Theorem aalioulem5 23895

Description: Lemma for aaliou 23897. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aalioulem2.a	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
aalioulem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem2.c	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aalioulem2.d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)

Assertion

Ref	Expression
aalioulem5	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑝,𝑞   𝑥,𝐴,𝑝,𝑞   𝑥,𝐹,𝑝,𝑞   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem aalioulem5

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aalioulem2.a	. . 3 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
2		aalioulem2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
3		aalioulem2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		aalioulem2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		aalioulem3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
6	1, 2, 3, 4, 5	aalioulem4 23894	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
7		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ+)
8		1rp 11712	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
9		ifcl 4080	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ∈ ℝ+)
10	7, 8, 9	sylancl 693	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ∈ ℝ+)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ∈ ℝ+)
12		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℕ)
13	12	nnrpd 11746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℝ+)
14	3	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
15	14	nnzd 11357	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
16	13, 15	rpexpcld 12894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞↑𝑁) ∈ ℝ+)
17	11, 16	rpdivcld 11765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ+)
18	17	rpred 11748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ)
19		1re 9918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℝ)
21	4	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
22		znq 11668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ)
23		qre 11669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
26	21, 25	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℝ)
27	26	recnd 9947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℂ)
28	27	abscld 14023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
29	18, 20, 28	3jca 1235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
30	29	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
31	16	rprecred 11759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ)
32	11	rpred 11748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ∈ ℝ)
33		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
34	33	rpred 11748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
35		min2 11895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ≤ 1)
36	34, 19, 35	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ≤ 1)
37	32, 20, 16, 36	lediv1dd 11806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (1 / (𝑞↑𝑁)))
38	14	nnnn0d 11228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
39	12, 38	nnexpcld 12892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞↑𝑁) ∈ ℕ)
40		1nn 10908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℕ)
42	39, 41	nnmulcld 10945	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑞↑𝑁) · 1) ∈ ℕ)
43	42	nnge1d 10940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 1 ≤ ((𝑞↑𝑁) · 1))
44	20, 20, 16	ledivmuld 11801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((1 / (𝑞↑𝑁)) ≤ 1 ↔ 1 ≤ ((𝑞↑𝑁) · 1)))
45	43, 44	mpbird 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / (𝑞↑𝑁)) ≤ 1)
46	18, 31, 20, 37, 45	letrd 10073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ 1)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ 1)
48		ltle 10005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ) → (1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → 1 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
49	19, 28, 48	sylancr 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → 1 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
50	49	imp 444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → 1 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
51	47, 50	jca 553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
52		letr 10010	. . . . . . . . 9 ⊢ (((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ) → (((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
53	30, 51, 52	sylc 63	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
54	53	olcd 407	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
55	54	2a1d 26	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
56		pm3.21 463	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1 → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)))
57	56	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)))
58	33, 16	rpdivcld 11765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ+)
59	58	rpred 11748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ)
60	18, 59, 28	3jca 1235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
62		min1 11894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ≤ 𝑎)
63	34, 19, 62	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ≤ 𝑎)
64	32, 34, 16, 63	lediv1dd 11806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)))
65	64	anim1i 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
66		letr 10010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ) → (((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
67	61, 65, 66	sylc 63	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
68	67	ex 449	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
69	68	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → ((𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
70	69	orim2d 881	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
71	57, 70	imim12d 79	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → ((((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
72	55, 71, 20, 28	ltlecasei 10024	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
73	72	ralimdvva 2947	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
74		oveq1 6556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) = (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)))
75	74	breq1d 4593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) → ((𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ↔ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
76	75	orbi2d 734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
77	76	imbi2d 329	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) → (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ↔ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
78	77	2ralbidv 2972	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
79	78	rspcev 3282	. . . 4 ⊢ ((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
80	10, 73, 79	syl6an 566	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
81	80	rexlimdva 3013	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
82	6, 81	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  ifcif 4036   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ℚcq 11664  ℝ⁺crp 11708  ↑cexp 12722  abscabs 13822  Polycply 23744  degcdgr 23747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-0p 23243  df-limc 23436  df-dv 23437  df-dvn 23438  df-cpn 23439  df-ply 23748  df-coe 23750  df-dgr 23751

This theorem is referenced by:  aalioulem6  23896