Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnsubaddlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: (voln*‘𝑋) is subadditive. Proposition 115D (a)(iv) of [Fremlin1] p. 31 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnsubaddlem2.z 𝑍 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)(𝑎 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))})
ovnsubaddlem2.c 𝐶 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ) ∣ 𝑎 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑙𝑗))‘𝑘)})
ovnsubaddlem2.l 𝐿 = ( ∈ ((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ )‘𝑘)))
ovnsubaddlem2.d 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (𝑒 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑒)}))
Assertion
Ref Expression
ovnsubaddlem2 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   𝐴,𝑘,𝑙,𝑎,𝑖,𝑗,𝑛   𝑧,𝐴,𝑎,𝑖,𝑗,𝑘,𝑛   𝐶,𝑎,𝑒,𝑖   𝐷,𝑎,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   𝐷,𝑘   𝐸,𝑎,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   𝑘,𝐸   𝐿,𝑎,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   𝑋,𝑎,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   ,𝑋,𝑘,𝑖,𝑗   𝑋,𝑙   𝑧,𝑋   𝜑,𝑎,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,,𝑙)   𝐴()   𝐶(𝑧,,𝑗,𝑘,𝑛,𝑙)   𝐷(𝑧,,𝑙)   𝐸(𝑧,,𝑙)   𝐿(𝑧,,𝑘,𝑙)   𝑍(𝑧,𝑒,,𝑖,𝑗,𝑘,𝑛,𝑎,𝑙)

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6113 . . . 4 ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ∈ V
2 nnenom 12641 . . . 4 ℕ ≈ ω
31, 2axcc3 9143 . . 3 𝑔(𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
4 simprl 790 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))) → 𝑔 Fn ℕ)
5 nfv 1830 . . . . . . . . 9 𝑛𝜑
6 nfra1 2925 . . . . . . . . 9 𝑛𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
75, 6nfan 1816 . . . . . . . 8 𝑛(𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
8 rspa 2914 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
98adantll 746 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
10 ovnsubaddlem2.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
1110adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ Fin)
12 ovnsubaddlem2.n0 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ≠ ∅)
14 ovnsubaddlem2.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋))
1514adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋))
16 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
1715, 16ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋))
18 elpwi 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝑛) ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋) → (𝐴𝑛) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
20 ovnsubaddlem2.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐸 ∈ ℝ+)
22 nnnn0 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
23 2nn 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℕ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
25 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
26 nnexpcl 12735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
2724, 25, 26syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
28 nnrp 11718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2↑𝑛) ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
3022, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
3130adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
3221, 31rpdivcld 11765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+)
33 ovnsubaddlem2.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ) ∣ 𝑎 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑙𝑗))‘𝑘)})
34 ovnsubaddlem2.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐿 = ( ∈ ((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ )‘𝑘)))
35 ovnsubaddlem2.d . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (𝑒 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑒)}))
3611, 13, 19, 32, 33, 34, 35ovncvrrp 39454 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑖 𝑖 ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
37 n0 3890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 𝑖 ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
3836, 37sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅)
40 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
4139, 40mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
4241ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
4342adantlr 747 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
449, 43mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
4544ex 449 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → (𝑛 ∈ ℕ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
467, 45ralrimi 2940 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
4746adantrl 748 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
484, 47jca 553 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))) → (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
4948ex 449 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))))
5049eximdv 1833 . . 3 (𝜑 → (∃𝑔(𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → ∃𝑔(𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))))
513, 50mpi 20 . 2 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
52 simpl 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → 𝜑)
53 simprl 790 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → 𝑔 Fn ℕ)
54 simprr 792 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
55 nnf1oxpnn 38379 . . . . . 6 𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)
56 simpl1 1057 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝜑)
57 simpl2 1058 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝑔 Fn ℕ)
