Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chebbnd2 24966
 Description: The Chebyshev bound, part 2: The function π(𝑥) is eventually upper bounded by a positive constant times 𝑥 / log(𝑥). Alternatively stated, the function π(𝑥) / (𝑥 / log(𝑥)) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chebbnd2 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chebbnd2
StepHypRef Expression
1 ovex 6577 . . . . . 6 (2[,)+∞) ∈ V
21a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (2[,)+∞) ∈ V)
3 ovex 6577 . . . . . 6 ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ V
43a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ V)
5 ovex 6577 . . . . . 6 (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ V
65a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ V)
7 eqidd 2611 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)))
8 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (2[,)+∞))
9 2re 10967 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
10 elicopnf 12140 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
128, 11sylib 207 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
13 chtrpcl 24701 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
1514rpcnne0d 11757 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0))
16 ppinncl 24700 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π𝑥) ∈ ℕ)
1712, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π𝑥) ∈ ℕ)
1817nnrpd 11746 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π𝑥) ∈ ℝ+)
1912simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
20 1red 9934 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
219a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
22 1lt2 11071 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 < 2)
2412simprd 478 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ≤ 𝑥)
2520, 21, 19, 23, 24ltletrd 10076 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 < 𝑥)
2619, 25rplogcld 24179 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
2718, 26rpmulcld 11764 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
2827rpcnne0d 11757 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ≠ 0))
29 recdiv 10610 . . . . . . 7 ((((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0) ∧ (((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ≠ 0)) → (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
3015, 28, 29syl2anc 691 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
3130mpteq2dva 4672 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
322, 4, 6, 7, 31offval2 6812 . . . 4 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))))
33 0red 9920 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
34 2pos 10989 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 < 2)
3633, 21, 19, 35, 24ltletrd 10076 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 < 𝑥)
3719, 36elrpd 11745 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
3837rpcnne0d 11757 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
3927rpcnd 11750 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
40 dmdcan 10614 . . . . . . 7 ((((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
4115, 38, 39, 40syl3anc 1318 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
4218rpcnd 11750 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π𝑥) ∈ ℂ)
4326rpcnne0d 11757 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0))
44 divdiv2 10616 . . . . . . 7 (((π𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0)) → ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
4542, 38, 43, 44syl3anc 1318 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
4641, 45eqtr4d 2647 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
4746mpteq2dva 4672 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
4832, 47eqtrd 2644 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
4937ex 449 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+))
5049ssrdv 3574 . . . . 5 (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ+)
51 chto1ub 24965 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
5251a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
5350, 52o1res2 14142 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
54 ax-1cn 9873 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
5554a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
5614, 27rpdivcld 11765 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
5756rpcnd 11750 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
58 pnfxr 9971 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
59 icossre 12125 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (2[,)+∞) ⊆ ℝ)
609, 58, 59mp2an 704 . . . . . . . 8 (2[,)+∞) ⊆ ℝ
61 rlimconst 14123 . . . . . . . 8 (((2[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
6260, 54, 61mp2an 704 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1
6362a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
64 chtppilim 24964 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1
6564a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
66 ax-1ne0 9884 . . . . . . 7 1 ≠ 0
6766a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 1 ≠ 0)
6856rpne0d 11753 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
6955, 57, 63, 65, 67, 68rlimdiv 14224 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1))
70 rlimo1 14195 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
7169, 70syl 17 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
72 o1mul 14193 . . . 4 (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) ∈ 𝑂(1))
7353, 71, 72syl2anc 691 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) ∈ 𝑂(1))
7448, 73eqeltrrd 2689 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
7574trud 1484 1 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℝ+crp 11708  [,)cico 12048   ⇝𝑟 crli 14064  𝑂(1)co1 14065  logclog 24105  θccht 24617  πcppi 24620 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-o1 14069  df-lo1 14070  df-sum 14265  df-ef 14637  df-e 14638  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108  df-cht 24623  df-ppi 24626 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator