MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rerpdivcld Unicode version

Theorem rerpdivcld 10631
Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rerpdivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem rerpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 rpgecld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rerpdivcl 10595 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721  (class class class)co 6040   RRcr 8945    / cdiv 9633   RR+crp 10568
This theorem is referenced by:  iccf1o  10995  xov1plusxeqvd  10997  expmulnbnd  11466  discr  11471  geomulcvg  12608  mertenslem1  12616  retanhcl  12715  bitsfzolem  12901  bitsfzo  12902  bitsmod  12903  odmodnn0  15133  nmoi  18715  nmoleub  18718  icopnfcnv  18920  nmoleub2lem  19075  nmoleub2lem3  19076  pjthlem1  19291  ovolscalem1  19362  ovolscalem2  19363  ovolsca  19364  mbfmulc2lem  19492  itg2const2  19586  dvferm1lem  19821  abelthlem7  20307  logdivlti  20468  logdivle  20470  logcnlem3  20488  logcnlem4  20489  advlogexp  20499  cxpaddle  20589  cxploglim  20769  cxploglim2  20770  ftalem1  20808  ftalem2  20809  basellem3  20818  fsumvma2  20951  chpval2  20955  chpchtsum  20956  chpub  20957  logfacrlim  20961  logexprlim  20962  efexple  21018  bposlem9  21029  chebbnd1lem2  21117  chebbnd1lem3  21118  chtppilim  21122  chpchtlim  21126  chpo1ubb  21128  rplogsumlem1  21131  rplogsumlem2  21132  rpvmasumlem  21134  dchrmusum2  21141  dchrvmasumlem2  21145  dchrisum0fno1  21158  dchrisum0lem1b  21162  dchrisum0lem1  21163  dchrisum0lem2a  21164  rplogsum  21174  mulog2sumlem1  21181  mulog2sumlem2  21182  vmalogdivsum2  21185  vmalogdivsum  21186  2vmadivsumlem  21187  log2sumbnd  21191  selberglem2  21193  selbergb  21196  selberg2b  21199  chpdifbndlem1  21200  selberg3lem1  21204  selberg3lem2  21205  selberg3  21206  selberg4lem1  21207  selberg4  21208  pntrsumo1  21212  selberg3r  21216  selberg4r  21217  selberg34r  21218  pntrlog2bndlem1  21224  pntrlog2bndlem2  21225  pntrlog2bndlem3  21226  pntrlog2bndlem4  21227  pntrlog2bndlem5  21228  pntrlog2bndlem6  21230  pntrlog2bnd  21231  pntpbnd1a  21232  pntpbnd2  21234  pntibndlem2  21238  pntibndlem3  21239  pntlemb  21244  pntlemg  21245  pntlemh  21246  pntlemn  21247  pntlemr  21249  pntlemj  21250  pntlemf  21252  pntlemk  21253  pntlemo  21254  pnt  21261  ostth2lem1  21265  ostth2lem4  21283  ostth3  21285  pjhthlem1  22846  esumcst  24408  dya2iocress  24577  dya2iocbrsiga  24578  dya2icobrsiga  24579  sxbrsigalem2  24589  probmeasb  24641  lgamgulmlem2  24767  lgamgulmlem3  24768  lgamucov  24775  itg2addnclem3  26157  geomcau  26355  cntotbnd  26395  bfplem1  26421  wallispilem5  27685  stirlingr  27706
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-rp 10569
  Copyright terms: Public domain W3C validator