MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpdivcld Structured version   Unicode version

Theorem rpdivcld 11194
Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
rpaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpdivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpaddcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rpdivcl 11162 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR+ )
41, 2, 3syl2anc 659 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1826  (class class class)co 6196    / cdiv 10123   RR+crp 11139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-rp 11140
This theorem is referenced by:  bcpasc  12301  mulcn2  13420  o1rlimmul  13443  mertenslem1  13695  mertenslem2  13696  effsumlt  13848  prmind2  14230  nlmvscnlem2  21279  nlmvscnlem1  21280  nghmcn  21337  lebnumlem3  21548  lebnumii  21551  nmoleub3  21687  ipcnlem2  21769  ipcnlem1  21770  equivcfil  21823  equivcau  21824  ovollb2lem  21984  ovoliunlem1  21998  uniioombllem6  22082  itg2const2  22233  itg2cnlem2  22254  aalioulem2  22814  aalioulem4  22816  aalioulem5  22817  aalioulem6  22818  aaliou  22819  aaliou2b  22822  aaliou3lem9  22831  itgulm  22888  abelthlem7  22918  abelthlem8  22919  tanrpcl  22982  logdivlti  23092  logcnlem2  23111  ang180lem2  23260  isosctrlem2  23269  birthdaylem2  23399  cxp2limlem  23422  cxp2lim  23423  cxploglim  23424  cxploglim2  23425  amgmlem  23436  logdiflbnd  23441  emcllem2  23443  fsumharmonic  23458  ftalem4  23466  chpval2  23610  chpchtsum  23611  logfacrlim  23616  logexprlim  23617  bclbnd  23672  bposlem1  23676  bposlem2  23677  lgsquadlem2  23747  chebbnd1lem1  23771  chebbnd1lem3  23773  chebbnd1  23774  chtppilimlem2  23776  chebbnd2  23779  chto1lb  23780  rplogsumlem2  23787  rpvmasumlem  23789  dchrvmasumlem1  23797  dchrvmasum2if  23799  dchrisum0lem1b  23817  dchrisum0lem2a  23819  vmalogdivsum2  23840  2vmadivsumlem  23842  selberglem3  23849  selberg  23850  selberg4lem1  23862  selberg3r  23871  selberg4r  23872  selberg34r  23873  pntrlog2bndlem1  23879  pntrlog2bndlem2  23880  pntrlog2bndlem3  23881  pntrlog2bndlem4  23882  pntrlog2bndlem5  23883  pntrlog2bndlem6a  23884  pntrlog2bndlem6  23885  pntrlog2bnd  23886  pntpbnd1a  23887  pntpbnd1  23888  pntpbnd2  23889  pntibndlem2  23893  pntibndlem3  23894  pntlemd  23896  pntlemc  23897  pntlema  23898  pntlemb  23899  pntlemg  23900  pntlemn  23902  pntlemq  23903  pntlemr  23904  pntlemj  23905  pntlemf  23907  pntlemo  23909  pnt2  23915  pnt  23916  ostth2lem3  23937  ostth2  23939  blocni  25837  ubthlem2  25904  lnconi  27068  rpxdivcld  27783  omssubadd  28427  lgamgulmlem2  28761  lgamgulmlem3  28762  lgamgulmlem4  28763  lgamgulmlem5  28764  lgamgulmlem6  28765  lgamgulm2  28767  lgamucov  28769  lgamcvg2  28786  gamcvg  28787  gamcvg2lem  28790  regamcl  28792  relgamcl  28793  lgam1  28795  faclimlem1  29334  faclimlem3  29336  faclim  29337  iprodfac  29338  equivtotbnd  30440  rrncmslem  30494  rrnequiv  30497  irrapxlem5  30927  limclner  31823  stoweidlem31  31979  stoweidlem59  32007  wallispilem3  32015  wallispilem4  32016  wallispilem5  32017  wallispi  32018  wallispi2lem1  32019  stirlinglem2  32023  stirlinglem4  32025  stirlinglem8  32029  stirlinglem13  32034  stirlinglem15  32036  stirlingr  32038  fourierdlem30  32085  fourierdlem73  32128  fourierdlem87  32142
  Copyright terms: Public domain W3C validator