Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulm2 24562
 Description: Rewrite the limit of the sequence 𝐺 in terms of the log-Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamgulm.g 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
Assertion
Ref Expression
lgamgulm2 (𝜑 → (∀𝑧𝑈 (log Γ‘𝑧) ∈ ℂ ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑥,𝑧,𝑅   𝑈,𝑚,𝑧   𝜑,𝑚,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑈(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem lgamgulm2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
2 lgamgulm.u . . . . . . 7 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
31, 2lgamgulmlem1 24555 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
43sselda 3568 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑈) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
5 ovex 6577 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) − (log‘𝑧)) ∈ V
6 df-lgam 24545 . . . . . 6 log Γ = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↦ (Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) − (log‘𝑧)))
76fvmpt2 6200 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ (Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) − (log‘𝑧)) ∈ V) → (log Γ‘𝑧) = (Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) − (log‘𝑧)))
84, 5, 7sylancl 693 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑈) → (log Γ‘𝑧) = (Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) − (log‘𝑧)))
9 nnuz 11599 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
10 1zzd 11285 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝑈) → 1 ∈ ℤ)
11 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 + 1) = (𝑛 + 1))
12 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛𝑚 = 𝑛)
1311, 12oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑛 + 1) / 𝑛))
1413fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) = (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))
1514oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = (𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))))
16 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝑧 / 𝑚) = (𝑧 / 𝑛))
1716oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑧 / 𝑚) + 1) = ((𝑧 / 𝑛) + 1))
1817fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)) = (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1)))
1915, 18oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))) = ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))))
20 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))
21 ovex 6577 . . . . . . . . 9 ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) ∈ V
2219, 20, 21fvmpt 6191 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))‘𝑛) = ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))))
2322adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))‘𝑛) = ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))))
244eldifad 3552 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝑈) → 𝑧 ∈ ℂ)
2524adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℂ)
26 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
2726peano2nnd 10914 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
2827nnrpd 11746 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
2926nnrpd 11746 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ+)
3028, 29rpdivcld 11765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
3130relogcld 24173 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℝ)
3231recnd 9947 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℂ)
3325, 32mulcld 9939 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ ℂ)
3426nncnd 10913 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
3526nnne0d 10942 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
3625, 34, 35divcld 10680 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑧 / 𝑛) ∈ ℂ)
37 1cnd 9935 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
3836, 37addcld 9938 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑧 / 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
394adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
4039, 26dmgmdivn0 24554 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑧 / 𝑛) + 1) ≠ 0)
4138, 40logcld 24121 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
4233, 41subcld 10271 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
43 1z 11284 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
44 seqfn 12675 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℤ → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) Fn (ℤ‘1))
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) Fn (ℤ‘1)
469fneq2i 5900 . . . . . . . . . . 11 (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) Fn ℕ ↔ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) Fn (ℤ‘1))
4745, 46mpbir 220 . . . . . . . . . 10 seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) Fn ℕ
48 lgamgulm.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
491, 2, 48lgamgulm 24561 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢𝑈))
50 ulmdm 23951 . . . . . . . . . . 11 (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢𝑈) ↔ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)))
5149, 50sylib 207 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)))
52 ulmf2 23942 . . . . . . . . . 10 ((seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) Fn ℕ ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺))) → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺):ℕ⟶(ℂ ↑𝑚 𝑈))
5347, 51, 52sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺):ℕ⟶(ℂ ↑𝑚 𝑈))
5453adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑈) → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺):ℕ⟶(ℂ ↑𝑚 𝑈))
55 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑈) → 𝑧𝑈)
56 seqex 12665 . . . . . . . . 9 seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))) ∈ V
5756a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑈) → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))) ∈ V)
5848a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))
5958seqeq3d 12671 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) = seq1( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))))
6059fveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)‘𝑛) = (seq1( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))‘𝑛))
61 cnex 9896 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ ∈ V
