MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rerpdivcld Structured version   Unicode version

Theorem rerpdivcld 11041
Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rerpdivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem rerpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 rpgecld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rerpdivcl 11005 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 654 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755  (class class class)co 6080   RRcr 9268    / cdiv 9980   RR+crp 10978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-rp 10979
This theorem is referenced by:  iccf1o  11415  xov1plusxeqvd  11417  expmulnbnd  11979  discr  11984  geomulcvg  13318  mertenslem1  13326  retanhcl  13425  bitsfzolem  13612  bitsfzo  13613  bitsmod  13614  odmodnn0  16022  nmoi  20148  nmoleub  20151  icopnfcnv  20355  nmoleub2lem  20510  nmoleub2lem3  20511  pjthlem1  20765  ovolscalem1  20837  ovolscalem2  20838  ovolsca  20839  mbfmulc2lem  20966  itg2const2  21060  dvferm1lem  21297  abelthlem7  21787  logdivlti  21953  logdivle  21955  logcnlem3  21973  logcnlem4  21974  advlogexp  21984  cxpaddle  22074  cxploglim  22255  cxploglim2  22256  ftalem1  22294  ftalem2  22295  basellem3  22304  fsumvma2  22437  chpval2  22441  chpchtsum  22442  chpub  22443  logfacrlim  22447  logexprlim  22448  efexple  22504  bposlem9  22515  chebbnd1lem2  22603  chebbnd1lem3  22604  chtppilim  22608  chpchtlim  22612  chpo1ubb  22614  rplogsumlem1  22617  rplogsumlem2  22618  rpvmasumlem  22620  dchrmusum2  22627  dchrvmasumlem2  22631  dchrisum0fno1  22644  dchrisum0lem1b  22648  dchrisum0lem1  22649  dchrisum0lem2a  22650  rplogsum  22660  mulog2sumlem1  22667  mulog2sumlem2  22668  vmalogdivsum2  22671  vmalogdivsum  22672  2vmadivsumlem  22673  log2sumbnd  22677  selberglem2  22679  selbergb  22682  selberg2b  22685  chpdifbndlem1  22686  selberg3lem1  22690  selberg3lem2  22691  selberg3  22692  selberg4lem1  22693  selberg4  22694  pntrsumo1  22698  selberg3r  22702  selberg4r  22703  selberg34r  22704  pntrlog2bndlem1  22710  pntrlog2bndlem2  22711  pntrlog2bndlem3  22712  pntrlog2bndlem4  22713  pntrlog2bndlem5  22714  pntrlog2bndlem6  22716  pntrlog2bnd  22717  pntpbnd1a  22718  pntpbnd2  22720  pntibndlem2  22724  pntibndlem3  22725  pntlemb  22730  pntlemg  22731  pntlemh  22732  pntlemn  22733  pntlemr  22735  pntlemj  22736  pntlemf  22738  pntlemk  22739  pntlemo  22740  pnt  22747  ostth2lem1  22751  ostth2lem4  22769  ostth3  22771  pjhthlem1  24616  esumcst  26367  dya2iocress  26542  dya2iocbrsiga  26543  dya2icobrsiga  26544  sxbrsigalem2  26554  probmeasb  26660  lgamgulmlem2  26863  lgamgulmlem3  26864  lgamucov  26871  itg2addnclem3  28286  ftc1anclem7  28314  geomcau  28496  cntotbnd  28536  bfplem1  28562  wallispilem5  29707  stirlingr  29728
  Copyright terms: Public domain W3C validator