MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rerpdivcld Structured version   Unicode version

Theorem rerpdivcld 11320
Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rerpdivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem rerpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 rpgecld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rerpdivcl 11281 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 665 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1872  (class class class)co 6249   RRcr 9489    / cdiv 10220   RR+crp 11253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-rp 11254
This theorem is referenced by:  iccf1o  11727  xov1plusxeqvd  11729  expmulnbnd  12354  discr  12359  geomulcvg  13875  mertenslem1  13883  retanhcl  14156  bitsfzolem  14350  bitsfzolemOLD  14351  bitsfzo  14352  bitsmod  14353  odmodnn0  17132  nmoi  21675  nmoleub  21678  nmoiOLD  21691  nmoleubOLD  21694  icopnfcnv  21912  nmoleub2lem  22070  nmoleub2lem3  22071  pjthlem1  22333  ovolscalem1  22408  ovolscalem2  22409  ovolsca  22410  mbfmulc2lem  22545  itg2const2  22641  dvferm1lem  22878  abelthlem7  23335  logdivlti  23511  logdivle  23513  logcnlem3  23531  logcnlem4  23532  advlogexp  23542  cxpaddle  23634  cxploglim  23845  cxploglim2  23846  lgamgulmlem2  23897  lgamgulmlem3  23898  lgamucov  23905  ftalem1  23939  ftalem2  23940  basellem3  23951  fsumvma2  24084  chpval2  24088  chpchtsum  24089  chpub  24090  logfacrlim  24094  logexprlim  24095  efexple  24151  bposlem9  24162  chebbnd1lem2  24250  chebbnd1lem3  24251  chtppilim  24255  chpchtlim  24259  chpo1ubb  24261  rplogsumlem1  24264  rplogsumlem2  24265  rpvmasumlem  24267  dchrmusum2  24274  dchrvmasumlem2  24278  dchrisum0fno1  24291  dchrisum0lem1b  24295  dchrisum0lem1  24296  dchrisum0lem2a  24297  rplogsum  24307  mulog2sumlem1  24314  mulog2sumlem2  24315  vmalogdivsum2  24318  vmalogdivsum  24319  2vmadivsumlem  24320  log2sumbnd  24324  selberglem2  24326  selbergb  24329  selberg2b  24332  chpdifbndlem1  24333  selberg3lem1  24337  selberg3lem2  24338  selberg3  24339  selberg4lem1  24340  selberg4  24341  pntrsumo1  24345  selberg3r  24349  selberg4r  24350  selberg34r  24351  pntrlog2bndlem1  24357  pntrlog2bndlem2  24358  pntrlog2bndlem3  24359  pntrlog2bndlem4  24360  pntrlog2bndlem5  24361  pntrlog2bndlem6  24363  pntrlog2bnd  24364  pntpbnd1a  24365  pntpbnd2  24367  pntibndlem2  24371  pntibndlem3  24372  pntlemb  24377  pntlemg  24378  pntlemh  24379  pntlemn  24380  pntlemr  24382  pntlemj  24383  pntlemf  24385  pntlemk  24386  pntlemo  24387  pnt  24394  ostth2lem1  24398  ostth2lem4  24416  ostth3  24418  pjhthlem1  26986  esumcst  28836  dya2iocress  29048  dya2iocbrsiga  29049  dya2icobrsiga  29050  sxbrsigalem2  29060  probmeasb  29215  itg2addnclem3  31902  ftc1anclem7  31930  geomcau  31995  cntotbnd  32035  bfplem1  32061  binomcxplemnotnn0  36618  divlt0gt0d  37393  lefldiveq  37403  ltmod  37601  0ellimcdiv  37613  wallispilem5  37814  stirlingr  37835  dirkercncflem1  37848  fourierdlem65  37918
  Copyright terms: Public domain W3C validator