MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpdivcld Structured version   Unicode version

Theorem rpdivcld 11032
Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
rpaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpdivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpaddcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rpdivcl 11001 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR+ )
41, 2, 3syl2anc 654 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755  (class class class)co 6080    / cdiv 9981   RR+crp 10979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-rp 10980
This theorem is referenced by:  bcpasc  12081  mulcn2  13057  o1rlimmul  13080  mertenslem1  13327  mertenslem2  13328  effsumlt  13378  prmind2  13757  nlmvscnlem2  20108  nlmvscnlem1  20109  nghmcn  20166  lebnumlem3  20377  lebnumii  20380  nmoleub3  20516  ipcnlem2  20598  ipcnlem1  20599  equivcfil  20652  equivcau  20653  ovollb2lem  20813  ovoliunlem1  20827  uniioombllem6  20910  itg2const2  21061  itg2cnlem2  21082  aalioulem2  21684  aalioulem4  21686  aalioulem5  21687  aalioulem6  21688  aaliou  21689  aaliou2b  21692  aaliou3lem9  21701  itgulm  21758  abelthlem7  21788  abelthlem8  21789  tanrpcl  21851  logdivlti  21954  logcnlem2  21973  ang180lem2  22091  isosctrlem2  22102  birthdaylem2  22231  cxp2limlem  22254  cxp2lim  22255  cxploglim  22256  cxploglim2  22257  amgmlem  22268  logdiflbnd  22273  emcllem2  22275  fsumharmonic  22290  ftalem4  22298  chpval2  22442  chpchtsum  22443  logfacrlim  22448  logexprlim  22449  bclbnd  22504  bposlem1  22508  bposlem2  22509  lgsquadlem2  22579  chebbnd1lem1  22603  chebbnd1lem3  22605  chebbnd1  22606  chtppilimlem2  22608  chebbnd2  22611  chto1lb  22612  rplogsumlem2  22619  rpvmasumlem  22621  dchrvmasumlem1  22629  dchrvmasum2if  22631  dchrisum0lem1b  22649  dchrisum0lem2a  22651  vmalogdivsum2  22672  2vmadivsumlem  22674  selberglem3  22681  selberg  22682  selberg4lem1  22694  selberg3r  22703  selberg4r  22704  selberg34r  22705  pntrlog2bndlem1  22711  pntrlog2bndlem2  22712  pntrlog2bndlem3  22713  pntrlog2bndlem4  22714  pntrlog2bndlem5  22715  pntrlog2bndlem6a  22716  pntrlog2bndlem6  22717  pntrlog2bnd  22718  pntpbnd1a  22719  pntpbnd1  22720  pntpbnd2  22721  pntibndlem2  22725  pntibndlem3  22726  pntlemd  22728  pntlemc  22729  pntlema  22730  pntlemb  22731  pntlemg  22732  pntlemn  22734  pntlemq  22735  pntlemr  22736  pntlemj  22737  pntlemf  22739  pntlemo  22741  pnt2  22747  pnt  22748  ostth2lem3  22769  ostth2  22771  blocni  24028  ubthlem2  24095  lnconi  25260  rpxdivcld  25932  lgamgulmlem2  26864  lgamgulmlem3  26865  lgamgulmlem4  26866  lgamgulmlem5  26867  lgamgulmlem6  26868  lgamgulm2  26870  lgamucov  26872  lgamcvg2  26889  gamcvg  26890  gamcvg2lem  26893  regamcl  26895  relgamcl  26896  lgam1  26898  faclimlem1  27396  faclimlem3  27398  faclim  27399  iprodfac  27400  equivtotbnd  28521  rrncmslem  28575  rrnequiv  28578  irrapxlem5  29012  stoweidlem31  29672  stoweidlem59  29700  wallispilem3  29708  wallispilem4  29709  wallispilem5  29710  wallispi  29711  wallispi2lem1  29712  stirlinglem2  29716  stirlinglem4  29718  stirlinglem8  29722  stirlinglem13  29727  stirlinglem14  29728  stirlinglem15  29729  stirlingr  29731
  Copyright terms: Public domain W3C validator