MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rerpdivcld Structured version   Unicode version

Theorem rerpdivcld 11272
Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rerpdivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem rerpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 rpgecld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rerpdivcl 11236 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762  (class class class)co 6275   RRcr 9480    / cdiv 10195   RR+crp 11209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-rp 11210
This theorem is referenced by:  iccf1o  11653  xov1plusxeqvd  11655  expmulnbnd  12253  discr  12258  geomulcvg  13637  mertenslem1  13645  retanhcl  13744  bitsfzolem  13932  bitsfzo  13933  bitsmod  13934  odmodnn0  16353  nmoi  20963  nmoleub  20966  icopnfcnv  21170  nmoleub2lem  21325  nmoleub2lem3  21326  pjthlem1  21580  ovolscalem1  21652  ovolscalem2  21653  ovolsca  21654  mbfmulc2lem  21782  itg2const2  21876  dvferm1lem  22113  abelthlem7  22560  logdivlti  22726  logdivle  22728  logcnlem3  22746  logcnlem4  22747  advlogexp  22757  cxpaddle  22847  cxploglim  23028  cxploglim2  23029  ftalem1  23067  ftalem2  23068  basellem3  23077  fsumvma2  23210  chpval2  23214  chpchtsum  23215  chpub  23216  logfacrlim  23220  logexprlim  23221  efexple  23277  bposlem9  23288  chebbnd1lem2  23376  chebbnd1lem3  23377  chtppilim  23381  chpchtlim  23385  chpo1ubb  23387  rplogsumlem1  23390  rplogsumlem2  23391  rpvmasumlem  23393  dchrmusum2  23400  dchrvmasumlem2  23404  dchrisum0fno1  23417  dchrisum0lem1b  23421  dchrisum0lem1  23422  dchrisum0lem2a  23423  rplogsum  23433  mulog2sumlem1  23440  mulog2sumlem2  23441  vmalogdivsum2  23444  vmalogdivsum  23445  2vmadivsumlem  23446  log2sumbnd  23450  selberglem2  23452  selbergb  23455  selberg2b  23458  chpdifbndlem1  23459  selberg3lem1  23463  selberg3lem2  23464  selberg3  23465  selberg4lem1  23466  selberg4  23467  pntrsumo1  23471  selberg3r  23475  selberg4r  23476  selberg34r  23477  pntrlog2bndlem1  23483  pntrlog2bndlem2  23484  pntrlog2bndlem3  23485  pntrlog2bndlem4  23486  pntrlog2bndlem5  23487  pntrlog2bndlem6  23489  pntrlog2bnd  23490  pntpbnd1a  23491  pntpbnd2  23493  pntibndlem2  23497  pntibndlem3  23498  pntlemb  23503  pntlemg  23504  pntlemh  23505  pntlemn  23506  pntlemr  23508  pntlemj  23509  pntlemf  23511  pntlemk  23512  pntlemo  23513  pnt  23520  ostth2lem1  23524  ostth2lem4  23542  ostth3  23544  pjhthlem1  25835  esumcst  27561  dya2iocress  27735  dya2iocbrsiga  27736  dya2icobrsiga  27737  sxbrsigalem2  27747  probmeasb  27859  lgamgulmlem2  28062  lgamgulmlem3  28063  lgamucov  28070  itg2addnclem3  29496  ftc1anclem7  29524  geomcau  29706  cntotbnd  29746  bfplem1  29772  divlt0gt0d  30865  lefldiveq  30878  ltmod  30999  0ellimcdiv  31010  wallispilem5  31188  stirlingr  31209  fourierdlem65  31291
  Copyright terms: Public domain W3C validator