MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpdivcld Structured version   Unicode version

Theorem rpdivcld 11283
Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
rpaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpdivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpaddcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rpdivcl 11252 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR+ )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1804  (class class class)co 6281    / cdiv 10213   RR+crp 11230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-rp 11231
This theorem is referenced by:  bcpasc  12380  mulcn2  13399  o1rlimmul  13422  mertenslem1  13674  mertenslem2  13675  effsumlt  13827  prmind2  14209  nlmvscnlem2  21171  nlmvscnlem1  21172  nghmcn  21229  lebnumlem3  21440  lebnumii  21443  nmoleub3  21579  ipcnlem2  21661  ipcnlem1  21662  equivcfil  21715  equivcau  21716  ovollb2lem  21876  ovoliunlem1  21890  uniioombllem6  21974  itg2const2  22125  itg2cnlem2  22146  aalioulem2  22705  aalioulem4  22707  aalioulem5  22708  aalioulem6  22709  aaliou  22710  aaliou2b  22713  aaliou3lem9  22722  itgulm  22779  abelthlem7  22809  abelthlem8  22810  tanrpcl  22873  logdivlti  22981  logcnlem2  23000  ang180lem2  23118  isosctrlem2  23129  birthdaylem2  23258  cxp2limlem  23281  cxp2lim  23282  cxploglim  23283  cxploglim2  23284  amgmlem  23295  logdiflbnd  23300  emcllem2  23302  fsumharmonic  23317  ftalem4  23325  chpval2  23469  chpchtsum  23470  logfacrlim  23475  logexprlim  23476  bclbnd  23531  bposlem1  23535  bposlem2  23536  lgsquadlem2  23606  chebbnd1lem1  23630  chebbnd1lem3  23632  chebbnd1  23633  chtppilimlem2  23635  chebbnd2  23638  chto1lb  23639  rplogsumlem2  23646  rpvmasumlem  23648  dchrvmasumlem1  23656  dchrvmasum2if  23658  dchrisum0lem1b  23676  dchrisum0lem2a  23678  vmalogdivsum2  23699  2vmadivsumlem  23701  selberglem3  23708  selberg  23709  selberg4lem1  23721  selberg3r  23730  selberg4r  23731  selberg34r  23732  pntrlog2bndlem1  23738  pntrlog2bndlem2  23739  pntrlog2bndlem3  23740  pntrlog2bndlem4  23741  pntrlog2bndlem5  23742  pntrlog2bndlem6a  23743  pntrlog2bndlem6  23744  pntrlog2bnd  23745  pntpbnd1a  23746  pntpbnd1  23747  pntpbnd2  23748  pntibndlem2  23752  pntibndlem3  23753  pntlemd  23755  pntlemc  23756  pntlema  23757  pntlemb  23758  pntlemg  23759  pntlemn  23761  pntlemq  23762  pntlemr  23763  pntlemj  23764  pntlemf  23766  pntlemo  23768  pnt2  23774  pnt  23775  ostth2lem3  23796  ostth2  23798  blocni  25696  ubthlem2  25763  lnconi  26928  rpxdivcld  27607  lgamgulmlem2  28549  lgamgulmlem3  28550  lgamgulmlem4  28551  lgamgulmlem5  28552  lgamgulmlem6  28553  lgamgulm2  28555  lgamucov  28557  lgamcvg2  28574  gamcvg  28575  gamcvg2lem  28578  regamcl  28580  relgamcl  28581  lgam1  28583  faclimlem1  29143  faclimlem3  29145  faclim  29146  iprodfac  29147  equivtotbnd  30249  rrncmslem  30303  rrnequiv  30306  irrapxlem5  30737  limclner  31565  stoweidlem31  31702  stoweidlem59  31730  wallispilem3  31738  wallispilem4  31739  wallispilem5  31740  wallispi  31741  wallispi2lem1  31742  stirlinglem2  31746  stirlinglem4  31748  stirlinglem8  31752  stirlinglem13  31757  stirlinglem15  31759  stirlingr  31761  fourierdlem30  31808  fourierdlem73  31851  fourierdlem87  31865
  Copyright terms: Public domain W3C validator