Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfmullem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfmullem2 39677
 Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable: this is the step (i) of the proof of Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfmullem2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
smfmullem2.k 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴}
smfmullem2.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
smfmullem2.v (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
smfmullem2.l (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝐴)
smfmullem2.p (𝜑𝑃 ∈ ℚ)
smfmullem2.r (𝜑𝑅 ∈ ℚ)
smfmullem2.s (𝜑𝑆 ∈ ℚ)
smfmullem2.z (𝜑𝑍 ∈ ℚ)
smfmullem2.p2 (𝜑𝑃 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈))
smfmullem2.42 (𝜑𝑅 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
smfmullem2.w2 (𝜑𝑆 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉))
smfmullem2.z2 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
smfmullem2.x 𝑋 = ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
smfmullem2.y 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)
Assertion
Ref Expression
smfmullem2 (𝜑 → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑃,𝑞,𝑢,𝑣   𝑅,𝑞,𝑢,𝑣   𝑆,𝑞,𝑢,𝑣   𝑈,𝑞   𝑉,𝑞   𝑍,𝑞,𝑢,𝑣   𝜑,𝑢,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝐴(𝑣,𝑢)   𝑈(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑞)   𝑉(𝑣,𝑢)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑞)   𝑌(𝑣,𝑢,𝑞)

Proof of Theorem smfmullem2
StepHypRef Expression
1 smfmullem2.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℚ)
2 smfmullem2.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℚ)
3 smfmullem2.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ ℚ)
4 smfmullem2.z . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ ℚ)
51, 2, 3, 4s4cld 13468 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ Word ℚ)
6 s4len 13494 . . . . . . . 8 (#‘⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩) = 4
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩) = 4)
85, 7jca 553 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ Word ℚ ∧ (#‘⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩) = 4))
9 qex 11676 . . . . . . . 8 ℚ ∈ V
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℚ ∈ V)
11 4nn0 11188 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
13 wrdmap 13191 . . . . . . 7 ((ℚ ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0) → ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ Word ℚ ∧ (#‘⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩) = 4) ↔ ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ (ℚ ↑𝑚 (0..^4))))
1410, 12, 13syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ Word ℚ ∧ (#‘⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩) = 4) ↔ ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ (ℚ ↑𝑚 (0..^4))))
158, 14mpbid 221 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ (ℚ ↑𝑚 (0..^4)))
16 3z 11287 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℤ
17 fzval3 12404 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ ℤ → (0...3) = (0..^(3 + 1)))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0...3) = (0..^(3 + 1))
19 3p1e4 11030 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = 4
2019oveq2i 6560 . . . . . . . . 9 (0..^(3 + 1)) = (0..^4)
2118, 20eqtri 2632 . . . . . . . 8 (0...3) = (0..^4)
2221eqcomi 2619 . . . . . . 7 (0..^4) = (0...3)
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^4) = (0...3))
2423oveq2d 6565 . . . . 5 (𝜑 → (ℚ ↑𝑚 (0..^4)) = (ℚ ↑𝑚 (0...3)))
2515, 24eleqtrd 2690 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)))
26 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))) → 𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)))
27 s4fv0 13490 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℚ → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0) = 𝑃)
281, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0) = 𝑃)
29 s4fv1 13491 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℚ → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1) = 𝑅)
302, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1) = 𝑅)
3128, 30oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)) = (𝑃(,)𝑅))
3231adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))) → ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)) = (𝑃(,)𝑅))
3326, 32eleqtrd 2690 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))) → 𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅))
34 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))) → 𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)))
35 s4fv2 13492 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ ℚ → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2) = 𝑆)
363, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2) = 𝑆)
37 s4fv3 13493 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 ∈ ℚ → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3) = 𝑍)
384, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3) = 𝑍)
3936, 38oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)) = (𝑆(,)𝑍))
4039adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))) → ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)) = (𝑆(,)𝑍))
4134, 40eleqtrd 2690 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))) → 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍))
42 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍))
4341, 42syldan 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))) → 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍))
4443adantlr 747 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))) → 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍))
45 smfmullem2.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4645ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝐴 ∈ ℝ)
47 smfmullem2.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
4847ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑈 ∈ ℝ)
49 smfmullem2.v . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
5049ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑉 ∈ ℝ)
51 smfmullem2.l . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝐴)
5251ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → (𝑈 · 𝑉) < 𝐴)
53 smfmullem2.x . . . . . . . . 9 𝑋 = ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
54 smfmullem2.y . . . . . . . . 9 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)
55 smfmullem2.p2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈))
5655ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑃 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈))
57 smfmullem2.42 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
5857ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑅 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
59 smfmullem2.w2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉))
6059ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑆 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉))
61 smfmullem2.z2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
6261ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑍 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
63 simplr 788 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅))
64 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍))
6546, 48, 50, 52, 53, 54, 56, 58, 60, 62, 63, 64smfmullem1 39676 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → (𝑢 · 𝑣) < 𝐴)
6644, 65syldan 486 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))) → (𝑢 · 𝑣) < 𝐴)
6766ralrimiva 2949 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) → ∀𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴)
6833, 67syldan 486 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))) → ∀𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴)
6968ralrimiva 2949 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))∀𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴)
7025, 69jca 553 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∧ ∀𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))∀𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴))
71 fveq1 6102 . . . . . . 7 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (𝑞‘0) = (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0))
72 fveq1 6102 . . . . . . 7 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (𝑞‘1) = (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))
