Theorem rpdivcld 11765

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 11732	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 691	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549   / cdiv 10563  ℝ⁺crp 11708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-rp 11709

This theorem is referenced by:  bcpasc  12970  mulcn2  14174  o1rlimmul  14197  mertenslem1  14455  mertenslem2  14456  effsumlt  14680  prmind2  15236  nlmvscnlem2  22299  nlmvscnlem1  22300  nghmcn  22359  lebnumlem3  22570  lebnumii  22573  nmoleub3  22727  ipcnlem2  22851  ipcnlem1  22852  equivcfil  22905  equivcau  22906  ovollb2lem  23063  ovoliunlem1  23077  uniioombllem6  23162  itg2const2  23314  itg2cnlem2  23335  aalioulem2  23892  aalioulem4  23894  aalioulem5  23895  aalioulem6  23896  aaliou  23897  aaliou2b  23900  aaliou3lem9  23909  itgulm  23966  abelthlem7  23996  abelthlem8  23997  tanrpcl  24060  logdivlti  24170  logcnlem2  24189  ang180lem2  24340  isosctrlem2  24349  birthdaylem2  24479  cxp2limlem  24502  cxp2lim  24503  cxploglim  24504  cxploglim2  24505  amgmlem  24516  logdiflbnd  24521  emcllem2  24523  fsumharmonic  24538  lgamgulmlem2  24556  lgamgulmlem3  24557  lgamgulmlem4  24558  lgamgulmlem5  24559  lgamgulmlem6  24560  lgamgulm2  24562  lgamucov  24564  lgamcvg2  24581  gamcvg  24582  gamcvg2lem  24585  regamcl  24587  relgamcl  24588  lgam1  24590  ftalem4  24602  chpval2  24743  chpchtsum  24744  logfacrlim  24749  logexprlim  24750  bclbnd  24805  bposlem1  24809  bposlem2  24810  lgsquadlem2  24906  chebbnd1lem1  24958  chebbnd1lem3  24960  chebbnd1  24961  chtppilimlem2  24963  chebbnd2  24966  chto1lb  24967  rplogsumlem2  24974  rpvmasumlem  24976  dchrvmasumlem1  24984  dchrvmasum2if  24986  dchrisum0lem1b  25004  dchrisum0lem2a  25006  vmalogdivsum2  25027  2vmadivsumlem  25029  selberglem3  25036  selberg  25037  selberg4lem1  25049  selberg3r  25058  selberg4r  25059  selberg34r  25060  pntrlog2bndlem1  25066  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem3  25068  pntrlog2bndlem4  25069  pntrlog2bndlem5  25070  pntrlog2bndlem6a  25071  pntrlog2bndlem6  25072  pntrlog2bnd  25073  pntpbnd1a  25074  pntpbnd1  25075  pntpbnd2  25076  pntibndlem2  25080  pntibndlem3  25081  pntlemd  25083  pntlemc  25084  pntlema  25085  pntlemb  25086  pntlemg  25087  pntlemn  25089  pntlemq  25090  pntlemr  25091  pntlemj  25092  pntlemf  25094  pntlemo  25096  pnt2  25102  pnt  25103  ostth2lem3  25124  ostth2  25126  blocni  27044  ubthlem2  27111  lnconi  28276  rpxdivcld  28973  omssubadd  29689  faclimlem1  30882  faclimlem3  30884  faclim  30885  iprodfac  30886  equivtotbnd  32747  rrncmslem  32801  rrnequiv  32804  irrapxlem5  36408  xralrple2  38511  xralrple3  38531  iooiinicc  38616  iooiinioc  38630  limclner  38718  fprodsubrecnncnvlem  38794  fprodaddrecnncnvlem  38796  stoweidlem31  38924  stoweidlem59  38952  wallispilem3  38960  wallispilem4  38961  wallispilem5  38962  wallispi  38963  wallispi2lem1  38964  stirlinglem2  38968  stirlinglem4  38970  stirlinglem8  38974  stirlinglem13  38979  stirlinglem15  38981  stirlingr  38983  fourierdlem30  39030  fourierdlem73  39072  fourierdlem87  39086  qndenserrnbllem  39190  ovnsubaddlem1  39460  ovnsubaddlem2  39461  hoiqssbllem1  39512  hoiqssbllem2  39513  hoiqssbllem3  39514  ovolval5lem1  39542  ovolval5lem2  39543  vonioolem1  39571  smfmullem1  39676  smfmullem2  39677  smfmullem3  39678