MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aalioulem5 Structured version   Unicode version

Theorem aalioulem5 21928
Description: Lemma for aaliou 21930. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a  |-  N  =  (deg `  F )
aalioulem2.b  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
aalioulem2.c  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
aalioulem2.d  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
aalioulem3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
Assertion
Ref Expression
aalioulem5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, p, q    x, A, p, q    x, F, p, q    x, N
Allowed substitution hints:    N( q, p)

Proof of Theorem aalioulem5
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.a . . 3  |-  N  =  (deg `  F )
2 aalioulem2.b . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
3 aalioulem2.c . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 aalioulem2.d . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5 aalioulem3.e . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
61, 2, 3, 4, 5aalioulem4 21927 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
7 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ )  ->  a  e.  RR+ )
8 1rp 11099 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
9 ifcl 3932 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  1  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  e.  RR+ )
107, 8, 9sylancl 662 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ )  ->  if (
a  <_  1 , 
a ,  1 )  e.  RR+ )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  if (
a  <_  1 , 
a ,  1 )  e.  RR+ )
12 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  q  e.  NN )
1312nnrpd 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  q  e.  RR+ )
143ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  N  e.  NN )
1514nnzd 10850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  N  e.  ZZ )
1613, 15rpexpcld 12141 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( q ^ N )  e.  RR+ )
1711, 16rpdivcld 11148 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR+ )
1817rpred 11131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
19 1re 9489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  1  e.  RR )
214ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  A  e.  RR )
22 znq 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  QQ )
23 qre 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( p  /  q )  e.  QQ  ->  (
p  /  q )  e.  RR )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  RR )
2524adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( p  /  q )  e.  RR )
2621, 25resubcld 9880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  RR )
2726recnd 9516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  CC )
2827abscld 13033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  e.  RR )
2918, 20, 283jca 1168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  e.  RR ) )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  1  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  / 
( q ^ N
) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  e.  RR ) )
3116rprecred 11142 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( 1  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
3211rpred 11131 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  if (
a  <_  1 , 
a ,  1 )  e.  RR )
33 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  a  e.  RR+ )
3433rpred 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  a  e.  RR )
35 min2 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
1 ,  a ,  1 )  <_  1
)
3634, 19, 35sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  if (
a  <_  1 , 
a ,  1 )  <_  1 )
3732, 20, 16, 36lediv1dd 11185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( 1  / 
( q ^ N
) ) )
3814nnnn0d 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  N  e.  NN0 )
3912, 38nnexpcld 12139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( q ^ N )  e.  NN )
40 1nn 10437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  NN
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  1  e.  NN )
4239, 41nnmulcld 10473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( (
q ^ N )  x.  1 )  e.  NN )
4342nnge1d 10468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  1  <_  ( ( q ^ N
)  x.  1 ) )
4420, 20, 16ledivmuld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( (
1  /  ( q ^ N ) )  <_  1  <->  1  <_  ( ( q ^ N
)  x.  1 ) ) )
4543, 44mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( 1  /  ( q ^ N ) )  <_ 
1 )
4618, 31, 20, 37, 45letrd 9632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  1 )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  1  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  1 )
48 ltle 9567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  e.  RR )  -> 
( 1  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  -> 
1  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
4919, 28, 48sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( 1  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  ->  1  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) ) ) )
5049imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  1  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  1  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
5147, 50jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  1  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  / 
( q ^ N
) )  <_  1  /\  1  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
52 letr 9572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  / 
( q ^ N
) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  1  /\  1  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
5330, 51, 52sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  1  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
5453olcd 393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  1  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
5554a1d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  1  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 , 
a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
5655a1d 25 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  1  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
( ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
)  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  -> 
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 , 
a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
57 pm3.21 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  <_  1  ->  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) ) )
5857adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
)  ->  ( ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0  ->  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) ) )
5933, 16rpdivcld 11148 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( a  /  ( q ^ N ) )  e.  RR+ )
6059rpred 11131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( a  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
6118, 60, 283jca 1168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  (
a  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  e.  RR ) )
6261adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  / 
( q ^ N
) )  e.  RR  /\  ( a  /  (
q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  e.  RR ) )
63 min1 11264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
1 ,  a ,  1 )  <_  a
)
6434, 19, 63sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  if (
a  <_  1 , 
a ,  1 )  <_  a )
6532, 34, 16, 64lediv1dd 11185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( a  / 
( q ^ N
) ) )
6665anim1i 568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  / 
( q ^ N
) )  <_  (
a  /  ( q ^ N ) )  /\  ( a  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
67 letr 9572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  / 
( q ^ N
) )  e.  RR  /\  ( a  /  (
q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( a  / 
( q ^ N
) )  /\  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
6862, 66, 67sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
6968ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
7069adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
)  ->  ( (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
7170orim2d 836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
)  ->  ( ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 , 
a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
7258, 71imim12d 74 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
)  ->  ( (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  -> 
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 , 
a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
7356, 72, 20, 28ltlecasei 9586 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  -> 
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 , 
a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
7473anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  p  e.  ZZ )  /\  q  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  -> 
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 , 
a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
7574ralimdva 2827 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( A. q  e.  NN  ( ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
)  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  ->  A. q  e.  NN  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 , 
a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
7675ralimdva 2827 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ )  ->  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <_ 
1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )  ->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 , 
a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
77 oveq1 6200 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  -> 
( x  /  (
q ^ N ) )  =  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) ) )
7877breq1d 4403 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  -> 
( ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
7978orbi2d 701 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  -> 
( ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  <->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
8079imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  -> 
( ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  <->  ( ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) ) )
81802ralbidv 2871 . . . . 5  |-  ( x  =  if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  -> 
( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  <->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
8281rspcev 3172 . . . 4  |-  ( ( if ( a  <_ 
1 ,  a ,  1 )  e.  RR+  /\ 
A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 , 
a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
8310, 76, 82syl6an 545 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ )  ->  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <_ 
1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) ) )
8483rexlimdva 2940 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
856, 84mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   ifcif 3892   class class class wbr 4393   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387    x. cmul 9391    < clt 9522    <_ cle 9523    - cmin 9699    / cdiv 10097   NNcn 10426   ZZcz 10750   QQcq 11057   RR+crp 11095   ^cexp 11975   abscabs 12834  Polycply 21778  degcdgr 21781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077  df-rlim 13078  df-sum 13275  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-mulg 15659  df-subg 15789  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-cring 16763  df-subrg 16978  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-cnfld 17937  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cld 18748  df-ntr 18749  df-cls 18750  df-nei 18827  df-lp 18865  df-perf 18866  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-haus 19044  df-cmp 19115  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-fil 19544  df-fm 19636  df-flim 19637  df-flf 19638  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022  df-cncf 20579  df-0p 21274  df-limc 21467  df-dv 21468  df-dvn 21469  df-cpn 21470  df-ply 21782  df-coe 21784  df-dgr 21785
This theorem is referenced by:  aalioulem6  21929
  Copyright terms: Public domain W3C validator