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Theorem aalioulem5 22817
Description: Lemma for aaliou 22819. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a  |-  N  =  (deg `  F )
aalioulem2.b  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
aalioulem2.c  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
aalioulem2.d  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
aalioulem3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
Assertion
Ref Expression
aalioulem5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, p, q    x, A, p, q    x, F, p, q    x, N
Allowed substitution hints:    N( q, p)

Proof of Theorem aalioulem5
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.a . . 3  |-  N  =  (deg `  F )
2 aalioulem2.b . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
3 aalioulem2.c . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 aalioulem2.d . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5 aalioulem3.e . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
61, 2, 3, 4, 5aalioulem4 22816 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
7 simpr 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ )  ->  a  e.  RR+ )
8 1rp 11143 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
9 ifcl 3899 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  1  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  e.  RR+ )
107, 8, 9sylancl 660 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ )  ->  if (
a  <_  1 , 
a ,  1 )  e.  RR+ )
1110adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  if (
a  <_  1 , 
a ,  1 )  e.  RR+ )
12 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  q  e.  NN )
1312nnrpd 11175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  q  e.  RR+ )
143ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  N  e.  NN )
1514nnzd 10883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  N  e.  ZZ )
1613, 15rpexpcld 12235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( q ^ N )  e.  RR+ )
1711, 16rpdivcld 11194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR+ )
1817rpred 11177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
19 1re 9506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  1  e.  RR )
214ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  A  e.  RR )
22 znq 11105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  QQ )
23 qre 11106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  /  q )  e.  QQ  ->  (
p  /  q )  e.  RR )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  RR )
2524adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( p  /  q )  e.  RR )
2621, 25resubcld 9905 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  RR )
2726recnd 9533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  CC )
2827abscld 13269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  e.  RR )
2918, 20, 283jca 1174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  e.  RR ) )
3029adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  1  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  / 
( q ^ N
) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  e.  RR ) )
3116rprecred 11188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( 1  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
3211rpred 11177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  if (
a  <_  1 , 
a ,  1 )  e.  RR )
33 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  a  e.  RR+ )
3433rpred 11177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  a  e.  RR )
35 min2 11311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
1 ,  a ,  1 )  <_  1
)
3634, 19, 35sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  if (
a  <_  1 , 
a ,  1 )  <_  1 )
3732, 20, 16, 36lediv1dd 11231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( 1  / 
( q ^ N
) ) )
3814nnnn0d 10769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  N  e.  NN0 )
3912, 38nnexpcld 12233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( q ^ N )  e.  NN )
40 1nn 10463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  NN
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  1  e.  NN )
4239, 41nnmulcld 10500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( (
q ^ N )  x.  1 )  e.  NN )
4342nnge1d 10495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  1  <_  ( ( q ^ N
)  x.  1 ) )
4420, 20, 16ledivmuld 11226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( (
1  /  ( q ^ N ) )  <_  1  <->  1  <_  ( ( q ^ N
)  x.  1 ) ) )
4543, 44mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( 1  /  ( q ^ N ) )  <_ 
1 )
4618, 31, 20, 37, 45letrd 9650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  1 )
4746adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  1  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  1 )
48 ltle 9584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  e.  RR )  -> 
( 1  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  -> 
1  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
4919, 28, 48sylancr 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( 1  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  ->  1  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) ) ) )
5049imp 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  1  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  1  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
5147, 50jca 530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  1  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  / 
( q ^ N
) )  <_  1  /\  1  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
52 letr 9589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  / 
( q ^ N
) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  1  /\  1  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
5330, 51, 52sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  1  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
5453olcd 391 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  1  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
5554a1d 25 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  1  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 , 
a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
5655a1d 25 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  1  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
( ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
)  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  -> 
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 , 
a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
57 pm3.21 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  <_  1  ->  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) ) )
5857adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
)  ->  ( ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0  ->  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) ) )
5933, 16rpdivcld 11194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( a  /  ( q ^ N ) )  e.  RR+ )
6059rpred 11177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( a  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
6118, 60, 283jca 1174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  (
a  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  e.  RR ) )
6261adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  / 
( q ^ N
) )  e.  RR  /\  ( a  /  (
q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  e.  RR ) )
63 min1 11310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
1 ,  a ,  1 )  <_  a
)
6434, 19, 63sylancl 660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  if (
a  <_  1 , 
a ,  1 )  <_  a )
6532, 34, 16, 64lediv1dd 11231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( a  / 
( q ^ N
) ) )
6665anim1i 566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  / 
( q ^ N
) )  <_  (
a  /  ( q ^ N ) )  /\  ( a  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
67 letr 9589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  / 
( q ^ N
) )  e.  RR  /\  ( a  /  (
q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( a  / 
( q ^ N
) )  /\  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
6862, 66, 67sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
6968ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
7069adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
)  ->  ( (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
7170orim2d 838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
)  ->  ( ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 , 
a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
7258, 71imim12d 74 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
)  ->  ( (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  -> 
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 , 
a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
7356, 72, 20, 28ltlecasei 9603 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  -> 
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 , 
a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
7473ralimdvva 2793 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ )  ->  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <_ 
1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )  ->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 , 
a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
75 oveq1 6203 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  -> 
( x  /  (
q ^ N ) )  =  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) ) )
7675breq1d 4377 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  -> 
( ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
7776orbi2d 699 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  -> 
( ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  <->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
7877imbi2d 314 . . . . . 6  |-  ( x  =  if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  -> 
( ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  <->  ( ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) ) )
79782ralbidv 2826 . . . . 5  |-  ( x  =  if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  -> 
( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  <->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
8079rspcev 3135 . . . 4  |-  ( ( if ( a  <_ 
1 ,  a ,  1 )  e.  RR+  /\ 
A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 , 
a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
8110, 74, 80syl6an 543 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ )  ->  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <_ 
1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) ) )
8281rexlimdva 2874 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
836, 82mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   ifcif 3857   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    x. cmul 9408    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718    / cdiv 10123   NNcn 10452   ZZcz 10781   QQcq 11101   RR+crp 11139   ^cexp 12069   abscabs 13069  Polycply 22666  degcdgr 22669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-mulg 16177  df-subg 16315  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-cring 17314  df-subrg 17540  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-lp 19723  df-perf 19724  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-haus 19902  df-cmp 19973  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-fil 20432  df-fm 20524  df-flim 20525  df-flf 20526  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-cncf 21467  df-0p 22162  df-limc 22355  df-dv 22356  df-dvn 22357  df-cpn 22358  df-ply 22670  df-coe 22672  df-dgr 22673
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