622, 61rabex2 4742 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑈 ∈ V
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑈 ∈ V)
64 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
6564, 9syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
66 fz1ssnn 12243 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑛) ⊆ ℕ
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
68 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))) ∈ V
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑈)) → ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))) ∈ V)
7063, 65, 67, 69seqof2 12721 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))‘𝑛) = (𝑧𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛)))
7170adantlr 747 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))‘𝑛) = (𝑧𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛)))
7260, 71eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)‘𝑛) = (𝑧𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛)))
7372fveq1d 6105 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)‘𝑛)‘𝑧) = ((𝑧𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛))‘𝑧))
7455adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑧𝑈)
75 fvex 6113 . . . . . . . . . 10 (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛) ∈ V
76 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛)) = (𝑧𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛))
7776fvmpt2 6200 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑈 ∧ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛) ∈ V) → ((𝑧𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛))‘𝑧) = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛))
7874, 75, 77sylancl 693 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑧𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛))‘𝑧) = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛))
7973, 78eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)‘𝑛)‘𝑧) = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛))
8051adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑈) → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)))
819, 10, 54, 55, 57, 79, 80ulmclm 23945 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝑈) → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))) ⇝ (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺))‘𝑧))
829, 10, 23, 42, 81isumclim 14330 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑈) → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) = (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺))‘𝑧))
83 ulmcl 23939 . . . . . . . 8 (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)) → ((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)):𝑈⟶ℂ)
8451, 83syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)):𝑈⟶ℂ)
8584ffvelrnda 6267 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑈) → (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺))‘𝑧) ∈ ℂ)
8682, 85eqeltrd 2688 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑈) → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
874dmgmn0 24552 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑈) → 𝑧 ≠ 0)
8824, 87logcld 24121 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑈) → (log‘𝑧) ∈ ℂ)
8986, 88subcld 10271 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑈) → (Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) − (log‘𝑧)) ∈ ℂ)
908, 89eqeltrd 2688 . . 3 ((𝜑𝑧𝑈) → (log Γ‘𝑧) ∈ ℂ)
9190ralrimiva 2949 . 2 (𝜑 → ∀𝑧𝑈 (log Γ‘𝑧) ∈ ℂ)
92 ffn 5958 . . . . . 6 (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)):𝑈⟶ℂ → ((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)) Fn 𝑈)
9351, 83, 923syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)) Fn 𝑈)
94 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑧(⇝𝑢𝑈)
95 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑧1
96 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑧𝑓 +
97 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑧
98 nfmpt1 4675 . . . . . . . . . 10 𝑧(𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))
9997, 98nfmpt 4674 . . . . . . . . 9 𝑧(𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
10048, 99nfcxfr 2749 . . . . . . . 8 𝑧𝐺
10195, 96, 100nfseq 12673 . . . . . . 7 𝑧seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)
10294, 101nffv 6110 . . . . . 6 𝑧((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺))
103102dffn5f 6162 . . . . 5 (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)) Fn 𝑈 ↔ ((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)) = (𝑧𝑈 ↦ (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺))‘𝑧)))
10493, 103sylib 207 . . . 4 (𝜑 → ((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)) = (𝑧𝑈 ↦ (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺))‘𝑧)))
1058oveq1d 6564 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑈) → ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)) = ((Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) − (log‘𝑧)) + (log‘𝑧)))
10686, 88npcand 10275 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑈) → ((Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) − (log‘𝑧)) + (log‘𝑧)) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))))
107105, 106, 823eqtrrd 2649 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑈) → (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺))‘𝑧) = ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))
108107mpteq2dva 4672 . . . 4 (𝜑 → (𝑧𝑈 ↦ (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺))‘𝑧)) = (𝑧𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧))))
109104, 108eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → ((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)) = (𝑧𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧))))
11051, 109breqtrd 4609 . 2 (𝜑 → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧))))
11191, 110jca 553 1 (𝜑 → (∀𝑧𝑈 (log Γ‘𝑧) ∈ ℂ ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793   ↑𝑚 cmap 7744  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  seqcseq 12663  abscabs 13822  Σcsu 14264  ⇝𝑢culm 23934  logclog 24105  log Γclgam 24542 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-tan 14641  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-ulm 23935  df-log 24107  df-cxp 24108  df-lgam 24545 This theorem is referenced by:  lgambdd  24563  lgamcvglem  24566
 Copyright terms: Public domain W3C validator