23548  dchrisum0fno1  23561  dchrisum0lem1b  23565  dchrisum0lem1  23566  dchrisum0lem2a  23567  rplogsum  23577  mulog2sumlem1  23584  mulog2sumlem2  23585  vmalogdivsum2  23588  vmalogdivsum  23589  2vmadivsumlem  23590  log2sumbnd  23594  selberglem2  23596  selbergb  23599  selberg2b  23602  chpdifbndlem1  23603  selberg3lem1  23607  selberg3lem2  23608  selberg3  23609  selberg4lem1  23610  selberg4  23611  pntrsumo1  23615  selberg3r  23619  selberg4r  23620  selberg34r  23621  pntrlog2bndlem1  23627  pntrlog2bndlem2  23628  pntrlog2bndlem3  23629  pntrlog2bndlem4  23630  pntrlog2bndlem5  23631  pntrlog2bndlem6  23633  pntrlog2bnd  23634  pntpbnd1a  23635  pntpbnd2  23637  pntibndlem2  23641  pntibndlem3  23642  pntlemb  23647  pntlemg  23648  pntlemh  23649  pntlemn  23650  pntlemr  23652  pntlemj  23653  pntlemf  23655  pntlemk  23656  pntlemo  23657  pnt  23664  ostth2lem1  23668  ostth2lem4  23686  ostth3  23688  pjhthlem1  26174  esumcst  27937  dya2iocress  28111  dya2iocbrsiga  28112  dya2icobrsiga  28113  sxbrsigalem2  28123  probmeasb  28235  lgamgulmlem2  28438  lgamgulmlem3  28439  lgamucov  28446  itg2addnclem3  30036  ftc1anclem7  30064  geomcau  30220  cntotbnd  30260  bfplem1  30286  divlt0gt0d  31414  lefldiveq  31427  ltmod  31548  0ellimcdiv  31559  wallispilem5  31736  stirlingr  31757  dirkercncflem1  31770  fourierdlem65  31839
  Copyright terms: Public domain W3C validator