58 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 𝑛 → (𝑔𝑞) = (𝑔𝑛))
59 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 = 𝑛 → (𝐴𝑞) = (𝐴𝑛))
6059fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = 𝑛 → (𝐷‘(𝐴𝑞)) = (𝐷‘(𝐴𝑛)))
61 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 = 𝑛 → (2↑𝑞) = (2↑𝑛))
6261oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = 𝑛 → (𝐸 / (2↑𝑞)) = (𝐸 / (2↑𝑛)))
6360, 62fveq12d 6109 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 𝑛 → ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞))) = ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
6458, 63eleq12d 2682 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑛 → ((𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞))) ↔ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
6564cbvralv 3147 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
6665biimpri 217 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) → ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞))))
67663ad2ant3 1077 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) → ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞))))
6867adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞))))
69 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ))
7010adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝑋 ∈ Fin)
71703ad2antl1 1216 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝑋 ∈ Fin)
7212adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝑋 ≠ ∅)
73723ad2antl1 1216 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝑋 ≠ ∅)
7414adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝐴:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋))
75743ad2antl1 1216 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝐴:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋))
7620adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
77763ad2antl1 1216 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
78 ovnsubaddlem2.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)(𝑎 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))})
79 coeq2 5202 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = 𝑖 → ([,) ∘ ) = ([,) ∘ 𝑖))
8079fveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = 𝑖 → (([,) ∘ )‘𝑘) = (([,) ∘ 𝑖)‘𝑘))
8180fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 ( = 𝑖 → (vol‘(([,) ∘ )‘𝑘)) = (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)))
8281prodeq2ad 38659 . . . . . . . . . . . 12 ( = 𝑖 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ )‘𝑘)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)))
8382cbvmptv 4678 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ ((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ )‘𝑘))) = (𝑖 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)))
8434, 83eqtri 2632 . . . . . . . . . 10 𝐿 = (𝑖 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)))
8565biimpi 205 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
86853ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
8786ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
88 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
89 rspa 2914 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
9087, 88, 89syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
91 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ))
92 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 𝑚 → (𝑓𝑞) = (𝑓𝑚))
9392fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑚 → (1st ‘(𝑓𝑞)) = (1st ‘(𝑓𝑚)))
9493fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑚 → (𝑔‘(1st ‘(𝑓𝑞))) = (𝑔‘(1st ‘(𝑓𝑚))))
9592fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑚 → (2nd ‘(𝑓𝑞)) = (2nd ‘(𝑓𝑚)))
9694, 95fveq12d 6109 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑚 → ((𝑔‘(1st ‘(𝑓𝑞)))‘(2nd ‘(𝑓𝑞))) = ((𝑔‘(1st ‘(𝑓𝑚)))‘(2nd ‘(𝑓𝑚))))
9796cbvmptv 4678 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘(1st ‘(𝑓𝑞)))‘(2nd ‘(𝑓𝑞)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘(1st ‘(𝑓𝑚)))‘(2nd ‘(𝑓𝑚))))
9871, 73, 75, 77, 78, 33, 84, 35, 90, 91, 97ovnsubaddlem1 39460 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸))
9956, 57, 68, 69, 98syl31anc 1321 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸))
10099ex 449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) → (𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸)))
101100exlimdv 1848 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) → (∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸)))
10255, 101mpi 20 . . . . 5 ((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸))
10352, 53, 54, 102syl3anc 1318 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸))
104103ex 449 . . 3 (𝜑 → ((𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸)))
105104exlimdv 1848 . 2 (𝜑 → (∃𝑔(𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸)))
10651, 105mpd 15 1 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  ∪ ciun 4455   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036   ∘ ccom 5042   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1st c1st 7057  2nd c2nd 7058   ↑𝑚 cmap 7744  Xcixp 7794  Fincfn 7841  ℝcr 9814  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℝ+crp 11708   +𝑒 cxad 11820  [,)cico 12048  ↑cexp 12722  ∏cprod 14474  volcvol 23039  Σ^csumge0 39255  voln*covoln 39426 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-prod 14475  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-0g 15925  df-topgen 15927  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-sumge0 39256  df-ovoln 39427 This theorem is referenced by:  ovnsubadd  39462
 Copyright terms: Public domain W3C validator