MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpdivcld Structured version   Unicode version

Theorem rpdivcld 11156
Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
rpaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpdivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpaddcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rpdivcl 11125 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR+ )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758  (class class class)co 6201    / cdiv 10105   RR+crp 11103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-rp 11104
This theorem is referenced by:  bcpasc  12215  mulcn2  13192  o1rlimmul  13215  mertenslem1  13463  mertenslem2  13464  effsumlt  13514  prmind2  13893  nlmvscnlem2  20399  nlmvscnlem1  20400  nghmcn  20457  lebnumlem3  20668  lebnumii  20671  nmoleub3  20807  ipcnlem2  20889  ipcnlem1  20890  equivcfil  20943  equivcau  20944  ovollb2lem  21104  ovoliunlem1  21118  uniioombllem6  21202  itg2const2  21353  itg2cnlem2  21374  aalioulem2  21933  aalioulem4  21935  aalioulem5  21936  aalioulem6  21937  aaliou  21938  aaliou2b  21941  aaliou3lem9  21950  itgulm  22007  abelthlem7  22037  abelthlem8  22038  tanrpcl  22100  logdivlti  22203  logcnlem2  22222  ang180lem2  22340  isosctrlem2  22351  birthdaylem2  22480  cxp2limlem  22503  cxp2lim  22504  cxploglim  22505  cxploglim2  22506  amgmlem  22517  logdiflbnd  22522  emcllem2  22524  fsumharmonic  22539  ftalem4  22547  chpval2  22691  chpchtsum  22692  logfacrlim  22697  logexprlim  22698  bclbnd  22753  bposlem1  22757  bposlem2  22758  lgsquadlem2  22828  chebbnd1lem1  22852  chebbnd1lem3  22854  chebbnd1  22855  chtppilimlem2  22857  chebbnd2  22860  chto1lb  22861  rplogsumlem2  22868  rpvmasumlem  22870  dchrvmasumlem1  22878  dchrvmasum2if  22880  dchrisum0lem1b  22898  dchrisum0lem2a  22900  vmalogdivsum2  22921  2vmadivsumlem  22923  selberglem3  22930  selberg  22931  selberg4lem1  22943  selberg3r  22952  selberg4r  22953  selberg34r  22954  pntrlog2bndlem1  22960  pntrlog2bndlem2  22961  pntrlog2bndlem3  22962  pntrlog2bndlem4  22963  pntrlog2bndlem5  22964  pntrlog2bndlem6a  22965  pntrlog2bndlem6  22966  pntrlog2bnd  22967  pntpbnd1a  22968  pntpbnd1  22969  pntpbnd2  22970  pntibndlem2  22974  pntibndlem3  22975  pntlemd  22977  pntlemc  22978  pntlema  22979  pntlemb  22980  pntlemg  22981  pntlemn  22983  pntlemq  22984  pntlemr  22985  pntlemj  22986  pntlemf  22988  pntlemo  22990  pnt2  22996  pnt  22997  ostth2lem3  23018  ostth2  23020  blocni  24358  ubthlem2  24425  lnconi  25590  rpxdivcld  26255  lgamgulmlem2  27161  lgamgulmlem3  27162  lgamgulmlem4  27163  lgamgulmlem5  27164  lgamgulmlem6  27165  lgamgulm2  27167  lgamucov  27169  lgamcvg2  27186  gamcvg  27187  gamcvg2lem  27190  regamcl  27192  relgamcl  27193  lgam1  27195  faclimlem1  27694  faclimlem3  27696  faclim  27697  iprodfac  27698  equivtotbnd  28826  rrncmslem  28880  rrnequiv  28883  irrapxlem5  29316  stoweidlem31  29975  stoweidlem59  30003  wallispilem3  30011  wallispilem4  30012  wallispilem5  30013  wallispi  30014  wallispi2lem1  30015  stirlinglem2  30019  stirlinglem4  30021  stirlinglem8  30025  stirlinglem13  30030  stirlinglem14  30031  stirlinglem15  30032  stirlingr  30034
  Copyright terms: Public domain W3C validator