MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpdivcld Unicode version

Theorem rpdivcld 10621
Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
rpaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpdivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpaddcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rpdivcl 10590 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR+ )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721  (class class class)co 6040    / cdiv 9633   RR+crp 10568
This theorem is referenced by:  bcpasc  11567  mulcn2  12344  o1rlimmul  12367  mertenslem1  12616  mertenslem2  12617  effsumlt  12667  prmind2  13045  nlmvscnlem2  18674  nlmvscnlem1  18675  nghmcn  18732  lebnumlem3  18941  lebnumii  18944  nmoleub3  19080  ipcnlem2  19151  ipcnlem1  19152  equivcfil  19205  equivcau  19206  ovollb2lem  19337  ovoliunlem1  19351  uniioombllem6  19433  itg2const2  19586  itg2cnlem2  19607  aalioulem2  20203  aalioulem4  20205  aalioulem5  20206  aalioulem6  20207  aaliou  20208  aaliou2b  20211  aaliou3lem9  20220  itgulm  20277  abelthlem7  20307  abelthlem8  20308  tanrpcl  20365  logdivlti  20468  logcnlem2  20487  ang180lem2  20605  isosctrlem2  20616  birthdaylem2  20744  cxp2limlem  20767  cxp2lim  20768  cxploglim  20769  cxploglim2  20770  amgmlem  20781  logdiflbnd  20786  emcllem2  20788  fsumharmonic  20803  ftalem4  20811  chpval2  20955  chpchtsum  20956  logfacrlim  20961  logexprlim  20962  bclbnd  21017  bposlem1  21021  bposlem2  21022  lgsquadlem2  21092  chebbnd1lem1  21116  chebbnd1lem3  21118  chebbnd1  21119  chtppilimlem2  21121  chebbnd2  21124  chto1lb  21125  rplogsumlem2  21132  rpvmasumlem  21134  dchrvmasumlem1  21142  dchrvmasum2if  21144  dchrisum0lem1b  21162  dchrisum0lem2a  21164  vmalogdivsum2  21185  2vmadivsumlem  21187  selberglem3  21194  selberg  21195  selberg4lem1  21207  selberg3r  21216  selberg4r  21217  selberg34r  21218  pntrlog2bndlem1  21224  pntrlog2bndlem2  21225  pntrlog2bndlem3  21226  pntrlog2bndlem4  21227  pntrlog2bndlem5  21228  pntrlog2bndlem6a  21229  pntrlog2bndlem6  21230  pntrlog2bnd  21231  pntpbnd1a  21232  pntpbnd1  21233  pntpbnd2  21234  pntibndlem2  21238  pntibndlem3  21239  pntlemd  21241  pntlemc  21242  pntlema  21243  pntlemb  21244  pntlemg  21245  pntlemn  21247  pntlemq  21248  pntlemr  21249  pntlemj  21250  pntlemf  21252  pntlemo  21254  pnt2  21260  pnt  21261  ostth2lem3  21282  ostth2  21284  blocni  22259  ubthlem2  22326  lnconi  23489  rpxdivcld  24133  lgamgulmlem2  24767  lgamgulmlem3  24768  lgamgulmlem4  24769  lgamgulmlem5  24770  lgamgulmlem6  24771  lgamgulm2  24773  lgamucov  24775  lgamcvg2  24792  gamcvg  24793  gamcvg2lem  24796  regamcl  24798  relgamcl  24799  lgam1  24801  faclimlem1  25310  faclimlem3  25312  faclim  25313  iprodfac  25314  equivtotbnd  26377  rrncmslem  26431  rrnequiv  26434  irrapxlem5  26779  stoweidlem31  27647  stoweidlem59  27675  wallispilem3  27683  wallispilem4  27684  wallispilem5  27685  wallispi  27686  wallispi2lem1  27687  stirlinglem2  27691  stirlinglem4  27693  stirlinglem8  27697  stirlinglem13  27702  stirlinglem14  27703  stirlinglem15  27704  stirlingr  27706
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-rp 10569
  Copyright terms: Public domain W3C validator