MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rerpdivcld Structured version   Unicode version

Theorem rerpdivcld 11046
Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rerpdivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem rerpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 rpgecld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rerpdivcl 11010 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756  (class class class)co 6086   RRcr 9273    / cdiv 9985   RR+crp 10983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-rp 10984
This theorem is referenced by:  iccf1o  11421  xov1plusxeqvd  11423  expmulnbnd  11988  discr  11993  geomulcvg  13328  mertenslem1  13336  retanhcl  13435  bitsfzolem  13622  bitsfzo  13623  bitsmod  13624  odmodnn0  16034  nmoi  20287  nmoleub  20290  icopnfcnv  20494  nmoleub2lem  20649  nmoleub2lem3  20650  pjthlem1  20904  ovolscalem1  20976  ovolscalem2  20977  ovolsca  20978  mbfmulc2lem  21105  itg2const2  21199  dvferm1lem  21436  abelthlem7  21883  logdivlti  22049  logdivle  22051  logcnlem3  22069  logcnlem4  22070  advlogexp  22080  cxpaddle  22170  cxploglim  22351  cxploglim2  22352  ftalem1  22390  ftalem2  22391  basellem3  22400  fsumvma2  22533  chpval2  22537  chpchtsum  22538  chpub  22539  logfacrlim  22543  logexprlim  22544  efexple  22600  bposlem9  22611  chebbnd1lem2  22699  chebbnd1lem3  22700  chtppilim  22704  chpchtlim  22708  chpo1ubb  22710  rplogsumlem1  22713  rplogsumlem2  22714  rpvmasumlem  22716  dchrmusum2  22723  dchrvmasumlem2  22727  dchrisum0fno1  22740  dchrisum0lem1b  22744  dchrisum0lem1  22745  dchrisum0lem2a  22746  rplogsum  22756  mulog2sumlem1  22763  mulog2sumlem2  22764  vmalogdivsum2  22767  vmalogdivsum  22768  2vmadivsumlem  22769  log2sumbnd  22773  selberglem2  22775  selbergb  22778  selberg2b  22781  chpdifbndlem1  22782  selberg3lem1  22786  selberg3lem2  22787  selberg3  22788  selberg4lem1  22789  selberg4  22790  pntrsumo1  22794  selberg3r  22798  selberg4r  22799  selberg34r  22800  pntrlog2bndlem1  22806  pntrlog2bndlem2  22807  pntrlog2bndlem3  22808  pntrlog2bndlem4  22809  pntrlog2bndlem5  22810  pntrlog2bndlem6  22812  pntrlog2bnd  22813  pntpbnd1a  22814  pntpbnd2  22816  pntibndlem2  22820  pntibndlem3  22821  pntlemb  22826  pntlemg  22827  pntlemh  22828  pntlemn  22829  pntlemr  22831  pntlemj  22832  pntlemf  22834  pntlemk  22835  pntlemo  22836  pnt  22843  ostth2lem1  22847  ostth2lem4  22865  ostth3  22867  pjhthlem1  24762  esumcst  26483  dya2iocress  26658  dya2iocbrsiga  26659  dya2icobrsiga  26660  sxbrsigalem2  26670  probmeasb  26782  lgamgulmlem2  26985  lgamgulmlem3  26986  lgamucov  26993  itg2addnclem3  28416  ftc1anclem7  28444  geomcau  28626  cntotbnd  28666  bfplem1  28692  wallispilem5  29835  stirlingr  29856
  Copyright terms: Public domain W3C validator