MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lediv1dd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lediv1dd 11806
Description: Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmul1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
lediv1dd.4 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
lediv1dd (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Proof of Theorem lediv1dd
StepHypRef Expression
1 lediv1dd.4 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 ltmul1d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ltmul1d.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ltmul1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
52, 3, 4lediv1d 11794 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶)))
61, 5mpbid 221 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cr 9814  cle 9954   / cdiv 10563  +crp 11708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-rp 11709
This theorem is referenced by:  aalioulem5  23895  aalioulem6  23896  cxp2lim  24503  cxploglim2  24505  fsumharmonic  24538  lgamgulmlem2  24556  lgamgulmlem5  24559  chpchtlim  24968  dchrmusum2  24983  dchrvmasumlem3  24988  dchrisum0fno1  25000  dchrisum0lem1  25005  dchrisum0lem2a  25006  mulogsumlem  25020  vmalogdivsum2  25027  2vmadivsumlem  25029  selberglem2  25035  selbergb  25038  selberg2b  25041  chpdifbndlem1  25042  logdivbnd  25045  selberg3lem1  25046  selberg4lem1  25049  pntrlog2bndlem1  25066  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem3  25068  pntrlog2bndlem5  25070  pntrlog2bnd  25073  pntpbnd1a  25074  pntpbnd2  25076  pntibndlem2  25080  dya2icoseg  29666  sxbrsigalem2  29675  knoppndvlem14  31686  knoppndvlem17  31689  hashnzfzclim  37543  oddfl  38430  lefldiveq  38446  sumnnodd  38697  wallispilem5  38962  dirkertrigeqlem3  38993  fourierdlem6  39006  fourierdlem7  39007  fourierdlem10  39010  fourierdlem30  39030  fourierdlem39  39039  fourierdlem47  39046  fourierdlem65  39064  fourierdlem79  39078  etransclem23  39150  flnn0div2ge  42121  dignn0flhalflem2  42208
  Copyright terms: Public domain W3C validator