7371, 72oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) = ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)))
7473raleqdv 3121 . . . . 5 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴))
75 fveq1 6102 . . . . . . . 8 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (𝑞‘2) = (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2))
76 fveq1 6102 . . . . . . . 8 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (𝑞‘3) = (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))
7775, 76oveq12d 6567 . . . . . . 7 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)) = ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)))
7877raleqdv 3121 . . . . . 6 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴 ↔ ∀𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴))
7978ralbidv 2969 . . . . 5 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (∀𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))∀𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴))
8074, 79bitrd 267 . . . 4 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))∀𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴))
81 smfmullem2.k . . . 4 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴}
8280, 81elrab2 3333 . . 3 (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ 𝐾 ↔ (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∧ ∀𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))∀𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴))
8370, 82sylibr 223 . 2 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ 𝐾)
84 qssre 11674 . . . . . . 7 ℚ ⊆ ℝ
8584, 1sseldi 3566 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
8685rexrd 9968 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℝ*)
8784, 2sseldi 3566 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
8887rexrd 9968 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
8954a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋))
90 1rp 11712 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
9190a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
9253a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 = ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
9347, 49remulcld 9949 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ)
94 difrp 11744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑈 · 𝑉) < 𝐴 ↔ (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+))
9593, 45, 94syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑈 · 𝑉) < 𝐴 ↔ (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+))
9651, 95mpbid 221 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+)
97 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9847recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
9998abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℝ)
10049recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
101100abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℝ)
10299, 101readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ∈ ℝ)
10397, 102readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ)
104 0re 9919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10691rpgt0d 11751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 1)
10798absge0d 14031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑈))
108100absge0d 14031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑉))
10999, 101addge01d 10494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (0 ≤ (abs‘𝑉) ↔ (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
110108, 109mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
111105, 99, 102, 107, 110letrd 10073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
11297, 102addge01d 10494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ↔ 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
113111, 112mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
114105, 97, 103, 106, 113ltletrd 10076 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
115103, 114elrpd 11745 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ+)
11696, 115rpdivcld 11765 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))) ∈ ℝ+)
11792, 116eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
11891, 117ifcld 4081 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ∈ ℝ+)
11989, 118eqeltrd 2688 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
120119rpred 11748 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
12147, 120resubcld 10337 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈𝑌) ∈ ℝ)
122121rexrd 9968 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈𝑌) ∈ ℝ*)
12347rexrd 9968 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
124 iooltub 38582 . . . . . 6 (((𝑈𝑌) ∈ ℝ*𝑈 ∈ ℝ*𝑃 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) → 𝑃 < 𝑈)
125122, 123, 55, 124syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑𝑃 < 𝑈)
12647, 120readdcld 9948 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ)
127126rexrd 9968 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ*)
128 ioogtlb 38564 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ*𝑅 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → 𝑈 < 𝑅)
129123, 127, 57, 128syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑𝑈 < 𝑅)
13086, 88, 47, 125, 129eliood 38567 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (𝑃(,)𝑅))
13131eqcomd 2616 . . . 4 (𝜑 → (𝑃(,)𝑅) = ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)))
132130, 131eleqtrd 2690 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)))
13384, 3sseldi 3566 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
134133rexrd 9968 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
13584, 4sseldi 3566 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
136135rexrd 9968 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ ℝ*)
13749, 120resubcld 10337 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉𝑌) ∈ ℝ)
138137rexrd 9968 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑉𝑌) ∈ ℝ*)
13949rexrd 9968 . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ ℝ*)
140 iooltub 38582 . . . . . 6 (((𝑉𝑌) ∈ ℝ*𝑉 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) → 𝑆 < 𝑉)
141138, 139, 59, 140syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑𝑆 < 𝑉)
14249, 120readdcld 9948 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ)
143142rexrd 9968 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ*)
144 ioogtlb 38564 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ ℝ* ∧ (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ*𝑍 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑉 < 𝑍)
145139, 143, 61, 144syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑𝑉 < 𝑍)
146134, 136, 49, 141, 145eliood 38567 . . . 4 (𝜑𝑉 ∈ (𝑆(,)𝑍))
14739eqcomd 2616 . . . 4 (𝜑 → (𝑆(,)𝑍) = ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)))
148146, 147eleqtrd 2690 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)))
149132, 148jca 553 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))))
150 nfv 1830 . . 3 𝑞(𝑈 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)))
151 nfcv 2751 . . 3 𝑞⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩
152 nfrab1 3099 . . . 4 𝑞{𝑞 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴}
15381, 152nfcxfr 2749 . . 3 𝑞𝐾
15473eleq2d 2673 . . . 4 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ↔ 𝑈 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))))
15577eleq2d 2673 . . . 4 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)) ↔ 𝑉 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))))
156154, 155anbi12d 743 . . 3 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → ((𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))) ↔ (𝑈 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)))))
157150, 151, 153, 156rspcef 38267 . 2 ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ 𝐾 ∧ (𝑈 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)))) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
15883, 149, 157syl2anc 691 1 (𝜑 → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173  ifcif 4036   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℚcq 11664  ℝ+crp 11708  (,)cioo 12046  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  ⟨“cs4 13439  abscabs 13822 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-s4 13446  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824 This theorem is referenced by:  smfmullem3  39678
 Copyright terms: Public domain W3C validator