MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpdivcld Structured version   Unicode version

Theorem rpdivcld 11262
Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
rpaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpdivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpaddcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rpdivcl 11231 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR+ )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762  (class class class)co 6275    / cdiv 10195   RR+crp 11209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-rp 11210
This theorem is referenced by:  bcpasc  12354  mulcn2  13367  o1rlimmul  13390  mertenslem1  13645  mertenslem2  13646  effsumlt  13696  prmind2  14076  nlmvscnlem2  20922  nlmvscnlem1  20923  nghmcn  20980  lebnumlem3  21191  lebnumii  21194  nmoleub3  21330  ipcnlem2  21412  ipcnlem1  21413  equivcfil  21466  equivcau  21467  ovollb2lem  21627  ovoliunlem1  21641  uniioombllem6  21725  itg2const2  21876  itg2cnlem2  21897  aalioulem2  22456  aalioulem4  22458  aalioulem5  22459  aalioulem6  22460  aaliou  22461  aaliou2b  22464  aaliou3lem9  22473  itgulm  22530  abelthlem7  22560  abelthlem8  22561  tanrpcl  22623  logdivlti  22726  logcnlem2  22745  ang180lem2  22863  isosctrlem2  22874  birthdaylem2  23003  cxp2limlem  23026  cxp2lim  23027  cxploglim  23028  cxploglim2  23029  amgmlem  23040  logdiflbnd  23045  emcllem2  23047  fsumharmonic  23062  ftalem4  23070  chpval2  23214  chpchtsum  23215  logfacrlim  23220  logexprlim  23221  bclbnd  23276  bposlem1  23280  bposlem2  23281  lgsquadlem2  23351  chebbnd1lem1  23375  chebbnd1lem3  23377  chebbnd1  23378  chtppilimlem2  23380  chebbnd2  23383  chto1lb  23384  rplogsumlem2  23391  rpvmasumlem  23393  dchrvmasumlem1  23401  dchrvmasum2if  23403  dchrisum0lem1b  23421  dchrisum0lem2a  23423  vmalogdivsum2  23444  2vmadivsumlem  23446  selberglem3  23453  selberg  23454  selberg4lem1  23466  selberg3r  23475  selberg4r  23476  selberg34r  23477  pntrlog2bndlem1  23483  pntrlog2bndlem2  23484  pntrlog2bndlem3  23485  pntrlog2bndlem4  23486  pntrlog2bndlem5  23487  pntrlog2bndlem6a  23488  pntrlog2bndlem6  23489  pntrlog2bnd  23490  pntpbnd1a  23491  pntpbnd1  23492  pntpbnd2  23493  pntibndlem2  23497  pntibndlem3  23498  pntlemd  23500  pntlemc  23501  pntlema  23502  pntlemb  23503  pntlemg  23504  pntlemn  23506  pntlemq  23507  pntlemr  23508  pntlemj  23509  pntlemf  23511  pntlemo  23513  pnt2  23519  pnt  23520  ostth2lem3  23541  ostth2  23543  blocni  25382  ubthlem2  25449  lnconi  26614  rpxdivcld  27284  lgamgulmlem2  28198  lgamgulmlem3  28199  lgamgulmlem4  28200  lgamgulmlem5  28201  lgamgulmlem6  28202  lgamgulm2  28204  lgamucov  28206  lgamcvg2  28223  gamcvg  28224  gamcvg2lem  28227  regamcl  28229  relgamcl  28230  lgam1  28232  faclimlem1  28731  faclimlem3  28733  faclim  28734  iprodfac  28735  equivtotbnd  29864  rrncmslem  29918  rrnequiv  29921  irrapxlem5  30353  limclner  31148  stoweidlem31  31286  stoweidlem59  31314  wallispilem3  31322  wallispilem4  31323  wallispilem5  31324  wallispi  31325  wallispi2lem1  31326  stirlinglem2  31330  stirlinglem4  31332  stirlinglem8  31336  stirlinglem13  31341  stirlinglem14  31342  stirlinglem15  31343  stirlingr  31345  fourierdlem30  31392  fourierdlem73  31435  fourierdlem87  31449
  Copyright terms: Public domain W3C validator