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Theorem ovnsubaddlem2 38387
Description: (voln* ` X ) is subadditive. Proposition 115D (a)(iv) of [Fremlin1] p. 31 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnsubaddlem2.x |- ( ph -> X e. Fin )
ovnsubaddlem2.n0 |- ( ph -> X =/= (/) )
ovnsubaddlem2.a |- ( ph -> A : NN --> ~P ( RR ^m X ) )
ovnsubaddlem2.e |- ( ph -> E e. RR+ )
ovnsubaddlem2.z |- Z = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( a C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } )
ovnsubaddlem2.c |- C = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | a C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } )
ovnsubaddlem2.l |- L = ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) )
ovnsubaddlem2.d |- D = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> ( e e. RR+ |-> { i e. ( C ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e e ) } ) )
Assertion
Ref Expression
ovnsubaddlem2 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) +e E ) )
Distinct variable groups:   A, a, e, i, j, n   A, k, l, a, i, j, n   z, A, a, i, j, k, n   C, a, e, i   D, a, e, i, j, n   D, k   E, a, e, i, j, n   k, E   L, a, e, i, j, n   X, a, e, i, j, n   h, X, k, i, j   X, l   z, X   ph, a, e, i, j, n   ph, k
Allowed substitution hints:   ph( z, h, l)   A( h)   C( z, h, j, k, n, l)   D( z, h, l)   E( z, h, l)   L( z, h, k, l)   Z( z, e, h, i, j, k, n, a, l)
Proof of Theorem ovnsubaddlem2
Dummy variables f g m q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5873 . . . 4 |- ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) e. _V
2 nnenom 12190 . . . 4 |- NN ~~ om
31, 2axcc3 8865 . . 3 |- E. g ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
4 simprl 763 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) -> g Fn NN )
5 nfv 1760 . . . . . . . . 9 |- F/ n ph
6 nfra1 2768 . . . . . . . . 9 |- F/ n A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
75, 6nfan 2010 . . . . . . . 8 |- F/ n ( ph /\ A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
8 rspa 2754 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
98adantll 719 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
10 ovnsubaddlem2.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> X e. Fin )
1110adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. Fin )
12 ovnsubaddlem2.n0 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> X =/= (/) )
1312adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X =/= (/) )
14 ovnsubaddlem2.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A : NN --> ~P ( RR ^m X ) )
1514adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A : NN --> ~P ( RR ^m X ) )
16 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
1715, 16ffvelrnd 6021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) e. ~P ( RR ^m X ) )
18 elpwi 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A ` n ) e. ~P ( RR ^m X ) -> ( A ` n ) C_ ( RR ^m X ) )
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) C_ ( RR ^m X ) )
20 ovnsubaddlem2.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> E e. RR+ )
2120adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> E e. RR+ )
22 nnnn0 10873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN -> n e. NN0 )
23 2nn 10764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 e. NN
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. NN0 -> 2 e. NN )
25 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. NN0 -> n e. NN0 )
26 nnexpcl 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( 2 ^ n ) e. NN )
2724, 25, 26syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. NN0 -> ( 2 ^ n ) e. NN )
28 nnrp 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 ^ n ) e. NN -> ( 2 ^ n ) e. RR+ )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN0 -> ( 2 ^ n ) e. RR+ )
3022, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN -> ( 2 ^ n ) e. RR+ )
3130adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 ^ n ) e. RR+ )
3221, 31rpdivcld 11355 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E / ( 2 ^ n ) ) e. RR+ )
33 ovnsubaddlem2.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- C = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | a C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } )
34 ovnsubaddlem2.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- L = ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) )
35 ovnsubaddlem2.d . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- D = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> ( e e. RR+ |-> { i e. ( C ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e e ) } ) )
3611, 13, 19, 32, 33, 34, 35ovncvrrp 38380 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> E. i i e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
37 n0 3740 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) <-> E. i i e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
3836, 37sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) )
3938adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) )
40 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
4139, 40mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
4241ex 436 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
4342adantlr 720 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
449, 43mpd 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
4544ex 436 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ( n e. NN -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
467, 45ralrimi 2787 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
4746adantrl 721 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) -> A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
484, 47jca 535 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) -> ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
4948ex 436 . . . 4 |- ( ph -> ( ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
5049eximdv 1763 . . 3 |- ( ph -> ( E. g ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> E. g ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
513, 50mpi 20 . 2 |- ( ph -> E. g ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
52 simpl 459 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ph )
53 simprl 763 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> g Fn NN )
54 simprr 765 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
55 nnf1oxpnn 37466 . . . . . 6 |- E. f f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN )
56 simpl1 1010 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> ph )
57 simpl2 1011 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> g Fn NN )
58 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = n -> ( g ` q ) = ( g ` n ) )
59 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( q = n -> ( A ` q ) = ( A ` n ) )
