MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rerpdivcld Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rerpdivcld 11398
Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rerpdivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem rerpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 rpgecld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rerpdivcl 11359 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 671 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1898  (class class class)co 6315   RRcr 9564    / cdiv 10297   RR+crp 11331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-rp 11332
This theorem is referenced by:  iccf1o  11805  xov1plusxeqvd  11807  expmulnbnd  12436  discr  12441  geomulcvg  13981  mertenslem1  13989  retanhcl  14262  bitsfzolem  14456  bitsfzolemOLD  14457  bitsfzo  14458  bitsmod  14459  odmodnn0  17238  nmoi  21782  nmoleub  21785  nmoiOLD  21798  nmoleubOLD  21801  icopnfcnv  22019  nmoleub2lem  22177  nmoleub2lem3  22178  pjthlem1  22440  ovolscalem1  22515  ovolscalem2  22516  ovolsca  22517  mbfmulc2lem  22652  itg2const2  22748  dvferm1lem  22985  abelthlem7  23442  logdivlti  23618  logdivle  23620  logcnlem3  23638  logcnlem4  23639  advlogexp  23649  cxpaddle  23741  cxploglim  23952  cxploglim2  23953  lgamgulmlem2  24004  lgamgulmlem3  24005  lgamucov  24012  ftalem1  24046  ftalem2  24047  basellem3  24058  fsumvma2  24191  chpval2  24195  chpchtsum  24196  chpub  24197  logfacrlim  24201  logexprlim  24202  efexple  24258  bposlem9  24269  chebbnd1lem2  24357  chebbnd1lem3  24358  chtppilim  24362  chpchtlim  24366  chpo1ubb  24368  rplogsumlem1  24371  rplogsumlem2  24372  rpvmasumlem  24374  dchrmusum2  24381  dchrvmasumlem2  24385  dchrisum0fno1  24398  dchrisum0lem1b  24402  dchrisum0lem1  24403  dchrisum0lem2a  24404  rplogsum  24414  mulog2sumlem1  24421  mulog2sumlem2  24422  vmalogdivsum2  24425  vmalogdivsum  24426  2vmadivsumlem  24427  log2sumbnd  24431  selberglem2  24433  selbergb  24436  selberg2b  24439  chpdifbndlem1  24440  selberg3lem1  24444  selberg3lem2  24445  selberg3  24446  selberg4lem1  24447  selberg4  24448  pntrsumo1  24452  selberg3r  24456  selberg4r  24457  selberg34r  24458  pntrlog2bndlem1  24464  pntrlog2bndlem2  24465  pntrlog2bndlem3  24466  pntrlog2bndlem4  24467  pntrlog2bndlem5  24468  pntrlog2bndlem6  24470  pntrlog2bnd  24471  pntpbnd1a  24472  pntpbnd2  24474  pntibndlem2  24478  pntibndlem3  24479  pntlemb  24484  pntlemg  24485  pntlemh  24486  pntlemn  24487  pntlemr  24489  pntlemj  24490  pntlemf  24492  pntlemk  24493  pntlemo  24494  pnt  24501  ostth2lem1  24505  ostth2lem4  24523  ostth3  24525  pjhthlem1  27093  esumcst  28933  dya2iocress  29145  dya2iocbrsiga  29146  dya2icobrsiga  29147  sxbrsigalem2  29157  probmeasb  29312  itg2addnclem3  32040  ftc1anclem7  32068  geomcau  32133  cntotbnd  32173  bfplem1  32199  binomcxplemnotnn0  36749  divlt0gt0d  37534  lefldiveq  37544  ltmod  37756  0ellimcdiv  37768  wallispilem5  37969  stirlingr  37990  dirkercncflem1  38003  fourierdlem65  38073  hoiqssbllem2  38483
  Copyright terms: Public domain W3C validator