6059fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q = n -> ( D ` ( A ` q ) ) = ( D ` ( A ` n ) ) )
61 oveq2 6296 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( q = n -> ( 2 ^ q ) = ( 2 ^ n ) )
6261oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q = n -> ( E / ( 2 ^ q ) ) = ( E / ( 2 ^ n ) ) )
6360, 62fveq12d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = n -> ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) = ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
6458, 63eleq12d 2522 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = n -> ( ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) <-> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
6564cbvralv 3018 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) <-> A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
6665biimpri 210 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) -> A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) )
67663ad2ant3 1030 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) )
6867adantr 467 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) )
69 simpr 463 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) )
7010adantr 467 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> X e. Fin )
71703ad2antl1 1169 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> X e. Fin )
7212adantr 467 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> X =/= (/) )
73723ad2antl1 1169 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> X =/= (/) )
7414adantr 467 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> A : NN --> ~P ( RR ^m X ) )
75743ad2antl1 1169 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> A : NN --> ~P ( RR ^m X ) )
7620adantr 467 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> E e. RR+ )
77763ad2antl1 1169 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> E e. RR+ )
78 ovnsubaddlem2.z . . . . . . . . . 10 |- Z = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( a C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } )
79 coeq2 4992 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = i -> ( [,) o. h ) = ( [,) o. i ) )
8079fveq1d 5865 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = i -> ( ( [,) o. h ) ` k ) = ( ( [,) o. i ) ` k ) )
8180fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = i -> ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. i ) ` k ) ) )
8281prodeq2ad 37666 . . . . . . . . . . . 12 |- ( h = i -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. i ) ` k ) ) )
8382cbvmptv 4494 . . . . . . . . . . 11 |- ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) = ( i e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. i ) ` k ) ) )
8434, 83eqtri 2472 . . . . . . . . . 10 |- L = ( i e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. i ) ` k ) ) )
8565biimpi 198 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) -> A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
86853ad2ant3 1030 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) ) -> A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
8786ad2antrr 731 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) /\ n e. NN ) -> A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
88 simpr 463 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) /\ n e. NN ) -> n e. NN )
89 rspa 2754 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
9087, 88, 89syl2anc 666 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) /\ n e. NN ) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
91 simpr 463 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) )
92 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = m -> ( f ` q ) = ( f ` m ) )
9392fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = m -> ( 1st ` ( f ` q ) ) = ( 1st ` ( f ` m ) ) )
9493fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . 12 |- ( q = m -> ( g ` ( 1st ` ( f ` q ) ) ) = ( g ` ( 1st ` ( f ` m ) ) ) )
9592fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . 12 |- ( q = m -> ( 2nd ` ( f ` q ) ) = ( 2nd ` ( f ` m ) ) )
9694, 95fveq12d 5869 . . . . . . . . . . 11 |- ( q = m -> ( ( g ` ( 1st ` ( f ` q ) ) ) ` ( 2nd ` ( f ` q ) ) ) = ( ( g ` ( 1st ` ( f ` m ) ) ) ` ( 2nd ` ( f ` m ) ) ) )
9796cbvmptv 4494 . . . . . . . . . 10 |- ( q e. NN |-> ( ( g ` ( 1st ` ( f ` q ) ) ) ` ( 2nd ` ( f ` q ) ) ) ) = ( m e. NN |-> ( ( g ` ( 1st ` ( f ` m ) ) ) ` ( 2nd ` ( f ` m ) ) ) )
9871, 73, 75, 77, 78, 33, 84, 35, 90, 91, 97ovnsubaddlem1 38386 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) +e E ) )
9956, 57, 68, 69, 98syl31anc 1270 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) +e E ) )
10099ex 436 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> ( f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) +e E ) ) )
101100exlimdv 1778 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> ( E. f f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) +e E ) ) )
10255, 101mpi 20 . . . . 5 |- ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) +e E ) )
10352, 53, 54, 102syl3anc 1267 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) +e E ) )
104103ex 436 . . 3 |- ( ph -> ( ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) +e E ) ) )
105104exlimdv 1778 . 2 |- ( ph -> ( E. g ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) +e E ) ) )
10651, 105mpd 15 1 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) +e E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   E.wex 1662   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   U_ciun 4277   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   X. cxp 4831   o. ccom 4837   Fn wfn 5576   -->wf 5577   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   1stc1st 6788   2ndc2nd 6789   ^m cmap 7469   X_cixp 7519   Fincfn 7566   RRcr 9535   RR*cxr 9671   <_ cle 9673   / cdiv 10266   NNcn 10606   2c2 10656   NN0cn0 10866   RR+crp 11299   +ecxad 11404   [,)cico 11634   ^cexp 12269   prod_cprod 13952   volcvol 22408  Σ^csumge0 38198  voln*covoln 38351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cc 8862  ax-ac2 8890  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-tpos 6970  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373  df-ac 8544  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-prod 13953  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-rest 15314  df-0g 15333  df-topgen 15335  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-subg 16807  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-unit 17863  df-invr 17893  df-dvr 17904  df-drng 17970  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cmp 20395  df-ovol 22409  df-vol 22411  df-sumge0 38199  df-ovoln 38352
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